Круг Мора и преобразование напряжений: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: круг Мора · главные напряжения · плоское напряжённое состояние

Бесплатные задачи по теме Круг Мора и преобразование напряжений с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: главные напряжения, наибольшее касательное напряжение и главное направление, напряжения на наклонной площадке.

Бесплатная задачаЛёгкая
σx​ = 90σy​ = −20MPaглавный элемент

В точке нагруженной детали главные напряжения в плоскости равны σ₁ = 90 MPa и σ₂ = −20 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σavg, действующее на площадках наибольших касательных напряжений в плоскости.

σ1 = 90 MPaσ2 = −20 MPa
MPa
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Круг Мора и преобразование напряженийЗанимайтесь сейчас: Круг Мора и преобразование напряженийБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяглавные напряжения
  2. Средняянаибольшее касательное напряжение и главное направление
  3. Сложнаянапряжения на наклонной площадке

Как решать задачи по теме «Круг Мора и преобразование напряжений»

  1. Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
  4. Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Типичные ошибки

  • В формулах преобразования используют θ вместо 2θ.
  • Складывают (σx − σy)/2 и τxy, вместо того чтобы объединить их по теореме Пифагора.
  • Ошибаются в правиле знаков для касательного напряжения.

Основные формулы

Центр
C = (σx + σy)/2
Радиус
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Главные напряжения
σ1,2 = C ± R
Главное направление
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Наклонная площадка
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Изучите тему «Круг Мора и преобразование напряжений» с нуля

Перед этим: Осевое напряжение и деформация

1Почему напряжение зависит от направления

В уроке об осевом нагружении напряжение было одним числом: сила, делённая на площадь. Но напряжение в точке зависит от направления сечения, на которое вы смотрите.

Скручивайте кусок мела, пока он не сломается. Он ломается по спирали под углом 45°, а не поперёк. На этой плоскости под 45° растяжение наибольшее, а мел слабо сопротивляется растяжению.

Чтобы описать напряжение в одной точке, инженеры рисуют крошечный квадрат, элемент напряжённого состояния, с напряжениями на его гранях:

σx​σy​τxy​xy
  • σx и σy — нормальные напряжения, направленные перпендикулярно граням. Положительное значение означает растяжение (стрелки направлены наружу), отрицательное — сжатие.
  • τxy — касательное напряжение, направленное вдоль граней. Оно стремится превратить квадрат в ромб.

Поверните квадрат, и напряжения на его гранях изменятся. В этом уроке показано, как найти их для любого направления и какие направления самые опасные.

Самопроверка В некоторой точке σx = −40 MPa. Что это означает?
  1. Касательное напряжение 40 MPa
  2. Растяжение 40 MPa в направлении x
  3. Сжатие 40 MPa в направлении x
  4. Сжатие 40 MPa в направлении y

Ответ: Сжатие 40 MPa в направлении x. По обычному правилу знаков растяжение положительно, поэтому отрицательное σx — это сжатие, действующее на грани, нормальные к x.

2Круг Мора

Круг Мора — это картина всех направлений сразу. Каждая точка круга — это одно из возможных сечений через точку детали.

Отложите нормальное напряжение σ вправо, а касательное напряжение τ вверх. Затем нанесите две точки:

  • точка x с координатами (σx, τxy): напряжения на грани, нормальной к x,
  • точка y с координатами (σy, −τxy): напряжения на грани, нормальной к y.

Круг проходит через обе точки. Его центр C лежит на оси σ посередине между ними. Радиус R следует из теоремы Пифагора:

C = (σx + σy) / 2 R = √( ((σx − σy)/2)² + τxy² )
στxyCσ1​σ2​R

Там, где круг пересекает ось σ, касательное напряжение равно нулю. Эти два значения — главные напряжения, наибольшее и наименьшее нормальное напряжение в точке. Верх круга — наибольшее касательное напряжение в плоскости:

σ1 = C + R σ2 = C − R τmax = R
Самопроверка σx = 50 MPa, σy = 10 MPa и τxy = 15 MPa. Чему равно σ1?
  1. 45 MPa
  2. 50 MPa
  3. 55 MPa
  4. 65 MPa

Ответ: 55 MPa. C = 30 MPa и R = √(20² + 15²) = 25 MPa, поэтому σ1 = 55 MPa. 65 складывает 20 + 15 вместо использования теоремы Пифагора; 50 игнорирует касательное напряжение.

