Кинематика: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: равноускоренное движение

Бесплатные задачи по теме Кинематика с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: разгон, торможение, вертикальный бросок.

Бесплатная задачаЛёгкая
t (s)v (m/s)9 s6

Поезд равнозамедленно тормозит с 20 m/s до 6 m/s за 9 s. Какой путь он проходит за это время? Найдите s.

v₀ = 20 m/sv = 6 m/st = 9 s
m
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: КинематикаЗанимайтесь сейчас: КинематикаБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяразгон
  2. Средняяторможение
  3. Сложнаявертикальный бросок

Как решать задачи по теме «Кинематика»

  1. Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
  2. Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
  3. Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
  4. Решите и проверьте, что ответ физически разумен.

Типичные ошибки

  • Забывают перевести km/h в m/s.
  • Пропускают ½ в s = v₀·t + ½·a·t².
  • При торможении берут положительное ускорение.

Основные формулы

Скорость
v = v0 + a·t
Перемещение
s = v0·t + ½·a·t²
Без времени
v² = v0² + 2·a·s
Единицы
1 m/s = 3,6 km/h

Изучите тему «Кинематика» с нуля

1Что такое кинематика

Кинематика описывает, как движутся тела: как быстро, как далеко и как долго. Она не спрашивает, почему они движутся. Это задача сил и законов Ньютона.

В этой теме ускорение постоянно. Так движутся автомобиль, равномерно набирающий скорость, поезд, равномерно тормозящий, и свободно падающий камень.

Ускорение — это изменение скорости за секунду. Если автомобиль за одну секунду разгоняется с 10 m/s до 13 m/s, его ускорение равно 3 m/s² (метров в секунду за секунду).

a = (v − v₀) / t

Отрицательное ускорение означает, что тело замедляется в положительном направлении. Торможение — отрицательное ускорение.

Самопроверка Автомобиль равномерно разгоняется с 10 m/s до 16 m/s за 3 s. Чему равно его ускорение?
  1. 18 m/s²
  2. 2 m/s²
  3. 3,3 m/s²
  4. 5,3 m/s²

Ответ: 2 m/s². a = (v − v₀)/t = (16 − 10)/3 = 2 m/s². Деление одной лишь конечной скорости (16/3 = 5,3) не учитывает, что автомобиль уже двигался со скоростью 10 m/s.

2Пять величин

В каждом вопросе этой темы используются некоторые из одних и тех же пяти величин. Сначала выучите их обозначения и единицы.

  • v₀: начальная скорость в m/s. «Из состояния покоя» означает v₀ = 0.
  • v: конечная скорость в m/s. «До остановки» означает v = 0.
  • a: ускорение в m/s². Постоянно на протяжении всего движения.
  • t: время в s.
  • s: перемещение (расстояние в положительном направлении) в m.

Скорости часто даны в km/h. Переведите их в m/s перед расчётом:

1 m/s = 3,6 km/h v (m/s) = v (km/h) / 3,6

Выберите одно положительное направление, обычно направление движения. Величина, направленная в другую сторону, получает знак минус. Для мяча, брошенного вверх, при положительном направлении вверх тяготение даёт a = −9,81 m/s².

Самопроверка Автомобиль едет со скоростью 54 km/h. Чему равна его скорость в m/s?
  1. 15 m/s
  2. 194,4 m/s
  3. 5,4 m/s
  4. 54 m/s

Ответ: 15 m/s. Разделите на 3,6: 54/3,6 = 15 m/s. Умножение на 3,6 (194,4) идёт в неверную сторону: скорость в m/s — всегда меньшее число, чем та же скорость в km/h.

3Три уравнения

При постоянном ускорении три уравнения связывают пять величин:

v = v₀ + a·t
s = v₀·t + ½·a·t²
v² = v₀² + 2·a·s

В каждом уравнении отсутствует одна величина. В первом нет s, во втором нет v, а в третьем нет t. Выберите уравнение, содержащее три известные вам величины и ту, что вы ищете.

График зависимости скорости от времени показывает, почему уравнения работают. При постоянном ускорении график — прямая линия, а площадь под линией — это путь.

t (s)v (m/s)sav0​vt

Площадь этой фигуры равна средней скорости, умноженной на время: s = ½·(v₀ + v)·t. Эта четвёртая форма удобна, когда a не дано.

