Осевое напряжение и деформация: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: растяжение и сжатие · закон Гука · удлинение стержня

Бесплатные задачи по теме Осевое напряжение и деформация с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: нормальное напряжение, деформация и удлинение, ступенчатый стержень.

Бесплатная задачаЛёгкая
80 kNØ30100 GPaØ100/50800 mmσr​ = ?

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 100 GPa. Длина обоих — 800 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 80 kN. Найдите напряжение сжатия σr в стержне.

P = 80 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
MPa
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Осевое напряжение и деформацияЗанимайтесь сейчас: Осевое напряжение и деформацияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаянормальное напряжение
  2. Средняядеформация и удлинение
  3. Сложнаяступенчатый стержень

Основные формулы

Нормальное напряжение
σ = F/A
Деформация
ε = ΔL/L
Закон Гука
σ = E·ε
Удлинение
ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация
εT = α·ΔT

Изучите тему «Осевое напряжение и деформация» с нуля

1Что такое напряжение

Потяните стальной стержень, и он сопротивляется. Сломается ли он, зависит не только от силы, но и от того, сколько материала эту силу делит.

Тонкая проволока и толстый трос могут нести одну и ту же нагрузку. Тонкая проволока гораздо вероятнее разрушится, потому что на каждый её квадратный миллиметр приходится больше.

dLP

Нормальное напряжение σ (сигма) — это сила на единицу площади поперечного сечения. Сила P действует вдоль оси стержня, поэтому такая нагрузка называется осевой.

σ = P / A

Инженеры работают в ньютонах и миллиметрах. Один ньютон на квадратный миллиметр — это один мегапаскаль:

1 N/mm² = 1 MPa

Поэтому сначала переведите kN в N (× 1000). Для круглого стержня диаметром d площадь — это площадь круга:

A = π · d² / 4
Самопроверка Стержень с поперечным сечением 100 mm² несёт 10 kN. Чему равно напряжение?
  1. 0,1 MPa
  2. 10 MPa
  3. 100 MPa
  4. 1000 MPa

Ответ: 100 MPa. σ = 10 000 N / 100 mm² = 100 N/mm² = 100 MPa. 0,1 MPa получается, если забыть перевести kN в N.

2Деформация и закон Гука

Под нагрузкой стержень немного удлиняется. Это изменение длины называется удлинением δ (дельта).

dLδP

Деформация ε (эпсилон) — это удлинение, делённое на исходную длину. Она безразмерна, потому что это mm на mm:

ε = δ / L

Деформации в металлах крошечные, поэтому их часто выражают в микродеформациях: 1 µε = 10⁻⁶. Деформация 0,0008 — это 800 µε.

Для большинства материалов напряжение и деформация пропорциональны, пока нагрузка не слишком велика. Это закон Гука:

σ = E · ε

E — это модуль Юнга, жёсткость материала. У стали E ≈ 200 GPa, у алюминия около 70 GPa. Поскольку 1 GPa = 1000 MPa, у стали E = 200 000 MPa.

Объединив три формулы, получаем удлинение сразу:

δ = P · L / (A · E)
Самопроверка Стальной стержень (E = 200 GPa) имеет напряжение 200 MPa. Чему равна деформация?
  1. 0,001
  2. 0,1
  3. 1000
  4. 1

Ответ: 0,001. Переведите E в MPa: 200 GPa = 200 000 MPa. Тогда ε = 200/200 000 = 0,001 = 1000 µε. Деление 200 на 200 без перевода даёт 1, что слишком много.

3Метод по шагам

  1. Запишите все величины в N и mm: P в N (kN × 1000), длины в mm (m × 1000), E в MPa (GPa × 1000).
  2. Найдите площадь: A = π·d²/4 для круглого стержня.
  3. Найдите напряжение: σ = P/A, в MPa.
  4. Найдите деформацию: ε = σ/E. Умножьте на 10⁶, если ответ нужен в µε.
  5. Найдите удлинение: δ = ε·L, в mm.

Остановитесь на шаге, который требуется в задаче. В большинстве задач нужны только первые два-три шага.

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Стальной стержень (E = 200 GPa) имеет диаметр 20 mm и длину 2 m. Он несёт осевую растягивающую нагрузку 50 kN. Найдите напряжение, деформацию и удлинение.

1

Посмотрите на стержень и переведите единицы

Ø 20 mm2 mP = 50 kN

P = 50 kN = 50 000 N, L = 2 m = 2000 mm и E = 200 GPa = 200 000 MPa.

2

Площадь

A = π · 20² / 4 = 314,2 mm²
3

Напряжение

σ = P / A = 50 000 / 314,2 = 159,2 MPa

Это значительно ниже прочности обычной стали (около 250 MPa), поэтому закон Гука применим.

4

Деформация

ε = σ / E = 159,2 / 200 000 = 0,000796 = 796 µε
5

Удлинение

δ = ε · L = 0,000796 · 2000 = 1,59 mm
6

Проверьте ответ

Используйте объединённую формулу как второй путь:

δ = P·L / (A·E) = 50 000 · 2000 / (314,2 · 200 000) = 1,59 mm

Растяжение 2-метрового стального стержня примерно на 1,6 mm реалистично: деформации стали остаются намного ниже 0,2 %.

Ответ

σ = 159,2 MPa, ε = 796 µε и δ = 1,59 mm.

5Стержни с несколькими участками

Ступенчатый стержень состоит из участков разного диаметра, а иногда и из разных материалов.

A1​L1​A2​L2​P

Рассеките стержень где угодно и посмотрите на часть справа от сечения. Её тянет только P, поэтому каждый участок несёт одну и ту же силу P.

Площади различаются, поэтому различаются и напряжения. Самый тонкий участок имеет наибольшее напряжение.

Каждый участок растягивается сам по себе, со своими A, L и E. Полное удлинение равно сумме:

δ = P·L1 / (A1·E1) + P·L2 / (A2·E2)
Самопроверка Ступенчатый стержень несёт 20 kN. У участка 1 A = 400 mm², у участка 2 A = 100 mm². Каково наибольшее напряжение в стержне?
  1. 200 MPa
  2. 250 MPa
  3. 40 MPa
  4. 50 MPa

Ответ: 200 MPa. Оба участка несут 20 kN. У тонкого 20 000/100 = 200 MPa. 50 MPa — толстый участок, 40 MPa ошибочно складывает площади, а 250 MPa ошибочно складывает два напряжения.

6Типичные ошибки

  • Забыть перевести kN в N, из-за чего напряжение получается в 1000 раз меньше.
  • Использовать E в GPa рядом с напряжением в MPa. Записывайте E в MPa (GPa × 1000).
  • Использовать π·d² или π·d вместо π·d²/4 для площади круга.
  • Оставить L в метрах, когда δ должно получиться в миллиметрах.
  • Делить P между участками ступенчатого стержня. Каждый участок несёт полную силу P.
Самопроверка Стержень с A = 30 mm² несёт P = 6 kN. Чему равно напряжение?
  1. 0,2 MPa
  2. 180 MPa
  3. 200 MPa
  4. 5 MPa

Ответ: 200 MPa. σ = 6000 N / 30 mm² = 200 MPa. 0,2 MPa использует 6 вместо 6000 N; 5 MPa делит площадь на силу; 180 перемножает их.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: нормальное напряжение. Круглый стержень диаметром d несёт силу P; найдите σ = P/A.
  • Средняя: деформация и удлинение. Дополнительно даны L и модуль E материала; найдите ε (в µε) или δ (в mm).
  • Сложная: ступенчатый стержень из двух участков, возможно из разных материалов. Найдите полное удлинение или наибольшее напряжение.

Записывайте единицы рядом с каждым числом. Почти все неверные ответы в этой теме отличаются от правильного в 1000 раз.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
300 kNØ30120 GPaØ100/50500 mmσr​ = ?

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 500 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 300 kN. Найдите напряжение сжатия σr в стержне.

P = 300 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

Найти: σr (MPa)

Показать подсказки
  1. Жёсткие плиты: стержень и труба укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому ε в обоих одинакова.
  2. ε = P/ΣEA.
  3. σ = E·ε.
Показать ответ и пошаговое решение

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5890 = 8,482 × 10⁸ N

Общая деформация

ε = 300000/8,482 × 10⁸ = 0,0003537

Напряжение в стержне

σr = 200·10³·0,0003537 = 70,74 MPa

Ответ

σr = 70,74 MPa
Пример 2Средняя
Ø 20 mmЛатунь2,5 mP = 10 kN

Найдите осевую деформацию ε в стержне (латунь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

Найти: ε (µε)

Показать подсказки
  1. Объедините три соотношения: σ = P/A, ε = σ/E, δ = ε·L.
  2. Переведите E в MPa (GPa × 1000), чтобы оно соответствовало напряжению в MPa, а L — в mm.
  3. σ = 31,83 MPa.
Показать ответ и пошаговое решение

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/100000 = 0,0003183 = 318,3 µε

Ответ

ε = 318,3 µε
Пример 3Сложная
40 kN12300 mm500 mmØ30Ø30σ2​ = ?

Участок (сталь) диаметром 30 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa и участок (алюминий) диаметром 30 mm, длиной 500 mm и E = 70 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 40 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ2 на участке 2.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

Найти: σ2 (MPa)

Показать подсказки
  1. Стык смещается на одну и ту же величину для обоих участков: один растягивается, другой укорачивается.
  2. k = E·A/L; P = k₁δ + k₂δ.
  3. k₁ = 471239 N/mm, k₂ = 98960 N/mm.
Показать ответ и пошаговое решение

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 70000·706,9/500 = 98960 N/mm

Доля участка 2

F2 = 40000·98960/570199 = 6942 N

Напряжение

σ2 = 6942/706,9 = 9,821 MPa (сжатие)

Ответ

σ2 = 9,821 MPa

Вопросы и ответы

Осевое напряжение и деформация: что это?

Потяните стальной стержень, и он сопротивляется. Сломается ли он, зависит не только от силы, но и от того, сколько материала эту силу делит.

Тонкая проволока и толстый трос могут нести одну и ту же нагрузку. Тонкая проволока гораздо вероятнее разрушится, потому что на каждый её квадратный миллиметр приходится больше.

Осевое напряжение и деформация: как решать задачи шаг за шагом?

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, Pi = P·EiAi/ΣEA, а σi = Ei·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Осевое напряжение и деформация: какие ошибки самые частые?
  • Два материала делят не напряжение поровну, а деформацию. Более жёсткий нагружен сильнее.
  • Труба воспринимает часть нагрузки.
  • Это напряжение в трубе.
Осевое напряжение и деформация: что вы тренируете?
  • Лёгкая: нормальное напряжение
  • Средняя: деформация и удлинение
  • Сложная: ступенчатый стержень

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Далее

Круг Мора и преобразование напряженийКручение валов

Калькуляторы

Калькулятор осевого напряжения и деформацииКалькулятор теплового расширения

Курсы с этой темой

Сопротивление материаловДетали машинПодготовка к экзамену FE Mechanical

Другие темы: Машиностроение

Опорные реакции балокРамы и механизмыКручение валовКруг Мора и преобразование напряженийДвижение тела, брошенного под угломРабота и энергияВращение твёрдого телаМеханические колебанияТепловые машины и холодильникиГазовые циклыНеразрывность и БернуллиТрение в трубах и потери напораНасосы и мощность насосаТеплопроводностьЗубчатые колёса и передачи

Лист заданий для печати

Осевое напряжение и деформация: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Осевое напряжение и деформацияЗанимайтесь сейчас: Осевое напряжение и деформацияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.