Трение в трубах и потери напора: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Трение в трубах и потери напора с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: Число Рейнольдса, потери напора по Дарси–Вейсбаху, местные потери и полный напор.

Бесплатная задачаЛёгкая
V = 0,8 m/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Вода при 10 °C (ν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s) течёт со средней скоростью 0,8 m/s по трубе с внутренним диаметром 50 mm. Найдите число Рейнольдса Re.

V = 0,8 m/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Трение в трубах и потери напораЗанимайтесь сейчас: Трение в трубах и потери напораБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. ЛёгкаяЧисло Рейнольдса
  2. Средняяпотери напора по Дарси–Вейсбаху
  3. Сложнаяместные потери и полный напор

Основные формулы

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течения
ламинарный при Re ниже ≈ 2000, турбулентный при Re выше ≈ 4000
Средняя скорость
V = Q/A, A = π·D²/4
Формула Дарси–Вейсбаха
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Местные потери
hm = ΣK·V²/(2g)
Типичные значения K
вход 0,5, выход 1,0, колено 90° ≈ 0,3
Перепад давления
Δp = ρ·g·hf
Два открытых резервуара
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Свободное истечение
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Изучите тему «Трение в трубах и потери напора» с нуля

Перед этим: Неразрывность и Бернулли

1Что такое потеря напора

Уравнение Бернулли предполагает, что жидкость течёт без трения. В реальной трубе вода трётся о стенку и о саму себя, и часть её энергии превращается в тепло.

Инженеры измеряют эту потерянную энергию как высоту столба жидкости, называемую потерей напора, в метрах. Потеря напора 3 m означает, что вода потеряла столько же энергии, сколько ей нужно, чтобы подняться на 3 m.

Это можно увидеть с помощью двух тонких трубок (пьезометров) на горизонтальной трубе. В трубке ниже по течению вода поднимается меньше. Разница — это потеря напора между ними.

hf​VLD

Из-за потери напора длинным трубопроводам нужны насосы, а садовый шланг даёт более слабую струю, когда он очень длинный.

Потеря напора переводится в падение давления по формуле Δp = ρ · g · hf. Для воды 1 m напора составляет около 9,81 kPa.

Самопроверка Вода теряет 2 m напора на трение вдоль горизонтальной трубы. Каково это падение давления? (ρ = 1000 kg/m³, g = 9,81 m/s²)
  1. 19,6 kPa
  2. 196 kPa
  3. 2 kPa
  4. 9,81 kPa

Ответ: 19,6 kPa. Δp = ρ · g · hf = 1000 · 9,81 · 2 = 19 620 Pa = 19,6 kPa. Каждый метр водяного напора — это около 9,81 kPa.

2Число Рейнольдса: ламинарное или турбулентное течение

Медленный поток в тонкой трубе движется плавными слоями. Это ламинарное течение. Быстрый поток в широкой трубе завихряется и перемешивается. Это турбулентное течение.

Число Рейнольдса показывает, какое из них у вас. Оно сравнивает напор движущейся жидкости с её вязкостью:

Re = V · D / ν = ρ · V · D / μ
  • V: средняя скорость в m/s, V = Q/A.
  • D: внутренний диаметр в m.
  • ν: кинематическая вязкость в m²/s (около 1,0 × 10⁻⁶ m²/s для воды при 20 °C) или μ: динамическая вязкость в Pa·s, используемая вместе с плотностью ρ.

Re безразмерно. Ниже примерно 2000 течение ламинарное. Выше примерно 4000 оно турбулентное. Большинство водопроводных труб турбулентные.

Самопроверка Вода (ν = 1,0 × 10⁻⁶ m²/s) течёт со скоростью 0,5 m/s по трубе с внутренним диаметром 20 mm. Каково число Рейнольдса?
  1. 0,01
  2. 10 000 000
  3. 10 000
  4. 5000

Ответ: 10 000. Re = 0,5 · 0,020 / 10⁻⁶ = 10 000, значит, течение турбулентное. Если взять диаметр в mm, получится 10 000 000, а если взять радиус — 5000.

3Потери на трение и местные потери

Потеря на трение вдоль прямой трубы определяется уравнением Дарси–Вейсбаха:

hf = f · (L / D) · V² / (2g)

Здесь f — коэффициент трения Дарси (задан в вопросе, обычно от 0,015 до 0,03), а L — длина трубы. Член V²/(2g) — это скоростной напор.

Потеря растёт пропорционально квадрату скорости. Удвоение расхода в той же трубе даёт в четыре раза большую потерю на трение.

Фитинги, такие как колена, вентили, вход из резервуара и выход в резервуар, вызывают дополнительные местные потери. У каждого есть коэффициент потерь K:

hm = ΣK · V² / (2g)

Типичные значения: вход с острой кромкой K = 0,5, колено 90° около 0,3, выход в резервуар K = 1,0. Общая потеря равна hL = hf + hm.