3Углы: на круге вдвое больше

Поворот элемента на угол θ перемещает его точку на круге Мора на 2θ в том же направлении. Против часовой стрелки — положительное направление.

Направление σ1 — это угол θp от оси x, находимый из:

tan 2θp = 2τxy / (σx − σy)

Следите за квадрантом. Если σx − σy отрицательно, добавьте 180° к 2θp при τxy > 0 или вычтите 180° при τxy < 0. Затем разделите пополам.

Площадки с максимальным сдвигом лежат под углом 45° к главным направлениям (90° на круге).

Для площадки, нормаль которой повёрнута на θ от оси x, напряжения равны:

σθ = C + (σx − σy)/2 · cos 2θ + τxy · sin 2θ
τθ = −(σx − σy)/2 · sin 2θ + τxy · cos 2θ
Самопроверка В некоторой точке tan 2θp = 1, а σx − σy положительно. Чему равен θp?
  1. 22,5°
  2. 45°
  3. 90°
  4. −67,5°

Ответ: 22,5°. 2θp = 45°, поэтому θp = 22,5°. Ответ 45° забывает разделить угол с круга пополам. −67,5° — это направление σ2, отстоящее на 90°.

4Метод по шагам

  1. Запишите σx, σy и τxy с их знаками: растяжение положительное, сжатие отрицательное.
  2. Найдите центр C = (σx + σy)/2.
  3. Найдите радиус R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  4. Главные напряжения: σ1 = C + R и σ2 = C − R. Наибольшее касательное напряжение в плоскости: τmax = R.
  5. Направления: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy), проверьте квадрант, затем разделите пополам.
  6. Для заданной площадки θ: используйте уравнения для σθ и τθ с 2θ.

Быстрый набросок круга, даже грубый, показывает знаки и то, какая точка является σ1.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

В точке σx = 80 MPa, σy = 20 MPa и τxy = 40 MPa. Найдите главные напряжения, τmax, направление θp для σ1 и нормальное напряжение на площадке, повёрнутой на 45° против часовой стрелки.

1

Посмотрите на элемент

xy

Оба нормальных напряжения — растяжение. Касательное напряжение положительно.

2

Центр и радиус

C = (80 + 20) / 2 = 50 MPa
R = √(30² + 40²) = 50 MPa
3

Главные напряжения и максимальный сдвиг

στxyCσ1​σ2​τmax​ = R
σ1 = 50 + 50 = 100 MPa σ2 = 50 − 50 = 0 MPa
τmax = R = 50 MPa
4

Главное направление

tan 2θp = 2 · 40 / (80 − 20) = 1,333

σx − σy положительно, поэтому поправка не нужна: 2θp = 53,1° и θp = 26,6° против часовой стрелки от x.

5

Площадка, повёрнутая на 45°

При θ = 45°, 2θ = 90°: cos 2θ = 0 и sin 2θ = 1.

σθ = 50 + 30 · 0 + 40 · 1 = 90 MPa
6

Проверьте ответ

Сумма σx + σy = 100 MPa равна σ1 + σ2 = 100 MPa. Эта сумма одинакова при любом повороте, так что это быстрая проверка.

Кроме того, 90 MPa лежит между σ2 = 0 и σ1 = 100 MPa, как и должно быть для любого нормального напряжения.

Ответ

σ1 = 100 MPa, σ2 = 0, τmax = 50 MPa, θp = 26,6° и σ45° = 90 MPa.

6Типичные ошибки

  • Прямое сложение (σx − σy)/2 и τxy. Радиус объединяет их по теореме Пифагора.
  • Использование θ вместо 2θ в формулах преобразования или забытое деление пополам угла, считанного с круга.
  • Потерянный знак минус: сжимающее напряжение нужно подставлять как отрицательное число.
  • Нанесение точки y в (σy, +τxy). Она лежит в −τxy, по другую сторону от центра, чем x.
  • Пропущенный квадрант для 2θp при σx < σy.
Самопроверка σx = 60 MPa, σy = 0 и τxy = 40 MPa. Чему равно максимальное касательное напряжение в плоскости?
  1. 30 MPa
  2. 40 MPa
  3. 50 MPa
  4. 70 MPa