Самопроверка Вы знаете v₀, a и s, а хотите найти v. Время не дано. Какое уравнение вы используете?
  1. a = (v − v₀)/t
  2. s = v₀·t + ½·a·t²
  3. v = v₀ + a·t
  4. v² = v₀² + 2·a·s

Ответ: v² = v₀² + 2·a·s. Только v² = v₀² + 2·a·s содержит v₀, a, s и v без t. Остальным уравнениям нужно время, которого у вас нет.

4Метод по шагам

  1. Сделайте быстрый эскиз и выберите положительное направление.
  2. Перечислите v₀, v, a, t и s. Запишите значение каждой известной величины с её знаком и отметьте неизвестную.
  3. Переведите km/h в m/s, а минуты в секунды.
  4. Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
  5. Преобразуйте уравнение, подставьте числа и решите.
  6. Проверьте, что ответ разумен: тормозящий автомобиль не едет назад, а время никогда не бывает отрицательным.

Когда движение состоит из нескольких фаз, решайте их одну за другой. Конечная скорость одной фазы — это начальная скорость следующей.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Автомобиль, едущий со скоростью 72 km/h, тормозит с постоянным замедлением 5 m/s² до остановки. Сколько длится торможение и каков тормозной путь?

1

Переведите скорость

v₀ = 72 / 3,6 = 20 m/s
2

Перечислите величины

Примите направление движения за положительное. Автомобиль замедляется, поэтому ускорение отрицательно.

v₀ = 20 m/s v = 0 a = −5 m/s²

Неизвестные — t и s.

3

Найдите время торможения

Используйте v = v₀ + a·t, где нет s.

0 = 20 + (−5)·t ⇒ t = 20 / 5 = 4 s
4

Найдите тормозной путь

Используйте v² = v₀² + 2·a·s, где нет t, поэтому ошибка во времени не перейдёт дальше.

0 = 20² + 2·(−5)·s ⇒ s = 400 / 10 = 40 m
5

Проверьте ответ

t (s)v (m/s)1234102040 m

Площадь треугольника равна ½ · 4 s · 20 m/s = 40 m. Средняя скорость — 10 m/s в течение 4 s, что тоже даёт 40 m.

Ответ

Торможение занимает t = 4 s, а тормозной путь равен s = 40 m.

6Типичные ошибки

  • Считать в km/h вместо m/s. Сначала разделите на 3,6.
  • Пропускают ½ в s = v₀·t + ½·a·t².
  • Использовать положительное ускорение для торможения. Если движение положительное, торможение отрицательное.
  • Забыть знак минус у g для тела, брошенного вверх, когда направление вверх положительное.
  • Путать v₀ и v: «из состояния покоя» задаёт v₀ = 0, «останавливается» задаёт v = 0.
Самопроверка Тележка трогается с места и разгоняется с ускорением 2 m/s² в течение 3 s. Какое расстояние она проходит?
  1. 18 m
  2. 3 m
  3. 6 m
  4. 9 m

Ответ: 9 m. s = v₀·t + ½·a·t² = 0 + ½ · 2 · 3² = 9 m. Если опустить ½, получится 18 m. 6 m — это конечная скорость a·t в m/s, а не расстояние.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: разгон или торможение. Найдите a, v или s с помощью одного уравнения, например для автомобиля, разгоняющегося заданное время, или камня, брошенного с моста.
  • Средняя: торможение и разгон. Скорости в km/h, время и путь торможения, время реакции перед торможением или полицейский автомобиль, догоняющий нарушителя.
  • Сложная: вертикальные броски и движение по фазам. Мяч, брошенный вверх с крыши, два мяча, которые встречаются, ракета или поездка с разгоном, равномерным движением и торможением.

