Рамы и механизмы: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Рамы и механизмы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: двухсиловые элементы и простые механизмы, силы в шарнирах и рычажные механизмы, многоэлементные рамы.

Бесплатная задачаЛёгкая
15 kN4 m1,2 m0,8 m0,8 mABCDEK

A-образная рама на рисунке опирается на шарнир в A и каток в B на расстоянии 4 m друг от друга. Вертикальная нагрузка 15 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,8 m (по горизонтали) от A. Найдите вертикальную реакцию By на катке.

P = 15 kNAB = 4 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,8 m
kN
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Рамы и механизмыЗанимайтесь сейчас: Рамы и механизмыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаядвухсиловые элементы и простые механизмы
  2. Средняясилы в шарнирах и рычажные механизмы
  3. Сложнаямногоэлементные рамы

Как решать задачи по теме «Рамы и механизмы»

  1. Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
  2. Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
  3. Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
  4. Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Типичные ошибки

  • Считать двухсиловым элементом стержень с нагрузкой между шарнирами.
  • Направлять силу в шарнире одинаково на обоих соединяемых им элементах.
  • Брать всю наклонную силу как вертикальную составляющую в уравнении моментов.
  • Давать только одну составляющую, когда требуется модуль силы в шарнире.

Основные формулы

Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки

Изучите тему «Рамы и механизмы» с нуля

Перед этим: Опорные реакции балок, Ферма: метод вырезания узлов

1Что такое рамы и механизмы

В ферме каждый элемент — прямой стержень с шарнирами на двух концах, а нагрузки приложены только в узлах, поэтому каждый элемент просто растянут или сжат. Рама устроена иначе: хотя бы один элемент воспринимает силы в трёх или более точках или нагрузку между шарнирами. Такой элемент ещё и изгибается.

ABCDE8 kN

В этой A-образной раме ножки AC и BC — многосиловые элементы: каждая нагружена в опоре, в затяжке и в шарнире C. Затяжка DE закреплена шарнирами на обоих концах и между ними ничего не воспринимает. Рама, которая движется и преобразует входную силу в выходную, например плоскогубцы, рычаг или струбцина, называется механизмом.

Самопроверка Какой элемент A-образной рамы является двухсиловым?
  1. Затяжка DE
  2. Каждый элемент, потому что у каждого есть по два шарнира на концах
  3. Ножка AC, потому что она несёт нагрузку
  4. Ножка BC, потому что она опирается на каток

Ответ: Затяжка DE. У DE силы приложены только в двух шарнирах, поэтому его сила направлена вдоль DE. Каждая ножка, кроме опоры и шарнира C, воспринимает ещё силу затяжки в D или E, то есть три силы, а не две.

2Двухсиловые элементы и силы в шарнирах

Элемент, нагруженный только в двух шарнирах, называется двухсиловым. Две его силы равны, противоположны и лежат на прямой, проходящей через шарниры. Поэтому он даёт одну неизвестную, величину этой силы, вместо двух составляющих.

Там, где два элемента соединяются в шарнире, шарнир действует на один элемент с силой (Cx, Cy), а на другой — с противоположной силой (−Cx, −Cy). Рисуйте их именно так, с одинаковыми обозначениями, на обеих схемах свободного тела.

Каждый отдельный элемент даёт три уравнения: ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Берите моменты относительно шарнира, в котором действуют неизвестные силы, чтобы обе его составляющие выпали из уравнения.

3Метод по шагам

  1. Нарисуйте всю раму и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
  2. Отметьте двухсиловые элементы: их силы направлены вдоль прямой между их шарнирами.
  3. Разберите раму на части и нарисуйте каждый многосиловой элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах.
  4. Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0. В конце объедините составляющие в модуль: F = √(Fx² + Fy²).

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

A-образная рама стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3 m друг от друга. Шарнир C находится на высоте 2,4 m, а затяжка DE — на высоте 0,8 m над землёй. В точке C действует нагрузка 8 kN. Найдите силу натяжения T в затяжке и силу шарнира C, действующую на ножку BC.

1

Рассмотрим раму

ABCDE8 kN3 m0,8 m1,6 m

Затяжка DE — двухсиловой элемент, поэтому она тянет обе ножки горизонтально.

