Магнитные поля и индукция: задачи с пошаговыми решениями
Бесплатные задачи по теме Магнитные поля и индукция с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: поля токов и магнитные силы, заряженные частицы, Фарадей и Ленц, генераторы, индуктивность и пучки частиц.
Бесплатная задачаЛёгкая
По плоской круговой катушке из 100 витков радиусом 2 cm течёт ток 0,5 A. Найдите магнитную индукцию B в её центре.
Каждый электрический ток окружён магнитным полем B, которое измеряется в теслах (T). Поле Земли составляет около 50 µT; магнит на холодильнике — несколько mT.
Вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности. Направьте большой палец правой руки вдоль тока: согнутые пальцы покажут направление B (правило правой руки, или правило буравчика). На рисунках ⊗ означает поле, направленное в плоскость рисунка, а ⊙ — из неё.
провод: B = μ₀I/(2πr) центр витка: B = μ₀NI/(2R) соленоид: B = μ₀(N/L)·I
μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Всегда используйте метры: 5 cm — это 0,05 m. Внутри длинного соленоида поле однородно и не зависит от радиуса.
Самопроверка Расстояние от длинного прямого провода удваивается. Что происходит с B?
Не меняется
Она удваивается
Она уменьшается вдвое
Оно уменьшается до четверти
Ответ: Она уменьшается вдвое. B = μ₀I/(2πr) убывает как 1/r, поэтому при удвоенном расстоянии поле вдвое меньше. Закон 1/r² относится к точечным зарядам, а не к проводам.
2Магнитные силы
Поле действует на движущиеся заряды. На прямой провод длиной L с током I и на отдельный заряд q, движущийся со скоростью v:
F = BIL·sin θ F = |q|vB·sin θ
θ — угол между током (или скоростью) и полем: провод, параллельный B, не испытывает силы. Сила перпендикулярна им обоим. Пальцы правой руки вдоль v, согните их к B: большой палец показывает F для положительного заряда. Для электрона направление меняется на противоположное.
Поскольку сила всегда перпендикулярна скорости, заряд, движущийся поперёк однородного поля, описывает окружность. Из |q|vB = mv²/r получаем r = mv/(|q|B). Время одного оборота, T = 2πm/(|q|B), не зависит от скорости.
Два параллельных провода притягиваются, когда токи в них текут в одну сторону, и отталкиваются, когда в противоположные, с F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Самопроверка Протон и электрон движутся с одинаковой скоростью поперёк одного и того же поля. Кто движется по окружности большего радиуса?
Никто: они движутся по прямым
Обе окружности одинакового размера
Протон
Электрон
Ответ: Протон. r = mv/(|q|B). Модуль заряда у них одинаков, но протон примерно в 1836 раз тяжелее, поэтому его окружность в 1836 раз больше. Кроме того, они искривляются в противоположные стороны.
3Магнитный поток и закон Фарадея
Магнитный поток через контур показывает, сколько поля проходит через него: Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Единица: вебер (Wb = T·m²).
Когда поток через катушку изменяется, возникает ЭДС индукции (закон Фарадея). Индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению (правило Ленца):
ε = −N·ΔΦ/Δt
Поток может меняться, потому что меняется B, потому что меняется площадь или потому что катушка поворачивается. Переворот катушки в поле меняет поток на противоположный, поэтому ΔΦ = 2BA.
Стержень длиной L, движущийся со скоростью v поперёк поля, заметает площадь, поэтому ε = BLv. При резисторе R ток равен I = ε/R, и поле действует на этот ток с силой F = BIL: чтобы стержень продолжал двигаться, его нужно постоянно тянуть.
Самопроверка Поле, направленное в плоскость рисунка, через контур возрастает. В какую сторону течёт индукционный ток, если смотреть спереди?
Зависит от размера контура
По часовой стрелке
Против часовой стрелки
Тока нет
Ответ: Против часовой стрелки. Индукционный ток противодействует росту потока в плоскость рисунка, поэтому его собственное поле внутри контура направлено из плоскости рисунка. По правилу буравчика для этого нужен ток против часовой стрелки.
4Генераторы и индуктивность
Катушка из N витков площадью A, вращающаяся с угловой скоростью ω в поле B, даёт синусоидальную ЭДС с амплитудой E₀ = NBAω. Действующее значение равно E₀/√2, а ω = 2π·n/60 для n в rpm.
Изменяющийся ток в катушке меняет её собственный поток, который наводит ЭДС, противодействующую изменению: это самоиндукция L, в генри (H).
ε = L·ΔI/Δt длинный соленоид: L = μ₀N²A/l энергия: W = ½LI²
Две катушки с общим потоком имеют взаимную индуктивность M: изменяющийся ток в одной наводит в другой ε₂ = M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂) и 0 ≤ k ≤ 1. На этом основаны трансформаторы.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Металлический стержень длиной 40 cm скользит со скоростью 5 m/s по рельсам в поле 0,5 T. Рельсы соединены резистором 2 Ω. Найдите ток и силу, необходимую для поддержания постоянной скорости стержня.
1
ЭДС индукции
ε = BLv = 0,5 · 0,40 · 5 = 1,0 V
2
Ток
I = ε/R = 1,0/2 = 0,5 A
3
Тормозящая сила
Ток в стержне находится в поле, поэтому на стержень действует F = BIL, направленная против его движения (правило Ленца).
F = 0,5 · 0,5 · 0,40 = 0,10 N
4
Проверка по энергии
Мощность тяги F·v = 0,10 · 5 = 0,5 W равна теплу в резисторе, I²R = 0,25 · 2 = 0,5 W. Энергия сохраняется.
Ответ
I = 0,5 A и F = 0,10 N.
6Типичные ошибки
Оставлять расстояния в cm или площади в cm². 1 cm² = 10⁻⁴ m².
Путать формулы: μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра витка, μ₀nI для соленоида.
Использовать в Φ = BA·cos θ угол с плоскостью вместо угла с нормалью.
Использовать в законе Фарадея конечное поле вместо изменения поля.
Забывать менять направление силы для отрицательного заряда.
Путать амплитудное и действующее значения для генератора.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкий: B провода, витка или соленоида, сила, действующая на провод или движущийся заряд, и поток через контур.
Средний: радиус и период обращения заряда в поле, закон Фарадея для катушки, стержень на рельсах, параллельные провода, а также направление силы или индукционного тока.
Сложный: генераторы, самоиндукция и запасённая энергия, взаимная индуктивность, масс-спектрометры и селекторы скоростей.
Для направлений рисуйте обозначения поля и каждый раз пользуйтесь правой рукой; для величин сначала запишите формулу и переведите все величины в единицы СИ.
По длинному прямому проводу течёт ток 8 A. На каком расстоянии r от провода магнитная индукция равна 32 µT?
I = 8 AB = 32 µTμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Найти: r(cm)
Показать подсказки
Выразите r из B = μ₀I/(2πr).
r = μ₀I/(2πB).
Переведите результат из метров в сантиметры.
Показать ответ и пошаговое решение
Магнитное поле токов: вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности (правило правой руки), B = μ₀I/(2πr). В центре плоской круговой катушки из N витков B = μ₀NI/(2R). Внутри длинного соленоида поле однородно, B = μ₀nI, где n = N/L — число витков на метр, независимо от радиуса. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Работайте в единицах СИ (метры и амперы), а поля нескольких источников складывайте как векторы.
Расстояние по полю
r = μ₀I/(2πB) = 4π × 10⁻⁷·8/(2π·32 × 10⁻⁶) = 0,05 m = 5 cm
Ответ
r = 5 cm
Пример 2Средняя
Катушка из 50 витков имеет площадь 80 cm². Однородное поле, перпендикулярное катушке, равномерно растёт от 0,2 T до 1 T за 100 ms. Найдите среднюю ЭДС индукции ε.