Для вертикального движения примите направление вверх за положительное и используйте a = −9,81 m/s² на всём протяжении полёта. В высшей точке скорость на мгновение равна 0.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
t (s)v (m/s)20 s10

Поезд равнозамедленно тормозит с 15 m/s до 10 m/s за 20 s. Какой путь он проходит за это время? Найдите s.

v₀ = 15 m/sv = 10 m/st = 20 s

Найти: s (m)

Показать подсказки
  1. При постоянном ускорении средняя скорость равна среднему арифметическому начальной и конечной скоростей.
  2. s = (v₀ + v)/2 · t. Это площадь под графиком v–t.
  3. средняя скорость = 12,5 m/s.
Показать ответ и пошаговое решение

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Средняя скорость

(v₀ + v)/2 = (15 + 10)/2 = 12,5 m/s

Путь

s = 12,5·20 = 250 m

Ответ

s = 250 m
Пример 2Средняя
a = ?s = 1000 m

Для взлёта самолёту нужна скорость 250 km/h, а длина полосы 1000 m. С каким постоянным ускорением a он должен разгоняться с места?

v₀ = 0v = 250 km/hs = 1000 m

Найти: a (m/s²)

Показать подсказки
  1. Переведите скорость в m/s: разделите km/h на 3,6.
  2. v² = v₀² + 2·a·s при v₀ = 0, поэтому a = v²/(2s).
  3. v = 69,44 m/s.
Показать ответ и пошаговое решение

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Единицы

v = 250/3,6 = 69,44 m/s

Ускорение

a = v²/(2s) = 69,44²/(2·1000) = 2,411 m/s²

Ответ

a = 2,411 m/s²
Пример 3Сложная
a = 22 m/s²

Модель ракеты запускают вертикально вверх из состояния покоя. Двигатель сообщает ей постоянное ускорение 22 m/s², направленное вверх, в течение 2 s, после чего двигатель выключается и ракета движется свободно. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите наибольшую высоту hmax, которой достигает ракета.

a = 22 m/s²t1 = 2 sg = 9,81 m/s²

Найти: hmax (m)

Показать подсказки
  1. Разделите полёт: активный участок с ускорением a, затем свободный полёт с ускорением −g.
  2. В момент выключения двигателя: v₁ = a·t₁ и h₁ = ½·a·t₁².
  3. v₁ = 44 m/s, h₁ = 44 m.
Показать ответ и пошаговое решение

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Активный участок

v₁ = 22·2 = 44 m/s
h₁ = ½·22·2² = 44 m

Свободный полёт вверх

В наивысшей точке скорость равна нулю.

Δh = v₁²/(2g) = 44²/(2·9,81) = 98,67 m
hmax = 44 + 98,67 = 142,7 m

Ответ

hmax = 142,7 m

Вопросы и ответы

Кинематика: что это?

Кинематика описывает, как движутся тела: как быстро, как далеко и как долго. Она не спрашивает, почему они движутся. Это задача сил и законов Ньютона.

В этой теме ускорение постоянно. Так движутся автомобиль, равномерно набирающий скорость, поезд, равномерно тормозящий, и свободно падающий камень.

Кинематика: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Выпишите известное: v₀, v, a, t и s с единицами.
  2. Выберите уравнение, содержащее три известных величины и неизвестную.
  3. Выберите одно положительное направление и припишите противоположно направленным величинам знак минус.
  4. Решите и проверьте, что ответ физически разумен.
Кинематика: какие ошибки самые частые?
  • Забывают перевести km/h в m/s.
  • Пропускают ½ в s = v₀·t + ½·a·t².
  • При торможении берут положительное ускорение.
Кинематика: что вы тренируете?
  • Лёгкая: разгон
  • Средняя: торможение
  • Сложная: вертикальный бросок

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Далее

Законы НьютонаДвижение тела, брошенного под углом

Калькуляторы

Калькулятор кинематики (SUVAT)Калькулятор свободного падения (время, высота и скорость удара)Калькулятор ускорения (и средней скорости)

Курсы с этой темой

ДинамикаФизика для инженеровФизика 1: МеханикаЗадачи для подготовки к AP Physics 1

Другие темы: Физика

Законы НьютонаДвижение по окружностиИмпульс и столкновенияПружины и маятникиЗакон Кулона и электрическое полеМагнитные поля и индукцияВолны, звук и оптика

Лист заданий для печати

Кинематика: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: КинематикаЗанимайтесь сейчас: КинематикаБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.