Изучите тему «Вращение твёрдого тела» с нуля
Перед этим: Законы Ньютона, Работа и энергия
1Что такое вращение твёрдого тела
Твёрдое тело — это объект, сохраняющий свою форму: маховик, шкив, дверь или катящееся колесо. В этой теме тело вращается вокруг оси.
Каждая точка тела поворачивается на один и тот же угол за одно и то же время. Поэтому движение описывают угловыми величинами вместо расстояний:
- θ: угол поворота в радианах (rad). Один оборот — это 2π rad.
- ω: угловая скорость в rad/s.
- α: угловое ускорение в rad/s².
Машины указывают скорость в оборотах в минуту (rpm). Переведите их перед расчётом:
ω = 2π·n / 60
Точка на расстоянии r от оси движется со скоростью v = ω·r и имеет ускорение a = α·r вдоль своей траектории.
У всего, что вы знаете о прямолинейном движении, есть вращательный двойник: сила становится моментом, масса — моментом инерции, а ΣF = m·a становится ΣM = I·α.
Самопроверка Колесо вращается с частотой 600 rpm. Чему равна его угловая скорость в rad/s?
- 10 rad/s
- 3770 rad/s
- 600 rad/s
- 62,8 rad/s
Ответ: 62,8 rad/s. ω = 2π·600/60 = 2π·10 ≈ 62,8 rad/s. 10 — это обороты в секунду (не хватает 2π), 3770 получается, если забыть разделить на 60, а 600 по-прежнему в rpm.
2Момент инерции
Масса показывает, насколько трудно разогнать тело по прямой. Массовый момент инерции I показывает, насколько трудно его раскрутить.
Масса вдали от оси значит гораздо больше, чем масса вблизи неё, потому что учитывается с квадратом расстояния:
I = Σ m·r² (единица: kg·m²)
Складывать части самостоятельно не нужно. Выучите эти стандартные результаты относительно центра масс G:
- Тонкий стержень длиной L, ось через середину: m·L²/12.
- Сплошной диск или цилиндр радиусом R: ½·m·R².
- Тонкое кольцо или обруч: m·R².
- Сплошной шар: (2/5)·m·R². Полый шар: (2/3)·m·R².
- Точечная масса на расстоянии r: m·r².
Когда ось O не проходит через G, используйте теорему о параллельных осях. Здесь d — расстояние между O и G:
IO = IG + m·d²
У стержня, вращающегося вокруг конца, d = L/2, поэтому IO = m·L²/12 + m·L²/4 = m·L²/3.
В некоторых вопросах вместо формы дан радиус инерции k. Тогда I = m·k². Для тела из частей найдите I каждой части относительно одной и той же оси и сложите.
Самопроверка Однородный стержень массой 3 kg и длиной 2 m вращается вокруг одного из своих концов. Чему равен его момент инерции?
- 1 kg·m²
- 12 kg·m²
- 3 kg·m²
- 4 kg·m²
Ответ: 4 kg·m². I = m·L²/3 = 3·4/3 = 4 kg·m², или IG + m·d² = 1 + 3·1² = 4. 1 kg·m² — значение относительно центра, 3 kg·m² — только часть m·d², а 12 kg·m² — это m·L² без множителя.
3Моменты, энергия и момент импульса
Три инструмента решают почти любую задачу о вращении. Выберите тот, что соответствует вопросу.
1. Моменты. Сумма моментов относительно оси равна I·α. Используйте для ускорений и сил.
ΣM = I·α
При постоянном вращающем моменте у углового движения постоянное α, а у уравнений кинематики есть вращательные двойники: ω = ω₀ + α·t и ω² = ω₀² + 2·α·θ.
2. Энергия. Вращающееся тело запасает кинетическую энергию. Вращающий момент T, поворачивающий на угол θ, совершает работу, а мощность вращающегося вала равна моменту, умноженному на угловую скорость:
E = ½·I·ω² W = T·θ P = T·ω
Тело, которое катится без проскальзывания, движется и вращается одновременно, при этом v = ω·r. Оно имеет оба вида кинетической энергии:
E = ½·m·v² + ½·I·ω² = ½·m·v²·(1 + c) c = I/(m·r²)
Число c зависит только от формы: 0,4 для сплошного шара, 0,5 для сплошного цилиндра, 2/3 для полого шара и 1 для обруча. На склоне a = g·sin θ / (1 + c).
3. Момент импульса. L = I·ω. Когда относительно оси не действует внешний момент, L остаётся прежним, даже если тела слипаются и кинетическая энергия теряется:
I1·ω1 = I2·ω2
Самопроверка Двигатель развивает вращающий момент 100 N·m при 600 rpm. Чему равна его мощность?
- 1 kW
- 377 kW
- 6,28 kW
- 60 kW
Ответ: 6,28 kW. ω = 2π·600/60 = 62,8 rad/s, поэтому P = T·ω = 100·62,8 ≈ 6283 W = 6,28 kW. 60 kW использует rpm как ω, 1 kW использует обороты в секунду, а 377 kW получается, если забыть разделить на 60.
4Метод по шагам
- Нарисуйте тело и выберите ось: неподвижный шарнир или вал либо центр для катящегося тела.
- Найдите момент инерции относительно этой оси. Используйте стандартные результаты и прибавьте m·d², когда ось смещена.
- Переведите каждую скорость в rpm в rad/s по формуле ω = 2π·n/60.
- Выберите инструмент. Ускорения и силы: ΣM = I·α (с ΣF = m·a для частей, движущихся по прямой). Скорости после прохождения расстояния или угла: энергия. Удары, внезапные захваты и тела, втягивающие свою массу: момент импульса.
- Свяжите прямолинейное и вращательное движения там, где их соединяют трос или контакт качения: v = ω·r и a = α·r.
- Решите и, если можете, проверьте результат вторым инструментом.
Для тела, висящего на тросе, перекинутом через шкив, нарисуйте две диаграммы свободного тела: одну для груза (силы) и одну для шкива (моменты). Натяжение троса присутствует в обеих.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный примерГруз массой 2 kg висит на лёгком тросе, намотанном на шкив. Шкив — однородный сплошной диск массой 4 kg и радиусом 0,2 m на оси без трения. Груз отпускают без начальной скорости. Используйте g = 9,81 m/s². Найдите ускорение груза, натяжение троса и скорость груза после падения на 1 m.
1Шкив — сплошной диск, вращающийся вокруг своего центра.
I = ½·M·R² = ½ · 4 · 0,2² = 0,08 kg·m²
2Для груза примите направление вниз за положительное. Сила тяжести тянет его вниз, а натяжение троса T тянет вверх.
m·g − T = m·a ⇒ 19,62 − T = 2·a
3Момент относительно оси создаёт только натяжение, с плечом R. Трос не проскальзывает, поэтому α = a/R.
T·R = I·α = I·a/R ⇒ T = I·a/R² = 0,08·a/0,04 = 2·a
4Подставьте T = 2·a в уравнение для груза.
19,62 − 2·a = 2·a ⇒ a = 19,62/4 = 4,905 m/s²
T = 2 · 4,905 = 9,81 N
Шкив вращается с α = a/R = 4,905/0,2 ≈ 24,5 rad/s².
5Ускорение постоянно, и груз начинает из состояния покоя, поэтому используйте v² = 2·a·s.
v = √(2 · 4,905 · 1) = √9,81 ≈ 3,13 m/s
6Вместо этого используйте энергию. Потерянная потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию груза и шкива, при этом ω = v/R.
m·g·h = ½·m·v² + ½·I·(v/R)² ⇒ 19,62 = v² + v²
Значит, v² = 9,81 и v ≈ 3,13 m/s, как и раньше.
Ответ a ≈ 4,91 m/s², T ≈ 9,81 N и v ≈ 3,13 m/s после 1 m.
6Типичные ошибки
- Оставлять скорости в rpm в ω, E = ½·I·ω² или P = T·ω. Сначала переведите в rad/s.
- Использовать момент инерции относительно центра для тела, вращающегося вокруг конца. Добавьте m·d².
- Забывать о кинетической энергии вращения катящегося тела или блока.
- Считать шар или диск на конце стержня точечной массой. Добавьте и его собственный I относительно его центра.
- Считать, что кинетическая энергия сохраняется, когда тела захватываются или слипаются. Используйте вместо этого момент импульса.
- Считать обороты в радианах: N = θ/(2π).
Самопроверка Сплошной цилиндр массой 2 kg катится без проскальзывания со скоростью 3 m/s. Чему равна его полная кинетическая энергия?
- 13,5 J
- 18 J
- 4,5 J
- 9 J
Ответ: 13,5 J. E = ½·m·v²·(1 + c) = ½·2·3²·1,5 = 13,5 J, где c = 0,5 для сплошного цилиндра. 9 J — только поступательная часть, 4,5 J — только вращательная, а 18 J использует c = 1, значение для обруча.
7Как выглядят экзаменационные задачи
- Лёгкая: момент инерции. Стержень относительно смещённой оси, маятник из стержня и шара или диска, кинетическая энергия маховика либо момент или время, необходимые для раскрутки маховика.
- Средняя: ΣM = I·α, работа и мощность. Стержень, отпущенный из горизонтального положения, груз на шкиве, число оборотов затормаживаемого маховика, момент или мощность вала либо скорость качающегося стержня.
- Сложная: качение и момент импульса. Шар, цилиндр или обруч, скатывающийся по склону, трение, необходимое для качения, доля вращательной энергии, кольцо, упавшее на вращающийся диск, человек, прижимающий к себе гантели, или пуля, попадающая в подвешенный стержень.
Для затормаживаемого маховика тормоз совершает работу, равную запасённой энергии: T·θ = ½·I·ω². Разделите θ на 2π, чтобы получить обороты.
Стержень, закреплённый шарниром на одном конце и отпущенный из горизонтального положения, сразу после отпускания имеет α = 3·g/(2·L). Его свободный конец ускоряется с 1,5·g.
Для пули, застрявшей в стержне, момент импульса относительно оси сохраняется: m·v·d = (Irod + m·d²)·ω.
Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении