Движение тела, брошенного под углом: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: движение под углом к горизонту · тело, брошенное под углом к горизонту
Бесплатные задачи по теме Движение тела, брошенного под углом с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: горизонтальный бросок, бросок с земли, бросок с высоты.
Бесплатная задачаЛёгкая
Камень бросают горизонтально с вершины стены высотой 20 m, и он падает на расстоянии 22 m от её основания. Пренебрегите сопротивлением воздуха и примите g = 9,81 m/s². Найдите начальную скорость v0.
Снаряд — это объект, летящий по воздуху под действием одной лишь силы тяжести. Пнутый мяч, камень, брошенный с моста, и вода из шланга — всё это снаряды.
В этой теме вы пренебрегаете сопротивлением воздуха. Тогда траектория всегда представляет собой плавную кривую — параболу.
Ключевая идея: движение распадается на две отдельные части. В стороны ничто не толкает и не замедляет объект. Вверх и вниз его тянет сила тяжести с ускорением g = 9,81 m/s².
Поэтому горизонтальная скорость остаётся прежней всё время, а вертикальная меняется каждую секунду. У этих двух частей общее только одно — время.
Самопроверка Мяч летит по воздуху без сопротивления воздуха. Какая величина остаётся постоянной в течение полёта?
Вертикальная скорость
Высота
Горизонтальная скорость
Полная скорость
Ответ: Горизонтальная скорость. Горизонтально сила не действует, поэтому горизонтальная скорость никогда не меняется. Сила тяжести меняет вертикальную скорость, а вместе с ней полную скорость и высоту.
2Два движения, одни часы
Поместите начало координат в точку запуска, x — по горизонтали, y — по вертикали (вверх положительно). Через время t:
x = vx · t
y = h + vy · t − ½ · g · t²
Здесь h — высота запуска над землёй, vx — горизонтальная скорость, а vy — начальная вертикальная скорость.
Мяч падает на землю при y = 0. Вы решаете вертикальное уравнение для этого времени, затем подставляете то же время в горизонтальное уравнение.
При горизонтальном запускеvy = 0. Вертикальное уравнение принимает вид h = ½ · g · t², поэтому время падения равно:
t = √(2h / g)
Это время падения вообще не зависит от горизонтальной скорости.
Самопроверка С того же стола шар A скатывается с края со скоростью 1 m/s, а шар B — со скоростью 3 m/s. Какой упадёт первым?
Зависит от их масс
Они упадут одновременно
Шар A
Шар B
Ответ: Они упадут одновременно. Оба начинают с нулевой вертикальной скоростью и падают с одной высоты, поэтому t = √(2h/g) одинаково. Шар B лишь упадёт дальше.
3Запуск под углом
Когда мяч запускают со скоростью v0 под углом θ выше горизонта, сначала разложите скорость на две части — составляющие:
vx = v0 · cos θ vy = v0 · sin θ
С ровной земли мяч поднимается, пока его вертикальная скорость не станет равной нулю, затем падает обратно. Подъём и падение занимают равное время. Это даёт три полезных результата:
ttop = vy / g t = 2 · vy / g
H = vy² / (2g) R = v0² · sin 2θ / g
Формула дальности для R верна только когда мяч приземляется на той же высоте, с которой был запущен.
Самопроверка Мяч запущен со скоростью 20 m/s под углом 30° выше горизонта. Каковы его составляющие скорости?
vx = 10 m/s и vy = 10 m/s
vx = 10 m/s и vy = 17,3 m/s
vx = 17,3 m/s и vy = 10 m/s
vx = 20 m/s и vy = 20 m/s
Ответ: vx = 17,3 m/s и vy = 10 m/s. vx = 20 · cos 30° = 17,3 m/s и vy = 20 · sin 30° = 10 m/s. Если их поменять местами, для горизонтальной части используется sin — классическая путаница.
