Работа и энергия: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: закон сохранения энергии · механическая энергия · теорема о кинетической энергии
Бесплатные задачи по теме Работа и энергия с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: свободное падение, наклонная плоскость с трением, рампа, трение и пружина.
Изучите тему «Работа и энергия» с нуля
Перед этим: Законы Ньютона
1Что такое энергия
Энергия — это способность заставить что-то двигаться или изменяться. Она измеряется в джоулях (J). Один джоуль — это энергия, необходимая, чтобы толкать с силой 1 N на расстояние 1 m.
Энергия никогда не создаётся и не уничтожается. Она лишь меняет форму. Падающий мяч превращает высоту в скорость. Тормозящий автомобиль превращает скорость в тепло в своих тормозах.
Это даёт мощный короткий путь. Вместо того чтобы следить за движением секунда за секундой с помощью сил, вы сравниваете энергию в начале и в конце.
В этой теме вы встретите три формы механической энергии: энергию движения, энергию высоты и энергию, запасённую в пружине. Трение отнимает энергию и превращает её в тепло.
Самопроверка Ящик скользит по шероховатому полу и останавливается. Что произошло с его кинетической энергией?
- Она была уничтожена
- Она по-прежнему хранится в ящике в виде скорости
- Она стала потенциальной энергией
- Трение превратило её в тепло
Ответ: Трение превратило её в тепло. Энергия не может исчезнуть. На ровном полу высота не меняется, поэтому вся кинетическая энергия ушла в тепло из-за трения.
2Работа и кинетическая энергия
Сила совершает работу, когда перемещает что-то. Работа — это сила, умноженная на расстояние, пройденное в направлении силы:
W = F · d · cos α
Здесь α — угол между силой и движением. Сила вдоль движения (α = 0) совершает полную работу. Сила под прямым углом (α = 90°) не совершает никакой работы.
Энергия движения — это кинетическая энергия. Она растёт пропорционально квадрату скорости, поэтому при удвоении скорости энергия увеличивается в четыре раза:
Ek = ½ · m · v²
Работа всех сил вместе равна изменению кинетической энергии. Это теорема о работе и энергии.
Самопроверка Верёвка тянет ящик на 4 m по ровному полу с силой 50 N под углом 60° к горизонту. Какую работу совершает верёвка?
- 100 J
- 12,5 J
- 173 J
- 200 J
Ответ: 100 J. W = 50 · 4 · cos 60° = 100 J. Если опустить cos α, получится 200 J, а при использовании sin 60° — 173 J.
3Потенциальная энергия: высота и пружины
Предмет, находящийся выше, может упасть и набрать скорость. Энергия, которой он обладает из-за своей высоты, — это гравитационная потенциальная энергия:
Ep = m · g · h
Важно только изменение высоты, поэтому нулевой уровень вы выбираете сами. Обычно проще всего взять самую низкую точку движения.
Пружина, сжатая или растянутая на расстояние x, запасает упругую энергию. Здесь k — жёсткость пружины в N/m:
Es = ½ · k · x²
Объедините всё в одном энергетическом балансе. Wf — работа против трения, которая уходит в виде тепла:
Ek1 + Ep1 + Es1 = Ek2 + Ep2 + Es2 + Wf
Для свободного падения из состояния покоя без трения получается m·g·h = ½·m·v², откуда v = √(2gh). Масса сокращается.
Самопроверка Камень отпускают без начальной скорости с высоты 20 m. Пренебрегая сопротивлением воздуха, с какой скоростью он движется, достигая земли? (g = 9,81 m/s²)
- 14,0 m/s
- 19,8 m/s
- 196 m/s
- 392 m/s
Ответ: 19,8 m/s. v = √(2 · 9,81 · 20) = √392,4 = 19,8 m/s. 392 m/s получается, если забыть про квадратный корень, а 14,0 m/s — если забыть множитель 2 из ½ в ½·m·v².
4Метод по шагам
- Нарисуйте ситуацию. Отметьте начальную точку 1 и конечную точку 2 и выберите нулевой уровень высоты.
- Запишите энергию в точке 1: Ek1 = ½·m·v1², Ep1 = m·g·h1 и ½·k·x1², если пружина сжата.