2

Вся рама

Нагрузка находится посередине, поэтому каждая опора воспринимает половину.

Ay = By = 8/2 = 4 kN, Ax = 0
3

Ножка BC: моменты относительно C

4 kNTCx​Cy​CEB

Точка B находится на 1,5 m правее C, а затяжка на 2,4 − 0,8 = 1,6 m ниже C.

4·1,5 = T·1,6 ⇒ T = 3,75 kN
4

Ножка BC: баланс сил

Cx = T = 3,75 kN, Cy = −4 kN
C = √(3,75² + 4²) = 5,48 kN
5

Проверьте ответ

На ножке AC сила в шарнире противоположна: (−3,75, +4) kN. При Ay = 4 kN, силе затяжки +3,75 kN и нагрузке −8 kN обе суммы сил равны нулю.

Ответ

T = 3,75 kN (растяжение) и C = 5,48 kN на ножке BC.

5Механизмы: плоскогубцы, рычаги и коленно-рычажные механизмы

Для механизма нарисуйте одну часть и возьмите моменты относительно её оси. Сила в шарнире выпадает, а входная и выходная силы уравновешиваются:

Fin·a = Fout·b

Плоскогубцы, у которых рука находится в 100 mm от шарнира, а губки — в 25 mm от него, увеличивают силу в 100/25 = 4 раза. Шарнир при этом воспринимает обе силы: на одной половинке они направлены в одну сторону по разные стороны от шарнира, поэтому складываются.

В коленно-рычажном механизме два звена сходятся под малым углом θ. Каждое звено — двухсиловой элемент с силой F/(2 sin θ), а зажимная сила равна F/(2 tan θ). Чем площе звенья, тем больше сила.

Самопроверка Плоскогубцы сжимают с силой 50 N на расстоянии 100 mm от шарнира, а губки находятся в 25 mm от шарнира. Чему равна сила захвата?
  1. 12,5 N
  2. 200 N
  3. 250 N
  4. 50 N

Ответ: 200 N. Моменты относительно шарнира: 50·100 = Q·25, откуда Q = 200 N. Обратное отношение даёт 12,5 N, а 250 N — это сила в шарнире, сумма силы руки и силы захвата.

6Типичные ошибки

  • Считать двухсиловым элементом стержень с нагрузкой между шарнирами.
  • Рисовать силу в шарнире в одном направлении на обоих соединяемых им элементах.
  • Использовать всю силу наклонной стойки как её вертикальную составляющую.
  • Давать одну составляющую, когда требуется модуль силы в шарнире.
Самопроверка Стойка давит на балку с силой 10 kN под углом 30° к балке. Чему равна составляющая, перпендикулярная балке?
  1. 10 kN
  2. 20 kN
  3. 5 kN
  4. 8,66 kN

Ответ: 5 kN. Перпендикулярная составляющая равна 10·sin 30° = 5 kN. 8,66 kN — это составляющая вдоль балки (cos 30°), а 10 kN — вся сила.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкие: двухсиловые элементы и простые механизмы. Нужно найти силу захвата плоскогубцев или силу в шарнире, силу в стойке настенного кронштейна, силу в затяжке или опорную реакцию A-образной рамы либо выходную силу углового рычага.
  • Средние: силы в шарнирах и рычажные механизмы. Нужно найти реакцию в шарнире кронштейна или углового рычага, силу в затяжке при нагрузке не по центру, силу шарнира, действующую на ножку, силу в элементе трёхшарнирной рамы или зажимную силу коленно-рычажного механизма.
  • Сложные: рамы из нескольких элементов. Нужно добавить к кронштейну равномерную нагрузку, найти силу в тросе или реакцию в шарнире стрелы с учётом её собственного веса, силу в шарнире при нагрузке не по центру, опорную реакцию при горизонтальной нагрузке или силу, необходимую коленно-рычажному прессу.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
12 kN0,5 m1 m1,2 mABCD

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 1,2 m ниже A. На свободном конце B подвешена нагрузка 12 kN. Весом пренебрегите. Найдите силу FCD в стойке.

