Пружины и маятники: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Пружины и маятники с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: груз на пружине, маятник, скорость, ускорение и энергия.

Бесплатная задачаЛёгкая
4,8 kgk = ?

Груз массой 4,8 kg на пружине колеблется с периодом 2,5 s. Найдите жёсткость пружины k.

m = 4,8 kgT = 2,5 s
N/m
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Пружины и маятникиЗанимайтесь сейчас: Пружины и маятникиБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаягруз на пружине
  2. Средняямаятник
  3. Сложнаяскорость, ускорение и энергия

Основные формулы

Груз на пружине
T = 2π·√(m/k)
Маятник
T = 2π·√(L/g)
Угловая частота
ω = √(k/m) = 2π/T
Наибольшие скорость и ускорение
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Энергия
E = ½·k·A²

Изучите тему «Пружины и маятники» с нуля

Перед этим: Законы Ньютона

1Что такое колебание

Оттяните груз на пружине в сторону и отпустите. Он возвращается через середину, уходит на другую сторону и снова назад. Ребёнок на качелях и гитарная струна делают то же самое.

Это повторяющееся движение — колебание. Средняя точка, где груз покоился бы, — это положение равновесия.

m0−A+Axk
  • Амплитуда A — наибольшее расстояние от положения равновесия, в m.
  • Период T — время одного полного колебания, туда и обратно, в s.
  • Частота f — число колебаний в секунду, в герцах (Hz).
f = 1 / T
Самопроверка Груз на пружине совершает 20 полных колебаний за 10 s. Чему равен период?
  1. 0,5 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 200 s

Ответ: 0,5 s. T = время / число колебаний = 10/20 = 0,5 s. 2 — это частота в Hz (20/10), число колебаний в секунду.

2Гармоническое колебание

Пружина тянет назад с силой, пропорциональной растяжению: F = −k·x. Жёсткость k измеряется в N/m. Знак минус означает, что сила всегда направлена к положению равновесия.

Такая возвращающая сила даёт простое гармоническое колебание (SHM). Положение изменяется во времени по косинусу:

txA−AT
x = A · cos(ω·t)

Угловая частота ω (омега), в rad/s, определяет, как быстро движение повторяется. Один период — это 2π rad.

ω = 2π / T = 2π · f

Амплитуда не влияет на период. Больший размах охватывает большее расстояние, но и движется быстрее.

3Формулы для пружины и маятника

Для груза на пружине более тяжёлый груз колеблется медленнее, а более жёсткая пружина — быстрее:

ω = √(k / m) T = 2π · √(m / k)

Для простого маятника длиной L при малых размахах масса не имеет никакого значения:

T = 2π · √(L / g)

Если пружина висит вертикально, вес растягивает её до нового положения равновесия: k·x = m·g. Используйте это, чтобы найти k по измеренному растяжению.

Скорость наибольшая в положении равновесия и нулевая на краях. Ускорение наибольшее на краях, где сила пружины наибольшая:

vmax = A · ω amax = A · ω²

Полная энергия остаётся неизменной: E = ½·k·A². В положении x она делится как ½·k·x² + ½·m·v².

Самопроверка Вы заменяете груз на пружине грузом вдвое тяжелее. Что происходит с периодом?
  1. Он становится в 1,41 раза меньше
  2. Он становится в 4 раза больше
  3. Он становится в √2 ≈ 1,41 раза больше
  4. Она удваивается

Ответ: Он становится в √2 ≈ 1,41 раза больше. T = 2π·√(m/k), поэтому T растёт как квадратный корень из m. Удвоение m умножает T на √2. Утверждение, что он удваивается, забывает квадратный корень.

4Метод по шагам

  1. Переведите всё в единицы СИ: граммы в kg, сантиметры в m.
  2. Определите, какая это система: груз на пружине (используйте k и m) или маятник (используйте L и g).
  3. Если заданы период или число колебаний, сначала найдите T: T = время / число.
  4. Найдите ω по системе: ω = √(k/m) или ω = 2π/T.
  5. Используйте формулу для искомой величины: T, f, vmax = A·ω, amax = A·ω² или энергия ½·k·A².
  6. Проверьте, что ответ разумен: период в доли секунды для жёсткой пружины, несколько секунд для длинного маятника.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Груз 0,5 kg на пружине с k = 200 N/m оттягивают на 5 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите период T, частоту f, максимальную скорость vmax и максимальное ускорение amax.

1

Единицы

A = 5 cm = 0,05 m m = 0,5 kg k = 200 N/m
2

Угловая частота

ω = √(k / m) = √(200 / 0,5) = √400 = 20 rad/s
3

Период и частота

T = 2π / ω = 2π / 20 = 0,314 s
f = 1 / T = 3,18 Hz
4

Наибольшая скорость

Груз движется быстрее всего при прохождении положения равновесия.

vmax = A · ω = 0,05 · 20 = 1 m/s
5

Наибольшее ускорение

Ускорение наибольшее на краях, где груз разворачивается.

amax = A · ω² = 0,05 · 400 = 20 m/s²
6

Проверьте ответ

Проверка энергии: ½·k·A² = ½ · 200 · 0,05² = 0,25 J, и ½·m·vmax² = ½ · 0,5 · 1² = 0,25 J. Вся энергия пружины в положении равновесия становится кинетической.

Ответ

T ≈ 0,314 s, f ≈ 3,18 Hz, vmax = 1 m/s и amax = 20 m/s².

6Типичные ошибки

  • Использование амплитуды в cm вместо m.
  • Перевёрнутая дробь: T = 2π·√(m/k), а не √(k/m). Для маятника — √(L/g).
  • Забытое 2π или путаница между ω (rad/s) и f (Hz).
  • Мнение, что масса меняет период маятника или что амплитуда меняет любой период.
  • Путаница между vmax = A·ω и amax = A·ω².
Самопроверка Груз колеблется с амплитудой 10 cm и ω = 10 rad/s. Чему равно его максимальное ускорение?
  1. 1 m/s²
  2. 10 m/s²
  3. 100 m/s²
  4. 1000 m/s²

Ответ: 10 m/s². amax = A·ω² = 0,1 · 100 = 10 m/s². Использование A = 10 (cm) даёт 1000. 1 m/s — это A·ω, максимальная скорость, а не ускорение.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: груз на пружине. Найдите T, f или k, иногда по числу колебаний или по тому, насколько груз растягивает висящую пружину.
  • Средняя: маятник. Найдите его период, длину для заданного периода или g на другой планете. В некоторых вопросах требуется скорость в положении или в заданный момент времени.
  • Сложная: скорость, ускорение и энергия: vmax, amax, кинетическая энергия в положении или амплитуда после попадания пули в брусок на пружине.

Быстрая проверка для любого маятника: маятник длиной 1 m на Земле имеет период около 2 s.

Самопроверка Маятник имеет длину 2,45 m. При g = 9,81 m/s² каков его период при малых размахах?
  1. 0,50 s
  2. 1,57 s
  3. 12,6 s
  4. 3,14 s

Ответ: 3,14 s. T = 2π·√(2,45/9,81) = 2π · 0,5 = 3,14 s. Перевёрнутое √(g/L) даёт 12,6 s, забытый корень даёт 1,57 s, а забытое 2π даёт 0,50 s.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
3,2 kgk = 210 N/m

Груз массой 3,2 kg на пружине жёсткостью 210 N/m колеблется на гладкой горизонтальной поверхности. Найдите период T.

m = 3,2 kgk = 210 N/m

Найти: T (s)

Показать подсказки
  1. Период пружинного маятника не зависит от амплитуды.
  2. T = 2π·√(m/k).
  3. √(m/k) = 0,1234 s.
Показать ответ и пошаговое решение

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Период

T = 2π·√(3,2/210) = 0,7756 s

Ответ

T = 0,7756 s
Пример 2Средняя
1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Груз массой 1,1 kg на пружине с k = 120 N/m колеблется на поверхности без трения с амплитудой 7 cm. Найдите его скорость v на расстоянии 6 cm от положения равновесия.

m = 1,1 kgk = 120 N/mA = 7 cmx = 6 cm

Найти: v (m/s)

Показать подсказки
  1. Энергия сохраняется: ½·k·A² = ½·k·x² + ½·m·v².
  2. Поэтому v = ω·√(A² − x²), где ω = √(k/m).
  3. ω = 10,44 rad/s.
Показать ответ и пошаговое решение

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(120/1,1) = 10,44 rad/s

Скорость в точке x

v = ω·√(A² − x²) = 10,44·√(0,07² − 0,06²) = 0,3766 m/s

Ответ

v = 0,3766 m/s
Пример 3Сложная
1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Груз массой 1,7 kg на пружине с k = 380 N/m оттягивают на 11 cm от положения равновесия и отпускают. Найдите его наибольшее ускорение amax.

m = 1,7 kgk = 380 N/mA = 11 cm

Найти: amax (m/s²)

Показать подсказки
  1. ω = √(k/m).
  2. Ускорение наибольшее в крайних точках: amax = A·ω².
  3. ω = 14,95 rad/s, A = 0,11 m.
Показать ответ и пошаговое решение

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Угловая частота

ω = √(380/1,7) = 14,95 rad/s

Наибольшее ускорение

amax = A·ω² = 0,11·14,95² = 24,59 m/s²

Ответ

amax = 24,59 m/s²

Вопросы и ответы

Пружины и маятники: что это?

Оттяните груз на пружине в сторону и отпустите. Он возвращается через середину, уходит на другую сторону и снова назад. Ребёнок на качелях и гитарная струна делают то же самое.

Это повторяющееся движение — колебание. Средняя точка, где груз покоился бы, — это положение равновесия.

Пружины и маятники: как решать задачи шаг за шагом?

Гармонические колебания: груз массой m на пружине жёсткостью k колеблется с угловой частотой ω = √(k/m) и периодом T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Математический маятник длиной L имеет период T = 2π·√(L/g). При амплитуде A наибольшая скорость равна A·ω, наибольшее ускорение — A·ω², а энергия — ½·k·A².

Пружины и маятники: какие ошибки самые частые?
  • Не забудьте 2π: T = 2π·√(m/k) и f = 1/T.
  • Проверьте дробь под корнем: T = 2π·√(m/k), масса в числителе.
  • Это наибольшая скорость — в положении равновесия. В точке x скорость меньше: v = ω·√(A² − x²).
Пружины и маятники: что вы тренируете?
  • Лёгкая: груз на пружине
  • Средняя: маятник
  • Сложная: скорость, ускорение и энергия

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Законы Ньютона

Далее

Механические колебанияВолны, звук и оптика

Калькуляторы

Калькулятор периода маятника и пружиныКалькулятор жёсткости пружины (закон Гука)

Курсы с этой темой

ДинамикаФизика 1: МеханикаВолны и оптикаЗадачи для подготовки к AP Physics 1

Другие темы: Физика

КинематикаЗаконы НьютонаДвижение по окружностиИмпульс и столкновенияЗакон Кулона и электрическое полеМагнитные поля и индукцияВолны, звук и оптика

Лист заданий для печати

Пружины и маятники: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Пружины и маятникиЗанимайтесь сейчас: Пружины и маятникиБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.