- Запишите энергию в точке 2 тем же способом. Неизвестное оставьте символом.
- Найдите работу против трения. На наклонной плоскости нормальная сила N = m·g·cos θ, поэтому Wf = μ·m·g·cos θ·d, где d — пройденное при скольжении расстояние.
- Подставьте в энергетический баланс и найдите неизвестное.
Рисуйте и силы, даже если используете только энергию. Рисунок показывает, какие силы совершают работу, а какие нет.
Нормальная сила N направлена под прямым углом к движению, поэтому не совершает работы. Она важна лишь потому, что от неё зависит трение.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный примерБлок массой 2 kg скользит из состояния покоя вниз по склону под углом 30° к горизонту. Коэффициент кинетического трения равен 0,2. Используйте g = 9,81 m/s². Найдите его скорость после того, как он проскользил 5 m вдоль склона.
1Точка 1 — начало, точка 2 — на 5 m дальше вниз по склону. Поместите нулевой уровень высоты в точку 2.
2Блок скользит 5 m вдоль склона, но опускается лишь на его вертикальную часть:
h = d · sin θ = 5 · sin 30° = 2,5 m
Ep1 = m · g · h = 2 · 9,81 · 2,5 = 49,05 J
3На склоне нормальная сила меньше веса:
N = m · g · cos θ = 2 · 9,81 · cos 30° = 16,99 N
Wf = μ · N · d = 0,2 · 16,99 · 5 = 16,99 J
4Блок начинает движение из состояния покоя, поэтому Ek1 = 0. В точке 2 высота равна нулю:
Ep1 = Ek2 + Wf
Ek2 = 49,05 − 16,99 = 32,06 J
5½ · 2 · v² = 32,06
v = √32,06 = 5,66 m/s
6Без трения блок достиг бы √(2 · 9,81 · 2,5) = 7,00 m/s. Трение должно сделать его медленнее, и 5,66 m/s медленнее. Ответ разумен.
В итоге масса сокращается: v² = 2·g·d·(sin θ − μ·cos θ) = 32,06, что даёт те же 5,66 m/s.
Ответ Блок достигает v ≈ 5,66 m/s, проскользив 5 m.
6Типичные ошибки
- Использовать вес m·g как нормальную силу на склоне. На склоне N = m·g·cos θ.
- Использовать расстояние вдоль склона как высоту. Понижение высоты равно d·sin θ.
- Забыть про квадратный корень в конце: ½·m·v² даёт v², а не v.
- Прибавлять работу трения к энергии в конце с неверным знаком. Трение всегда отнимает энергию у движения.
- Записывать энергию пружины как k·x вместо ½·k·x² или оставлять x в cm.
Самопроверка Блок массой 1 kg скользит 2 m вниз по склону 30° при μ = 0,5. Какая работа совершается против трения? (g = 9,81 m/s²)
- 19,6 J
- 4,91 J
- 8,50 J
- 9,81 J
Ответ: 8,50 J. Wf = μ · m · g · cos θ · d = 0,5 · 1 · 9,81 · cos 30° · 2 = 8,50 J. Использование m·g как нормальной силы даёт 9,81 J, а использование sin θ вместо cos θ даёт 4,91 J.
7Как выглядят экзаменационные задачи
- Лёгкая: свободное падение и другие одиночные превращения. Брошенный мяч (найдите v или Ek), маятник, отпущенный из отклонённого положения, блок, сталкивающийся с пружиной, работа тянущей верёвки или мощность подъёмника (P = m·g·h / t).
- Средняя: блок на склоне с трением: найдите скорость после некоторого расстояния или работу против трения. Варианты включают автомобиль, тормозящий юзом до остановки, пружинную пусковую установку и мощность, нужную для подъёма в гору.
- Сложная: несколько этапов в одном вопросе. Например, гладкий склон, затем шероховатый участок, затем пружина: найдите скорость у пружины или наибольшее сжатие. В других задачах сочетаются тянущий блок, петля или два связанных блока.
В сложных вопросах запишите один энергетический баланс от самого начала до самого конца. Добавьте работу трения на каждом шероховатом участке.
Для наибольшего сжатия пружины блок на мгновение останавливается, поэтому вся его кинетическая энергия находится в пружине: ½·m·v² = ½·k·x².
Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении