Ферма: метод вырезания узлов: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: усилия в стержнях фермы · метод сечений · метод Риттера

Бесплатные задачи по теме Ферма: метод вырезания узлов с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: симметричная, несимметричная, вертикальная + горизонтальная нагрузка.

Бесплатная задачаЛёгкая
ABCDEFGH15 kN25 kN4 × 3 m3 m

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

B: 15 kN ↓D: 25 kN ↓
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Ферма: метод вырезания узловЗанимайтесь сейчас: Ферма: метод вырезания узловБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаясимметричная
  2. Средняянесимметричная
  3. Сложнаявертикальная + горизонтальная нагрузка

Как решать задачи по теме «Ферма: метод вырезания узлов»

  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Типичные ошибки

  • Начинают с узла с тремя неизвестными.
  • Забывают проекции усилий в наклонных стержнях.
  • Путают растяжение и сжатие.

Основные формулы

Метод вырезания узлов
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Метод сечений
ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне
положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Изучите тему «Ферма: метод вырезания узлов» с нуля

Перед этим: Опорные реакции балок

1Что такое ферма

Ферма — это каркас из прямых стержней, соединённых концами в треугольники. Вы видите их в крышах, кранах, опорах и многих мостах.

ACBPAy​Cy​

Стержни называются элементами, а точки соединения — узлами. В простой модели каждый узел — шарнир, а нагрузки действуют только в узлах.

Тогда каждый элемент растягивается или сжимается только вдоль своей длины. Он несёт единственное осевое усилие:

  • растяжение: элемент растянут и удлиняется. Мы считаем его положительным.
  • сжатие: элемент сжат и укорачивается. Мы считаем его отрицательным.

Используют треугольники, потому что треугольник не может изменить форму, не изменив длину стороны. Это делает ферму жёсткой при малом расходе материала.

Самопроверка Усилие в элементе получилось −12 kN. Что это значит?
  1. Нагрузка направлена вверх
  2. Элемент не несёт усилия
  3. Элемент растянут, 12 kN
  4. Элемент сжат, 12 kN

Ответ: Элемент сжат, 12 kN. Если растяжение считать положительным, отрицательное усилие — это сжатие: элемент сжат и укорачивается.

2Силы в узле

Каждый узел сам находится в равновесии. Поэтому в каждом узле выполняются два уравнения:

ΣFx = 0 ΣFy = 0

Два уравнения означают, что в одном узле можно найти не более двух неизвестных усилий в элементах. Всегда начинайте с узла, где неизвестных только две.

Рисуйте каждое неизвестное усилие в элементе как растяжение: стрелкой, направленной от узла вдоль элемента. Если ответ отрицателен, элемент сжат.

FAB​FAC​Ay​αA

У усилия в наклонном элементе две составляющие. Если элемент образует угол α с горизонталью:

Fx = F · cos α Fy = F · sin α

Сам угол нужен редко. По горизонтальному пролёту элемента a, высоте h и длине ℓ = √(a² + h²): cos α = a/ℓ и sin α = h/ℓ.

Самопроверка Элемент идёт на 4 m по горизонтали и на 3 m по вертикали, поэтому его длина 5 m. Он несёт 10 kN. Чему равна вертикальная составляющая?
  1. 10 kN
  2. 6 kN
  3. 7,5 kN
  4. 8 kN

Ответ: 6 kN. sin α = 3/5 = 0,6, поэтому Fy = 10·0,6 = 6 kN. 8 kN — горизонтальная составляющая (cos α = 0,8).

3Метод по шагам

  1. Найдите опорные реакции по всей ферме: ΣMA = 0 даёт Cy, затем ΣFy = 0 даёт Ay (а ΣFx = 0 даёт Ax, если есть горизонтальная нагрузка).
  2. Выберите узел не более чем с двумя неизвестными усилиями в элементах, обычно опорный узел.
  3. Нарисуйте узел со всеми неизвестными усилиями в элементах как растяжением (от узла).
  4. Запишите ΣFy = 0. Если вертикальную составляющую имеет только один элемент, она сразу даёт это усилие.
  5. Запишите ΣFx = 0 для второго усилия.
  6. Перейдите к следующему узлу, используя уже известные усилия. Отрицательный результат означает сжатие.

Метод сечений — альтернатива: рассеките нужные элементы и возьмите моменты относительно точки, где сходятся остальные рассечённые элементы.

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Ферма перекрывает пролёт 8 m и имеет высоту 3 m, узел B находится над серединой пролёта. В B действует вертикальная нагрузка 30 kN. Найдите усилия в элементах AB и AC.

1

Посмотрите на ферму

ACB30 kN8 m3 m4 m

A — шарнирная опора, а C — подвижная (каток). У каждого наклонного элемента горизонтальный пролёт 4 m и высота 3 m, поэтому его длина √(4² + 3²) = 5 m.

2

Опорные реакции

Ферма и нагрузка симметричны, поэтому каждая опора несёт половину нагрузки:

Ay = Cy = 30 / 2 = 15 kN
3

Узел A: вертикальный баланс

FAB​FAC​15 kNαA

sin α = 3/5 = 0,6 и cos α = 4/5 = 0,8. В A вертикальную составляющую имеет только AB.

15 + FAB · 0,6 = 0 ⇒ FAB = −25 kN

Отрицательно, значит, AB сжат.