Самопроверка Расход через трубу удваивается. Во сколько раз изменяется потеря напора на трение, если f остаётся прежним?
  1. 2
  2. 4
  3. 8
  4. ½

Ответ: 4. Удвоенный расход означает удвоенную скорость, а hf зависит от V². Поэтому потеря становится в 2² = 4 раза больше.

4Метод по шагам

  1. Переведите единицы: диаметры в m, расходы в m³/s (L/s ÷ 1000).
  2. Найдите площадь A = π·D²/4 и среднюю скорость V = Q/A.
  3. Вычислите скоростной напор V²/(2g). Почти каждая формула в этой теме его использует.
  4. Для режима течения найдите Re = V·D/ν. Для потери на трение hf = f·(L/D)·V²/(2g).
  5. Добавьте местные потери как ΣK·V²/(2g). Если требуется, переведите в падение давления по формуле Δp = ρ·g·h.

L/D часто бывает большим числом (1000 и более). Сначала вычислите его отдельно, чтобы убедиться, что оно разумно.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Вода течёт с расходом 10 L/s по трубе длиной 200 m с внутренним диаметром 100 mm. Используйте коэффициент трения Дарси f = 0,02 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение и падение давления.

1

Нарисуйте и переведите единицы

hf​ = ?V200 m100 mm

Q = 10 L/s = 0,010 m³/s и D = 0,100 m.

2

Средняя скорость

A = π · 0,1² / 4 = 0,007854 m²
V = Q / A = 0,010 / 0,007854 = 1,273 m/s
3

Скоростной напор и L/D

V² / (2g) = 1,273² / 19,62 = 0,0826 m
L / D = 200 / 0,1 = 2000
4

Формула Дарси–Вейсбаха

hf = 0,02 · 2000 · 0,0826 = 3,31 m
5

Перепад давления

На горизонтальной трубе потерянный напор проявляется как падение давления:

Δp = 1000 · 9,81 · 3,305 = 32 400 Pa ≈ 32,4 kPa
6

Проверьте ответ

Re = 1,273 · 0,1 / 10⁻⁶ ≈ 127 000, поэтому течение турбулентное, и постоянный коэффициент трения 0,02 вполне разумен.

Около 1,7 m потерь на 100 m трубы — это нормальная величина для воды при скорости около 1 m/s.

Ответ

hf ≈ 3,31 m, что соответствует падению давления около 32,4 kPa.

6Типичные ошибки

  • Забывать 2g или квадрат V в скоростном напоре V²/(2g).
  • Оставлять диаметр в mm, из-за чего L/D получается в тысячу раз меньше.
  • Использовать расход Q вместо скорости V. Сначала переведите по формуле V = Q/A.
  • Учитывать потерю на выходе (K = 1,0) дважды: один раз как местную потерю, другой раз как скоростной напор струи, выходящей в резервуар.
  • Давать напор в метрах, когда спрашивают давление, или наоборот.
Самопроверка Вода течёт со скоростью 1 m/s по трубе длиной 100 m с внутренним диаметром 100 mm и f = 0,02. Какова потеря напора на трение? (g = 9,81 m/s²)
  1. 0,00102 m
  2. 1,02 m
  3. 2,04 m
  4. 20 m

Ответ: 1,02 m. hf = 0,02 · (100/0,1) · 1²/19,62 = 1,02 m. Деление на g вместо 2g даёт 2,04 m, пропуск 2g даёт 20 m, а D в mm даёт 0,00102 m.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: число Рейнольдса. По скорости или расходу, диаметру и вязкости (ν либо ρ и μ) найдите Re и скажите, ламинарное течение или турбулентное.
  • Средняя: уравнение Дарси–Вейсбаха. Найдите потерю напора на трение hf или падение давления Δp для заданной трубы, расхода и коэффициента трения.
  • Сложная: местные потери и полный напор. Труба из резервуара со входом, коленами и вентилем. Найдите высоту резервуара, необходимую для заданного расхода, или расход между двумя резервуарами.

Для трубы из резервуара, оканчивающейся свободной струёй, струя всё равно несёт свой скоростной напор: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g).

Между двумя открытыми резервуарами разность высот полностью расходуется на потери: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g), где выход K = 1,0 входит в ΣK. Найдите V, затем Q = A·V.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Вода при 10 °C (ν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s) течёт по трубе с внутренним диаметром 50 mm с расходом 5 L/s. Найдите число Рейнольдса Re.

Q = 5 L/sD = 50 mmν = 1,31 × 10⁻⁶ m²/s

Найти: Re

Показать подсказки
  1. Сначала найдите среднюю скорость: V = Q/A, где A = π·D²/4.
  2. Затем Re = V·D/ν.
  3. A = 0,001963 m², V = 2,546 m/s.
Показать ответ и пошаговое решение

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Средняя скорость

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²
V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s

Число Рейнольдса

Re = V·D/ν = 2,546·0,05/(1,31 × 10⁻⁶) = 97194

Ответ

Re = 97194

Re больше 4000, поэтому течение турбулентное.

Пример 2Средняя
V = 1,1 m/sD = 100 mmL = 400 mf = 0,015

Вода течёт со средней скоростью 1,1 m/s по трубе длиной 400 m с внутренним диаметром 100 mm. Примите коэффициент трения Дарси f = 0,015 и g = 9,81 m/s². Найдите потерю напора на трение hf.

V = 1,1 m/sL = 400 mD = 100 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

Найти: hf (m)

Показать подсказки
  1. Формула Дарси–Вейсбаха: hf = f·(L/D)·V²/(2g).
  2. Подставьте D в метрах: D = 0,1 m.
  3. L/D = 4000, V²/(2g) = 0,06167 m.
Показать ответ и пошаговое решение

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Скоростной напор

V²/(2g) = 1,1²/(2·9,81) = 0,06167 m

Формула Дарси–Вейсбаха

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(400/0,1)·1,1²/(2·9,81) = 3,7 m

Ответ

hf = 3,7 m
Пример 3Сложная
K = 2свободное истечениеH = ?L = 150 m, D = 300 mm, f = 0,0223× колено (K = 0,3)

Труба длиной 150 m с внутренним диаметром 300 mm (коэффициент трения Дарси f = 0,022) отходит от открытого резервуара и выпускает воду свободной струёй в атмосферу. Местные потери: вход с острыми кромками (K = 0,5), 3 колена (K = 0,3 каждое) и задвижка (K = 2). Примите g = 9,81 m/s². На какой высоте H над выходом трубы должна находиться поверхность воды в резервуаре, чтобы расход был 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,022Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×3)Kvalve = 2

Найти: H (m)

Показать подсказки
  1. Уравнение энергии от поверхности резервуара (в покое) до выхода трубы (атмосферное давление, скорость V).
  2. H = V²/(2g) + (f·L/D + ΣK)·V²/(2g).
  3. V = 2,829 m/s, V²/(2g) = 0,408 m.
Показать ответ и пошаговое решение

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Скорость

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s
V²/(2g) = 0,408 m

Коэффициенты местных сопротивлений

f·L/D = 0,022·150/0,3 = 11
ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 = 3,4

Уравнение энергии

Выходящая струя сохраняет свой скоростной напор; это не потеря, но его нужно обеспечить.

H = (1 + 11 + 3,4)·0,408 = 6,284 m

Ответ

H = 6,284 m

Вопросы и ответы

Трение в трубах и потери напора: что это?

Уравнение Бернулли предполагает, что жидкость течёт без трения. В реальной трубе вода трётся о стенку и о саму себя, и часть её энергии превращается в тепло.

Инженеры измеряют эту потерянную энергию как высоту столба жидкости, называемую потерей напора, в метрах. Потеря напора 3 m означает, что вода потеряла столько же энергии, сколько ей нужно, чтобы подняться на 3 m.

Трение в трубах и потери напора: как решать задачи шаг за шагом?

Течение в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ отличает ламинарное течение (Re ниже примерно 2000) от турбулентного (выше примерно 4000). Трение по длине трубы даёт потерю напора по Дарси–Вейсбаху hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фасонные части, задвижки, вход и выход добавляют местные потери hm = ΣK·V²/(2g). Между двумя открытыми поверхностями резервуаров уравнение энергии даёт Δz = hf + hm, включая потерю на выходе K = 1.

Трение в трубах и потери напора: какие ошибки самые частые?
  • Площадь живого сечения трубы A = π·D²/4, а не π·D².
  • В π·D²/4 используется диаметр. Если подставить в эту формулу радиус, площадь получится в четыре раза меньше.
  • Сначала переведите L/s в m³/s: 1 L/s = 0,001 m³/s.
Трение в трубах и потери напора: что вы тренируете?
  • Лёгкая: Число Рейнольдса
  • Средняя: потери напора по Дарси–Вейсбаху
  • Сложная: местные потери и полный напор

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Неразрывность и Бернулли

Далее

Насосы и мощность насоса

Калькуляторы

Калькулятор потерь напора в трубе (Дарси–Вейсбах)Калькулятор числа Рейнольдса

Курсы с этой темой

Механика жидкостиГидравлика и гидротехникаПодготовка к экзамену FE MechanicalПодготовка к экзамену FE CivilПодготовка к экзамену FE Chemical

Другие темы: Машиностроение

Опорные реакции балокРамы и механизмыОсевое напряжение и деформацияКручение валовКруг Мора и преобразование напряженийДвижение тела, брошенного под угломРабота и энергияВращение твёрдого телаМеханические колебанияТепловые машины и холодильникиГазовые циклыНеразрывность и БернуллиНасосы и мощность насосаТеплопроводностьЗубчатые колёса и передачи

Лист заданий для печати

Трение в трубах и потери напора: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Трение в трубах и потери напораЗанимайтесь сейчас: Трение в трубах и потери напораБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.