4Метод по шагам
Нарисуйте траекторию. Отметьте высоту запуска h, скорость запуска v0, угол θ и то, что нужно найти.
Разложите скорость запуска на составляющие: vx = v0 · cos θ и vy = v0 · sin θ. У горизонтального запуска vy = 0.
Используйте вертикальное движение, чтобы найти время полёта: положите y = 0 в y = h + vy·t − ½·g·t² и решите относительно t.
Используйте это время в горизонтальном движении: x = vx · t.
Для скорости в любой момент объедините составляющие: v = √(vx² + (vy − g·t)²).
Проверьте, что калькулятор переключён на градусы, прежде чем брать sin или cos угла, заданного в градусах.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Мяч бросают горизонтально со скоростью 12 m/s с вершины обрыва высотой 45 m. Пренебрегите сопротивлением воздуха и используйте g = 9,81 m/s². На каком расстоянии от подножия обрыва он приземлится?
1
Нарисуйте ситуацию
Запуск горизонтальный, поэтому vx = 12 m/s и vy = 0. Мяч должен упасть на h = 45 m.
2
Найдите время полёта
Вертикальное движение — падение из состояния покоя на 45 m:
t = √(2h / g) = √(2 · 45 / 9,81) = √9,174 = 3,03 s
3
Используйте время для горизонтального движения
В течение этих 3,03 s мяч продолжает двигаться в сторону со скоростью 12 m/s:
x = vx · t = 12 · 3,029 = 36,3 m
4
Проверьте ответ
Подставьте время обратно в вертикальное движение: ½ · 9,81 · 3,029² = 45,0 m. Это в точности высота обрыва, поэтому время верное.
Расстояние около 36 m при броске со скоростью 12 m/s за 3 s также имеет разумный порядок.
5
Дальше: скорость удара
Непосредственно перед приземлением vy = g · t = 9,81 · 3,029 = 29,7 m/s вниз, а vx по-прежнему равна 12 m/s.
v = √(12² + 29,7²) = 32,0 m/s
Ответ
Мяч приземляется на расстоянии x ≈ 36,3 m от подножия обрыва через 3,03 s.
6Типичные ошибки
Использовать полную скорость v0 там, где нужна составляющая. Время полёта определяется только vy, а дальность — только vx.
Путать sin и cos. Горизонтальная составляющая идёт с cos θ, когда θ отсчитывается от горизонтали.
Калькулятор в радианах, когда угол задан в градусах.
Использовать R = v0² · sin 2θ / g, когда мяч приземляется ниже или выше места запуска. Тогда нужно решать вертикальное уравнение.
Придавать горизонтальному движению ускорение. В стороны скорость постоянна.
Самопроверка Мяч пинают с ровной земли со скоростью 20 m/s под углом 30° выше горизонта. Как долго он находится в воздухе? (g = 9,81 m/s²)
1,02 s
2,04 s
3,53 s
4,08 s
Ответ: 2,04 s. vy = 20 · sin 30° = 10 m/s, поэтому t = 2 · 10 / 9,81 = 2,04 s. Использование полных 20 m/s даёт 4,08 s, а 1,02 s — это лишь время до наивысшей точки.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: горизонтальный запуск с обрыва или стены. Найдите время полёта, расстояние приземления, скорость запуска по заданному расстоянию приземления или скорость удара. В некоторых лёгких вопросах спрашивается время до наивысшей точки при запуске с земли.
Средняя: запуск с ровной земли под углом. Найдите время полёта, наибольшую высоту или дальность. В вариантах спрашивается скорость или угол запуска, дающие определённую дальность, или высота, на которой мяч проходит над стеной.
Сложная: запуск под углом с вершины обрыва или приземление на крышу. Положив y = 0 (или высоту крыши), вы получите квадратное уравнение относительно t: берите положительный корень.
В сложном случае угол приземления ниже горизонта следует из конечных составляющих: tan α = |vy − g·t| / vx.