4

Узел A: горизонтальный баланс

FAC + FAB · 0,8 = 0 ⇒ FAC = −(−25) · 0,8 = 20 kN

Положительно, значит, AC растянут. Он стягивает опоры фермы.

5

Проверьте ответ

По симметрии FBC = −25 kN тоже. В узле B два элемента толкают вверх с силой 2 · 25 · 0,6 = 30 kN, что уравновешивает нагрузку 30 kN.

Ответ

FAB = −25 kN (сжатие) и FAC = 20 kN (растяжение).

5Типичные ошибки

  • Начало с узла с тремя неизвестными усилиями. Два уравнения не решают три неизвестных.
  • Перестановка sin и cos. Проверьте, какая сторона треугольника вертикальна.
  • Рисование одних неизвестных как сжатия, а других как растяжения с последующим неверным чтением знаков. Рисуйте все как растяжение.
  • Забытая опорная реакция в узле или неверное её направление.
  • Забытая горизонтальная нагрузка в уравнении моментов для реакций.
Самопроверка На катке C реакция Cy = 9 kN направлена вверх. Элемент BC — единственный с вертикальной составляющей в этом узле, где sin γ = 0,6. Чему равно FBC?
  1. +15 kN (растяжение)
  2. −11,25 kN (сжатие)
  3. −15 kN (сжатие)
  4. −5,4 kN (сжатие)

Ответ: −15 kN (сжатие). ΣFy = 0: 9 + FBC·0,6 = 0, поэтому FBC = −15 kN. +15 kN теряет знак; −5,4 умножает на sin γ вместо деления; −11,25 использует cos γ = 0,8.

6Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: симметричная. B находится над серединой пролёта, а нагрузка вертикальна, как в примере. Реакции равны половине нагрузки каждая.
  • Средняя: несимметричная. B находится не над серединой пролёта, поэтому у AB и BC разные углы. Сначала найдите Cy из моментов относительно A.
  • Сложная: вертикальная и горизонтальная нагрузка в B. Шарнир в A получает и горизонтальную реакцию. Узел C по-прежнему проще всего для начала, потому что каток даёт только Cy.

Вас спрашивают об одном усилии в элементе: AB, BC или AC. Растяжение давайте положительным, а сжатие — отрицательным.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
ABBCACACB45 kN6 m3 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FAB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kN

Найти: FAB (kN)

Показать подсказки
  1. Сначала найдите опорные реакции из равновесия всей фермы.
  2. В узле A только стержень AB имеет вертикальную составляющую. ΣFy = 0 сразу даёт FAB.
  3. Ay = 22,5 kN.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 22,5 = 22,5 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22,5/0,5547 = −40,56 kN

Ответ

FAB = −40,56 kN (сжатие)
Пример 2Средняя
ABBCACACB45 kN6 m1 m2 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kN

Найти: FBC (kN)

Показать подсказки
  1. Сначала найдите опорные реакции из равновесия всей фермы.
  2. Перейдите к узлу C. Там только BC имеет вертикальную составляющую, поэтому начните с ΣFy = 0.
  3. Cy = 7,5 kN.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB45 kNAy​Cy​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·6 = 45·1 → Cy = 7,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 7,5 = 37,5 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7,5/0,3714 = −20,19 kN

Ответ

FBC = −20,19 kN (сжатие)
Пример 3Сложная
ABBCACACB60 kN30 kN5 m1 m3 m

Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 60 kNгоризонтальная нагрузка = 30 kN ←

Найти: FBC (kN)

Показать подсказки
  1. Сначала найдите опорные реакции из равновесия всей фермы.
  2. Перейдите к узлу C. Там только BC имеет вертикальную составляющую, поэтому начните с ΣFy = 0.
  3. Cy = −6 kN.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·1 − 30·3 → Cy = −6 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − −6 = 66 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−6/0,6 = 10 kN

Ответ

FBC = 10 kN (растяжение)

Вопросы и ответы

Ферма: метод вырезания узлов: что это?

Стержни называются элементами, а точки соединения — узлами. В простой модели каждый узел — шарнир, а нагрузки действуют только в узлах.

Тогда каждый элемент растягивается или сжимается только вдоль своей длины. Он несёт единственное осевое усилие:

Ферма: метод вырезания узлов: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Найдите опорные реакции для всей фермы.
  2. Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
  3. Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
  4. Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.
Ферма: метод вырезания узлов: какие ошибки самые частые?
  • Начинают с узла с тремя неизвестными.
  • Забывают проекции усилий в наклонных стержнях.
  • Путают растяжение и сжатие.
Ферма: метод вырезания узлов: что вы тренируете?
  • Лёгкая: симметричная
  • Средняя: несимметричная
  • Сложная: вертикальная + горизонтальная нагрузка

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Опорные реакции балок

Далее

Рамы и механизмы

Калькуляторы

Калькулятор фермы (метод вырезания узлов)

Курсы с этой темой

СтатикаСтроительная механикаПодготовка к экзамену FE Civil

Другие темы: Строительство

Поперечная сила и изгибающий моментПрогиб балкиЦентр тяжести и момент инерцииУстойчивость колоннЭффективное напряжение в грунтеКонсолидационная осадкаГидростатическое давлениеТечение в открытых руслах (Маннинг)

Лист заданий для печати

Ферма: метод вырезания узлов: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Ферма: метод вырезания узловЗанимайтесь сейчас: Ферма: метод вырезания узловБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.