N = 50A = 80 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 100 ms
Найти: ε(V)
Показать подсказки
Закон Фарадея: ε = N·ΔΦ/Δt.
ΔΦ = ΔB·A.
A = 0,008 m² и Δt = 0,1 s.
Показать ответ и пошаговое решение
Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).
Изменение потока на виток
ΔΦ = (1 − 0,2)·0,008 = 0,0064 Wb
Средняя ЭДС
ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0064/0,1 = 3,2 V
Ответ
ε = 3,2 V
Пример 3Сложная
Две катушки с индуктивностями 50 mH и 50 mH имеют коэффициент связи 0,3. Ток в первой катушке меняется со скоростью 1000 A/s. Найдите ЭДС ε, наведённую во второй катушке.
L1 = 50 mHL2 = 50 mHk = 0,3di/dt = 1000 A/s
Найти: ε(V)
Показать подсказки
M = k√(L₁L₂).
ε₂ = M·di₁/dt.
Переведите M в генри.
Показать ответ и пошаговое решение
Электромагнитная индукция: поток через контур равен Φ = BA·cos θ, где θ — угол между B и нормалью к контуру. Закон Фарадея: изменение потока наводит в катушке из N витков ЭДС ε = −N·dΦ/dt, а правило Ленца гласит, что индукционный ток течёт так, что его собственное поле противодействует изменению. Стержень, движущийся поперёк поля, даёт ε = BLv. Катушка, вращающаяся с угловой скоростью ω, даёт e = NBAω·sin ωt с амплитудой NBAω. Самоиндукция: ε = −L·di/dt, где L = μ₀N²A/l для длинного соленоида, а запасённая энергия равна W = ½LI². Две связанные катушки: ε₂ = −M·di₁/dt, где M = k√(L₁L₂).
Взаимная индуктивность
M = 0,3·√(50·50) = 15 mH
ЭДС индукции
ε = M·di/dt = 0,015·1000 = 15 V
Ответ
ε = 15 V
Вопросы и ответы
Магнитные поля и индукция: что это?
Каждый электрический ток окружён магнитным полем B, которое измеряется в теслах (T). Поле Земли составляет около 50 µT; магнит на холодильнике — несколько mT.
Вокруг длинного прямого провода линии поля — окружности. Направьте большой палец правой руки вдоль тока: согнутые пальцы покажут направление B (правило правой руки, или правило буравчика). На рисунках ⊗ означает поле, направленное в плоскость рисунка, а ⊙ — из неё.
Магнитные поля и индукция: как решать задачи шаг за шагом?
Переведите каждую величину в единицы СИ: cm в m, cm² в m², mT и µT в T.
Выберите правильную формулу: B = μ₀I/(2πr) для провода, μ₀NI/(2R) для центра катушки, μ₀nI внутри соленоида; F = BIL·sin θ или |q|vB·sin θ для сил.
Для индукции найдите изменение потока ΔΦ = Δ(BA·cos θ) и используйте ε = N·ΔΦ/Δt, либо ε = BLv для движущегося стержня и NBAω для вращающейся катушки.
Направления находите отдельно по правилам правой руки, а для индукционных токов — по правилу Ленца.
Магнитные поля и индукция: какие ошибки самые частые?
Оставлять длины в cm или площади в cm².
Использовать формулу провода для витка или соленоида.
Использовать в Φ = BA·cos θ угол с плоскостью, хотя нужен угол с нормалью.
Забывать менять направление силы для отрицательного заряда.
Путать амплитудное и действующее значения генератора.
Магнитные поля и индукция: что вы тренируете?
Лёгкая: поля токов и магнитные силы
Средняя: заряженные частицы, Фарадей и Ленц
Сложная: генераторы, индуктивность и пучки частиц
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.