Мяч бросают горизонтально с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите горизонтальное расстояние x, которое мяч пролетает до удара о землю.
v0 = 10 m/sθ = 0°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Найти: x(m)
Показать подсказки
Рассматривайте горизонтальное и вертикальное движения отдельно. Их связывает только время t.
Мяч приземляется, когда его высота y(t) становится 0. Запишите y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 0 m/s, а полёт длится 3,349 s.
Показать ответ и пошаговое решение
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Разложите начальную скорость
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
vx = v0·cos θ = 10·cos 0° = 10 m/s
vy = v0·sin θ = 10·sin 0° = 0 m/s
Время полёта
Решите y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.
t = √(2h/g) = √(2·55/9,81) = 3,349 s
Горизонтальное расстояние
x = vx·t = 10·3,349 = 33,49 m
Ответ
x = 33,49 m
Пример 2Средняя
Мяч бросают под углом 60° к горизонту с ровной поверхности. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.
v0 = 26 m/sθ = 60°g = 9,81 m/s²
Найти: t(s)
Показать подсказки
Рассматривайте горизонтальное и вертикальное движения отдельно. Их связывает только время t.
По симметрии время подъёма равно времени спуска.
vy = 22,52 m/s.
Показать ответ и пошаговое решение
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Разложите начальную скорость
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
vx = v0·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s
vy = v0·sin θ = 26·sin 60° = 22,52 m/s
Время полёта
Старт и приземление на одной высоте: t = 2vy/g.
t = 2·22,52/9,81 = 4,591 s
Ответ
t = 4,591 s
Пример 3Сложная
Мяч бросают под углом 25° к горизонту с вершины скалы высотой 55 m. Сопротивлением воздуха пренебречь. Найдите время полёта t до удара мяча о землю.
v0 = 33 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9,81 m/s²
Найти: t(s)
Показать подсказки
Рассматривайте горизонтальное и вертикальное движения отдельно. Их связывает только время t.
Мяч приземляется, когда его высота y(t) становится 0. Запишите y(t) = h + vyt − ½gt².
vy = 13,95 m/s.
Показать ответ и пошаговое решение
Движение тела, брошенного под углом: без сопротивления воздуха x = vxt и y = h + vyt − ½gt². Оба направления независимы, их связывает только общее время.
Разложите начальную скорость
Горизонтальная скорость постоянна; вертикальное движение имеет постоянное ускорение g = 9,81 m/s² вниз.
vx = v0·cos θ = 33·cos 25° = 29,91 m/s
vy = v0·sin θ = 33·sin 25° = 13,95 m/s
Время полёта
Решите y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 и возьмите положительный корень.
0 = 55 + 13,95·t − 4,905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (13,95 + √(194,5 + 1079))/9,81 = 5,06 s
Ответ
t = 5,06 s
Вопросы и ответы
Движение тела, брошенного под углом: что это?
В этой теме вы пренебрегаете сопротивлением воздуха. Тогда траектория всегда представляет собой плавную кривую — параболу.
Ключевая идея: движение распадается на две отдельные части. В стороны ничто не толкает и не замедляет объект. Вверх и вниз его тянет сила тяжести с ускорением g = 9,81 m/s².
Движение тела, брошенного под углом: как решать задачи шаг за шагом?
Разложите начальную скорость на составляющие: vx = v₀·cos θ и vy = v₀·sin θ.
По горизонтали скорость постоянна; по вертикали ускорение равно −g.
Найдите время полёта из вертикального движения.
Подставьте это время в горизонтальное движение, чтобы найти дальность.
Движение тела, брошенного под углом: какие ошибки самые частые?
Используют v₀ вместо составляющей.
Калькулятор в радианах, а угол дан в градусах.
Применяют формулу дальности v₀²·sin 2θ/g, когда высоты броска и падения различны.
Движение тела, брошенного под углом: что вы тренируете?
Лёгкая: горизонтальный бросок
Средняя: бросок с земли
Сложная: бросок с высоты
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.