P = 12 kNAD = 0,5 mAB = 1,5 mAC = 1,2 m

Найти: FCD (kN)

Показать подсказки
  1. CD нагружена только в двух шарнирах, поэтому это двухсиловой элемент: её сила направлена вдоль CD.
  2. Возьмите моменты относительно A для балки: момент создают только стойка и нагрузка.
  3. sin α = 1,2/√(0,5² + 1,2²) = 0,9231.
Показать ответ и пошаговое решение

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент

У стойки шарниры на обоих концах, и между ними нет нагрузки.

tan α = 1,2/0,5, sin α = 0,9231

Моменты относительно A для балки

FCD·sin α·0,5 = 12·1,5
FCD = 18/(0,9231·0,5) = 39 kN

Ответ

FCD = 39 kN

Стойка толкает балку вверх: она сжата.

Пример 2Средняя
8 kN0,75 m1,25 m0,75 mABCD

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,75 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 8 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 8 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 0,75 m

Найти: A (kN)

Показать подсказки
  1. Сначала найдите силу в стойке: моменты относительно A для балки.
  2. FCD = 30,17 kN, sin α = 0,7071, cos α = 0,7071.
  3. Затем ΣFx = 0 и ΣFy = 0 для балки дают составляющие в A.
Показать ответ и пошаговое решение

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

FCD = 8·2/(0,7071·0,75) = 30,17 kN

Составляющие в A

Ax = FCD·cos α = 21,33 kN (к стене)
Ay = 8 − FCD·sin α = −13,33 kN

Модуль

A = √(21,33² + −13,33²) = 25,16 kN

Ответ

A = 25,16 kN

Отрицательное Ay означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

Пример 3Сложная
8 kN1 kN2 m1 mABC

Однородная горизонтальная стрела AB весом 1 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 1 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 8 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 8 kNWb = 1 kNAB = 2 mAC = 1 m

Найти: T (kN)

Показать подсказки
  1. Трос тянет вдоль BC. Возьмите моменты относительно A для стрелы.
  2. У вертикальной составляющей троса T·sin β плечо AB; его горизонтальная составляющая проходит через A.
  3. sin β = 1/√(2² + 1²) = 0,4472.
Показать ответ и пошаговое решение

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Угол троса

BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472

Моменты относительно A

T·0,4472·2 = 8·2 + 1·1
T = 19,01 kN

Ответ

T = 19,01 kN

Вопросы и ответы

Рамы и механизмы: что это?

В ферме каждый элемент — прямой стержень с шарнирами на двух концах, а нагрузки приложены только в узлах, поэтому каждый элемент просто растянут или сжат. Рама устроена иначе: хотя бы один элемент воспринимает силы в трёх или более точках или нагрузку между шарнирами. Такой элемент ещё и изгибается.

В этой A-образной раме ножки AC и BC — многосиловые элементы: каждая нагружена в опоре, в затяжке и в шарнире C. Затяжка DE закреплена шарнирами на обоих концах и между ними ничего не воспринимает. Рама, которая движется и преобразует входную силу в выходную, например плоскогубцы, рычаг или струбцина, называется механизмом.

Рамы и механизмы: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
  2. Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
  3. Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
  4. Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.
Рамы и механизмы: какие ошибки самые частые?
  • Считать двухсиловым элементом стержень с нагрузкой между шарнирами.
  • Направлять силу в шарнире одинаково на обоих соединяемых им элементах.
  • Брать всю наклонную силу как вертикальную составляющую в уравнении моментов.
  • Давать только одну составляющую, когда требуется модуль силы в шарнире.
Рамы и механизмы: что вы тренируете?
  • Лёгкая: двухсиловые элементы и простые механизмы
  • Средняя: силы в шарнирах и рычажные механизмы
  • Сложная: многоэлементные рамы

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Опорные реакции балокФерма: метод вырезания узлов

Курсы с этой темой

Статика

Другие темы: Машиностроение

Опорные реакции балокОсевое напряжение и деформацияКручение валовКруг Мора и преобразование напряженийДвижение тела, брошенного под угломРабота и энергияВращение твёрдого телаМеханические колебанияТепловые машины и холодильникиГазовые циклыНеразрывность и БернуллиТрение в трубах и потери напораНасосы и мощность насосаТеплопроводностьЗубчатые колёса и передачи

Лист заданий для печати

Рамы и механизмы: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Рамы и механизмыЗанимайтесь сейчас: Рамы и механизмыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.