Тепловые машины и холодильники: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: КПД тепловой машины · цикл Карно · тепловой насос
Бесплатные задачи по теме Тепловые машины и холодильники с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: первый закон для цикла, предел Карно, холодильники и тепловые насосы.
Бесплатная задачаЛёгкая
Тепловой насос с коэффициентом преобразования 2,9 подаёт в дом 17 kW теплоты. Найдите тепловой поток Q̇L, который он отбирает от наружного воздуха.
Изучите тему «Тепловые машины и холодильники» с нуля
1Что такое тепловой двигатель
Тепловой двигатель превращает тепло в работу. Автомобильный двигатель, паровая турбина на электростанции и реактивный двигатель — всё это тепловые двигатели.
Каждый тепловой двигатель работает одинаково. Он берёт тепло QH от чего-то горячего, превращает часть его в работу W, а остальное QC отдаёт чему-то холодному.
Горячие и холодные места называются резервуарами: пламя, котёл, наружный воздух, река. Они настолько велики, что их температуры не меняются.
Двигатель работает по циклу: после каждого оборота он возвращается в то же состояние. Поэтому энергия не может накапливаться внутри него. Что вошло, то должно выйти:
QH = W + QC
Самопроверка Двигатель получает 100 kJ тепла за цикл и производит 40 kJ работы. Сколько тепла он отдаёт?
140 kJ
2,5 kJ
40 kJ
60 kJ
Ответ: 60 kJ. Энергия на входе равна энергии на выходе: QC = QH − W = 100 − 40 = 60 kJ. Сложение (140 kJ) считает работу входной величиной.
2КПД и предел Карно
Термический КПД — это доля подведённого тепла, которая становится работой:
η = W / QH = 1 − QC / QH
Ни один двигатель не может превратить всё своё тепло в работу. Всегда приходится отдавать часть тепла. Это второй закон термодинамики.
Лучший возможный двигатель между двумя температурами — идеальный двигатель Карно. Его КПД зависит только от температур резервуаров в кельвинах:
ηmax = 1 − TC / TH
Всегда сначала переводите в кельвины: T(K) = T(°C) + 273,15. С °C формула даёт бессмыслицу.
У реального двигателя всегда η < ηmax. Двигатель, который заявляет больше предела Карно, невозможен.
Самопроверка Каков наибольший возможный КПД двигателя, работающего между 327 °C и 27 °C?
100%
50%
8,3%
91,7%
Ответ: 50%. В кельвинах: 600,15 K и 300,15 K, поэтому ηmax = 1 − 300,15/600,15 = 50%. Подстановка значений в °C даёт 1 − 27/327 = 91,7%, что неверно.
3Холодильники и тепловые насосы
Холодильник — это двигатель, работающий в обратную сторону. Работа W подводится, а тепло перекачивается с холодной стороны на горячую.
Тепловой насос — та же машина, используемая для отопления: она берёт тепло из холодного наружного воздуха и передаёт его в тёплый дом. Энергетический баланс остаётся прежним: QH = W + QC.
Вместо КПД используется коэффициент преобразования (COP): то, что вам нужно, делённое на работу, за которую вы платите. Обычно он больше 1.
Самопроверка Тепловой насос передаёт дому 6 kW тепла, потребляя 2 kW электроэнергии. Сколько тепла он берёт из наружного воздуха?
12 kW
3 kW
4 kW
8 kW
Ответ: 4 kW. QC = QH − W = 6 − 2 = 4 kW. Его COP равен 6/2 = 3, поэтому 3 kW — это COP, а не тепловой поток.
4Метод по шагам
Нарисуйте устройство между двумя его резервуарами и изобразите стрелки для QH, QC и W. Решите, двигатель это или холодильник / тепловой насос.
Запишите энергетический баланс QH = W + QC. Он верен для любого устройства, идеального или нет. Скорости в kW работают так же, как количества в kJ.
Если заданы температуры, переведите их в кельвины.
Используйте правильную меру: η = W/QH для двигателя, COPR = QC/W для холодильника, COPHP = QH/W для теплового насоса.
Для наилучшего возможного устройства используйте формулу Карно. Тогда неизвестное тепло или работа следуют из энергетического баланса.
«Наибольшая работа», «наибольший возможный КПД», «минимальная подводимая мощность» и «обратимый» — всё это указывает на предел Карно.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Тепловой двигатель работает между горячим резервуаром при 500 °C и холодным резервуаром при 25 °C. За цикл он получает 3000 kJ тепла. Найдите наибольшую работу, которую он мог бы произвести. Изобретатель заявляет 2000 kJ за цикл: возможно ли это?
1
Нарисуйте двигатель
Наибольшую работу даёт идеальный двигатель Карно между теми же двумя резервуарами.
2
Переведите в кельвины
TH = 500 + 273,15 = 773,15 K
TC = 25 + 273,15 = 298,15 K
3
КПД Карно
ηmax = 1 − 298,15 / 773,15 = 1 − 0,3856 = 0,614
В лучшем случае 61,4% тепла может стать работой.
4
Наибольшая работа
Wmax = ηmax · QH = 0,6144 · 3000 = 1843 kJ
5
Проверьте ответ
Идеальный двигатель отдаёт QC = 3000 · 298,15/773,15 = 1157 kJ. Тогда W + QC = 1843 + 1157 = 3000 kJ, что совпадает с подведённым теплом.
6
Оцените заявление
2000 kJ больше, чем 1843 kJ, которые мог бы дать даже идеальный двигатель. Заявление нарушает второй закон, поэтому оно невозможно.
Ответ
Wmax ≈ 1843 kJ за цикл (ηmax ≈ 61,4%), поэтому заявление о 2000 kJ невозможно.
6Типичные ошибки
Подставлять температуры в °C в формулы Карно. Всегда используйте кельвины.
Использовать КПД Карно для реального двигателя, когда заданы количества тепла. Тогда η = W/QH по реальным числам.
Забывать, что работа тоже выделяется холодильником в виде тепла: QH = QC + W, поэтому кухня получает больше тепла, чем холодильник отводит.
Записывать КПД как 61,4 вместо 0,614 в расчёте.
Самопроверка Каков наибольший возможный COP холодильника, который поддерживает внутри 0 °C на кухне при 27 °C?
0,91
0
10,1
11,1
Ответ: 10,1. COPR,max = TC/(TH − TC) = 273,15/27 = 10,1. Если поставить TH наверх, получится значение для теплового насоса 11,1, а использование 0 °C напрямую даёт 0.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: первый закон для цикла. По двум из QH, W и QC найдите третье или КПД. Варианты используют электростанции (MW), холодильники и тепловые насосы с заданным COP.
Средняя: предел Карно. Найдите ηmax или Wmax по температурам резервуаров. Другие вопросы требуют найти КПД по второму закону (η/ηmax), температуру холодного резервуара обратимого двигателя или тепло, отдаваемое обратимым холодильником.
Сложная: холодильники и тепловые насосы на пределе Карно: найдите COPmax или минимальную подводимую мощность. В других вопросах соединяют два устройства или требуют найти энтропию, генерируемую реальным двигателем.
Для минимальной подводимой мощности: сначала COPmax по температурам, затем Wmin = QH/COPHP,max или QC/COPR,max.
Для энтропии, генерируемой за цикл: Sgen = QC/TC − QH/TH, которая должна быть нулевой или положительной.
Тепловой насос с коэффициентом преобразования 5 подаёт в дом 4 kW теплоты. Найдите тепловой поток Q̇L, который он отбирает от наружного воздуха.
COPHP = 5Q̇H = 4 kW
Найти: Q̇L(kW)
Показать подсказки
Полезный результат теплового насоса — поданная теплота: COPHP = Q̇H/Ẇ.
Энергетический баланс цикла: Q̇L = Q̇H − Ẇ.
Ẇ = 0,8 kW.
Показать ответ и пошаговое решение
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Потребляемая мощность
Ẇ = Q̇H/COP = 4/5 = 0,8 kW
Теплота, взятая снаружи
Q̇L = Q̇H − Ẇ = 4 − 0,8 = 3,2 kW
Ответ
Q̇L = 3,2 kW
Пример 2Средняя
Обратимая тепловая машина (машина Карно) за цикл получает 3100 kJ теплоты от резервуара при 625 °C и отдаёт 977 kJ. Найдите температуру TL холодного резервуара в °C.
TH = 625 °CQH = 3100 kJQL = 977 kJ
Найти: TL(°C)
Показать подсказки
Для обратимого цикла количества теплоты относятся как абсолютные температуры: QL/QH = TL/TH.
Используйте абсолютные температуры: K = °C + 273,15.
TH = 898,1 K.
Показать ответ и пошаговое решение
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Абсолютная температура источника
TH = 625 + 273,15 = 898,1 K
Отношение теплот для обратимого цикла
TL = TH·QL/QH = 898,1·977/3100 = 283,1 K = 9,912 °C
Ответ
TL = 9,912 °C
Пример 3Сложная
Тепловой насос поддерживает в доме 20 °C, когда на улице 2 °C, и подаёт в дом 14 kW теплоты. Найдите минимальную необходимую мощность Ẇmin.
TH = 20 °CTL = 2 °CQ̇H = 14 kW
Найти: Ẇmin(kW)
Показать подсказки
COP теплового насоса — это поданная теплота, делённая на затраченную работу: COP = QH/W. Обратимый предел — TH/(TH − TL).
Используйте абсолютные температуры: K = °C + 273,15.
COP = 16,29.
Показать ответ и пошаговое решение
Ограничения второго закона: ни один цикл между резервуарами с абсолютными температурами TH и TL не может превзойти обратимый цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) и COPHP,max = TH/(TH − TL). Энергия всегда сохраняется: QH = W + QL.
Меньше всего работы нужно обратимой машине, у которой наибольший COP.
Ẇmin = Q̇H/COP = 14/16,29 = 0,8596 kW
Ответ
Ẇmin = 0,8596 kW
Вопросы и ответы
Тепловые машины и холодильники: что это?
Каждый тепловой двигатель работает одинаково. Он берёт тепло QH от чего-то горячего, превращает часть его в работу W, а остальное QC отдаёт чему-то холодному.
Горячие и холодные места называются резервуарами: пламя, котёл, наружный воздух, река. Они настолько велики, что их температуры не меняются.
Тепловые машины и холодильники: как решать задачи шаг за шагом?
Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.
Тепловые машины и холодильники: какие ошибки самые частые?
COP = Q<sub>H</sub>/W даёт работу; теплота, взятая снаружи, тогда Q<sub>L</sub> = QH − W.
Это затраченная работа. Теплота, взятая снаружи, Q<sub>L</sub> = Q<sub>H</sub> − W.
Для обратимого цикла Q<sub>L</sub>/Q<sub>H</sub> = T<sub>L</sub>/T<sub>H</sub> выполняется только для абсолютных температур. Сначала переведите в кельвины, затем обратно в °C.
Тепловые машины и холодильники: что вы тренируете?
Лёгкая: первый закон для цикла
Средняя: предел Карно
Сложная: холодильники и тепловые насосы
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.