Механические колебания: задачи с пошаговыми решениями
Бесплатные задачи по теме Механические колебания с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: собственная частота, коэффициент демпфирования, последовательные и параллельные пружины.
Бесплатная задачаЛёгкая
Машина стоит на пружинных опорах, которые сжимаются под её весом на 15 mm. Рассматривайте её как систему с одной степенью свободы без демпфирования и примите g = 9,81 m/s². Найдите собственную частоту fn вертикальных колебаний в Hz.
Повесьте груз на пружину, слегка оттяните вниз и отпустите. Он подпрыгивает вверх и вниз около положения покоя. Это повторяющееся движение — вибрация.
У каждой такой системы есть собственный любимый ритм, собственная частота. Она зависит только от жёсткости пружины и массы груза, а не от того, насколько далеко вы его оттянули.
Инженеров это волнует, потому что машина, которую трясёт на собственной частоте, может сильно вибрировать. Это называется резонансом. Опоры двигателей, стиральные машины и мосты проектируют с учётом этого.
Более жёсткая пружина делает вибрацию быстрее. Более тяжёлый груз делает её медленнее.
Самопроверка Вы заменяете груз на пружине грузом в четыре раза тяжелее. Что происходит с собственной частотой?
Не меняется
Она становится в четыре раза ниже
Она удваивается
Она уменьшается вдвое
Ответ: Она уменьшается вдвое. Частота зависит от √(k/m). Четырёхкратная масса делит квадратный корень на √4 = 2, поэтому частота уменьшается вдвое.
2Собственная частота и сочетания пружин
Для груза m (kg) на пружине жёсткостью k (N/m) собственная круговая частота в rad/s равна:
ωn = √(k / m)
Один полный цикл — это 2π радиан. Поэтому собственная частота в герцах (циклов в секунду) и период (секунд на цикл) равны:
fn = ωn / (2π) T = 1 / fn
Иногда известно только, насколько пружина провисает под весом, — статический прогиб δst = m·g/k. Тогда ωn = √(g / δst), где δst в метрах.
Когда пружин несколько, сначала замените их одной эквивалентной пружиной:
Рядом друг с другом (параллельно) пружины делят нагрузку, а жёсткости складываются.
Конец к концу (последовательно) каждая пружина несёт полную нагрузку, а эквивалентная пружина мягче любой из них.
Самопроверка Две пружины по 10 kN/m соединены конец к концу (последовательно). Какова эквивалентная жёсткость?
10 kN/m
100 kN/m
20 kN/m
5 kN/m
Ответ: 5 kN/m. 1/k = 1/10 + 1/10 = 2/10, поэтому k = 5 kN/m. Сложение до 20 kN/m — это правило для параллельных пружин.
3Демпфирование
Реальные колебания затухают. Демпфер (поршень, движущийся в масле, как амортизатор автомобиля) отбирает энергию. Его мощность — это коэффициент демпфирования c в N·s/m.
Критическое демпфирование — это такое демпфирование, которое как раз прекращает подпрыгивание груза:
cc = 2 · √(k · m) = 2 · m · ωn
Коэффициент демпфирования сравнивает реальное демпфирование с этим критическим значением:
ζ = c / cc
ζ < 1: недодемпфирование. Груз всё ещё колеблется, но размахи уменьшаются.
ζ = 1: критическое демпфирование. Он возвращается в покой как можно быстрее без перерегулирования.
ζ > 1: передемпфирование. Он медленно возвращается без колебаний.
Система с недодемпфированием колеблется чуть медленнее недемпфированной, на демпфированной собственной частоте:
ωd = ωn · √(1 − ζ²)
Самопроверка Груз 10 kg сидит на пружине 1000 N/m с демпфером c = 50 N·s/m. Чему равен коэффициент демпфирования?
0,25
0,5
2,5
4
Ответ: 0,25. cc = 2·√(1000 · 10) = 200 N·s/m, поэтому ζ = 50/200 = 0,25. Забытый множитель 2 даёт 0,5, а деление наоборот даёт 4.
4Метод по шагам
Переведите всё в единицы СИ: kN/m в N/m (× 1000), mm в m, граммы в kg.
Если пружин несколько, объедините их в одно k: при параллельном соединении складывайте жёсткости, при последовательном — обратные величины.
Найдите ωn = √(k/m) в rad/s.
Если вопрос требует герцы, разделите на 2π: fn = ωn/(2π). Для периода возьмите T = 1/fn.
При наличии демпфирования найдите cc = 2·√(k·m), затем ζ = c/cc и, если нужно, ωd = ωn·√(1 − ζ²).
Разделяйте ω (rad/s) и f (Hz). Они различаются множителем 2π ≈ 6,28, и их путаница — самый частый способ потерять баллы.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Груз 50 kg висит на пружине жёсткостью 20 kN/m. Демпфированием пренебрегите. Найдите собственную частоту fn в Hz и период колебаний.
1
Нарисуйте и переведите единицы
Жёсткость должна быть в N/m: k = 20 kN/m = 20 000 N/m. Масса уже в kg.
2
Собственная круговая частота
ωn = √(k / m) = √(20 000 / 50) = √400 = 20 rad/s
3
Перейдите к герцам
Разделите на 2π, чтобы получить число полных циклов в секунду:
fn = 20 / (2π) = 3,18 Hz
4
Период
T = 1 / fn = 1 / 3,183 = 0,314 s
Груз совершает чуть больше трёх полных циклов вверх-вниз каждую секунду.
Те же 20 rad/s, найденные другим способом. Ответ верен.
6
Идём дальше: добавим демпфер
С демпфером c = 400 N·s/m: cc = 2·√(20 000 · 50) = 2000 N·s/m, поэтому ζ = 400/2000 = 0,2.
ωd = 20 · √(1 − 0,2²) = 19,6 rad/s, fd = 3,12 Hz
Ответ
fn ≈ 3,18 Hz (ωn = 20 rad/s), а период T ≈ 0,314 s.
6Типичные ошибки
Указана ωn в rad/s, когда вопрос требует fn в Hz, или наоборот.
Жёсткость оставлена в kN/m. В формуле нужны N/m.
Сложение пружин последовательно, как будто они параллельны.
Забытая 2 в cc = 2·√(k·m).
Использование веса m·g вместо массы m в ωn = √(k/m).
Самопроверка Груз 4 kg висит на пружине 400 N/m. Какова его собственная частота в Hz?
0,05 Hz
1,59 Hz
10 Hz
62,8 Hz
Ответ: 1,59 Hz. ωn = √(400/4) = 10 rad/s, а fn = 10/(2π) = 1,59 Hz. Остановка на 10 даёт rad/s, а не Hz; умножение на 2π даёт 62,8; использование 0,4 (kN/m) даёт 0,05 Hz.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: собственная частота. Груз на пружине: найдите ωn в rad/s или fn в Hz. В некоторых вопросах дан только статический прогиб машины на её опорах.
Средняя: коэффициент демпфирования. Найдите ζ по m, k и c либо демпфированную частоту fd по заданному ζ. В других вопросах даны два пика из испытания на свободные колебания.
Сложная: пружины последовательно и параллельно, иногда оба варианта (две пружины рядом держат стержень, третья пружина под ним). Сначала найдите keq, затем fn.
Для двух пиков x0 и xn, разделённых n циклами, используйте логарифмический декремент:
Груз массой 40 kg висит на пружине жёсткостью 15 kN/m. Демпфированием пренебрегите. Найдите собственную частоту fn в Hz.
m = 40 kgk = 15 kN/m
Найти: fn(Hz)
Показать подсказки
Работайте в единицах SI: k в N/m.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
k = 15000 N/m.
Показать ответ и пошаговое решение
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Собственная круговая частота
ωn = √(k/m) = √(15000/40) = 19,36 rad/s
В герцах
fn = ωn/(2π) = 19,36/(2π) = 3,082 Hz
Ответ
fn = 3,082 Hz
Пример 2Средняя
Груз массой 10 kg на пружине жёсткостью 50 kN/m снабжён вязким демпфером, дающим коэффициент демпфирования 0,4. Найдите частоту fd его свободных затухающих колебаний в Hz.
m = 10 kgk = 50 kN/mζ = 0,4
Найти: fd(Hz)
Показать подсказки
Сначала найдите собственную частоту без демпфирования.
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π).
fd = fn·√(1 − ζ²).
Показать ответ и пошаговое решение
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Собственная частота без демпфирования
ωn = √(50000/10) = 70,71 rad/s
fn = 70,71/(2π) = 11,25 Hz
Частота затухающих колебаний
fd = fn·√(1 − ζ²) = 11,25·√(1 − 0,4²) = 10,31 Hz
Ответ
fd = 10,31 Hz
Пример 3Сложная
Груз массой 5 kg висит на двух пружинах, соединённых друг за другом (последовательно): у верхней k₁ = 80 kN/m, у нижней k₂ = 20 kN/m. Найдите эквивалентную жёсткость keq системы пружин в kN/m.
m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 20 kN/m
Найти: keq(kN/m)
Показать подсказки
У параллельных пружин одинаковая деформация: жёсткости складываются. У последовательных одинаковая сила: складываются податливости 1/k.
1/keq = 1/k₁ + 1/k₂.
keq < 20 kN/m.
Показать ответ и пошаговое решение
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Эквивалентная жёсткость
Последовательные пружины передают одну и ту же силу, а их деформации складываются, поэтому складываются обратные величины: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Повесьте груз на пружину, слегка оттяните вниз и отпустите. Он подпрыгивает вверх и вниз около положения покоя. Это повторяющееся движение — вибрация.
У каждой такой системы есть собственный любимый ритм, собственная частота. Она зависит только от жёсткости пружины и массы груза, а не от того, насколько далеко вы его оттянули.
Механические колебания: как решать задачи шаг за шагом?
Свободные колебания системы «масса–пружина»: собственная частота без демпфирования ωn = √(k/m) в rad/s и fn = ωn/(2π) в Hz. Вязкий демпфер c даёт коэффициент демпфирования ζ = c/cc, где критическое демпфирование cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Система со слабым демпфированием (ζ < 1) колеблется с частотой ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жёсткости параллельных пружин складываются, k = k₁ + k₂; у последовательных складываются обратные величины, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Механические колебания: какие ошибки самые частые?
Это ωn в rad/s. Разделите на 2π, чтобы получить частоту в Hz.
Переведите kN/m в N/m (умножьте на 1000), прежде чем использовать ωn = √(k/m).
Чтобы получить Hz, разделите ωn на 2π, а не умножайте.
Механические колебания: что вы тренируете?
Лёгкая: собственная частота
Средняя: коэффициент демпфирования
Сложная: последовательные и параллельные пружины
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.