Ответ: 50 MPa. τmax = R = √(30² + 40²) = 50 MPa. 70 складывает 30 + 40; 30 игнорирует касательное напряжение; 40 — это только τxy.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: главные напряжения. По σx, σy и τxy найдите σ1 или σ2. Варианты: чистый сдвиг или осевой стержень, разрезанный под углом.
  • Средняя: максимальный сдвиг и главное направление. Найдите τmax = R или угол θp между −90° и 90°.
  • Сложная: напряжение на наклонной площадке. Используйте уравнение для σθ или τθ с 2θ. В вариантах сочетаются осевая нагрузка и кручение либо главные напряжения используются в проверке на прочность, например по Мизесу или Треске.

Сначала запишите C и R. Почти каждый вопрос по этой теме решается по этим двум числам.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
σx​ = 30σy​ = 50τxy​MPa

В точке σₓ = 30 MPa и σᵧ = 50 MPa, а также действует некоторое касательное напряжение. На элементе, повёрнутом на 30°, нормальное напряжение в повёрнутом направлении x′ равно 87 MPa. Найдите нормальное напряжение σy′ в повёрнутом направлении y′.

σx = 30 MPaσy = 50 MPaσx′ = 87 MPaθ = 30°

Найти: σy′ (MPa)

Показать подсказки
  1. τₓᵧ и формулы преобразования не нужны.
  2. Сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках одинакова при любой ориентации (центр круга Мора не смещается).
  3. σₓ + σᵧ = 80 MPa.
Показать ответ и пошаговое решение

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Первый инвариант напряжённого состояния

Точки x′ и y′ лежат на противоположных концах диаметра, поэтому их среднее всегда равно центру C.

σx′ + σy′ = σx + σy
σy′ = 30 + 50 − 87 = −7 MPa

Ответ

σy′ = −7 MPa
Пример 2Средняя
σx​ = 0σy​ = 20τxy​ = −30MPa

В точке нагруженной детали σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa и τₓᵧ = −30 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θp от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σx = 0 MPaσy = 20 MPaτxy = −30 MPa

Найти: θp (°)

Показать подсказки
  1. Постройте круг Мора: точка x в (σₓ, τₓᵧ), точка y в (σᵧ, −τₓᵧ), центр C посередине между ними.
  2. tan 2θp = 2τₓᵧ/(σₓ − σᵧ). Следите за четвертью.
  3. C = 10 MPa, R = 31,62 MPa.
Показать ответ и пошаговое решение

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

στxyCσ1​σ2​

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θp = atan2(2·−30, 0 − 20) = −108,4°

Угол на элементе

θp = −54,22°

Ответ

θp = −54,22°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

Пример 3Сложная
60°D = 500 mm, t = 5 mm, p = 2,5 MPap

Тонкостенный цилиндрический резервуар с внутренним диаметром 500 mm и толщиной стенки 5 mm содержит газ под избыточным давлением 2,5 MPa. Он изготовлен из листа, сваренного по винтовому шву под углом 60° к оси цилиндра. Найдите величину касательного напряжения |τn|, действующего вдоль сварного шва.

D = 500 mmt = 5 mmp = 2,5 MPaα = 60°

Найти: |τn| (MPa)

Показать подсказки
  1. Окружное напряжение σh = pr/t, осевое напряжение σa = pr/(2t). На осевой и окружной площадках касательных напряжений нет.
  2. Касательное напряжение вдоль шва: |τn| = (σh − σa)·sin α·cos α.
  3. σh = 125 MPa, σa = 62,5 MPa.
Показать ответ и пошаговое решение

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Тонкостенный цилиндр: окружное напряжение σh = pr/t и осевое напряжение σa = pr/(2t); это главные напряжения в стенке.

Напряжения в стенке

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 2,5·250/5 = 125 MPa
σa = pr/(2t) = 62,5 MPa

Преобразование к шву

Направьте x вдоль оси (σa), а y по окружности (σh). Нормаль к шву составляет с осью угол 90° − α.

|τn| = (125 − 62,5)·sin 60°·cos 60° = 27,06 MPa

Ответ

|τn| = 27,06 MPa

Вопросы и ответы

Круг Мора и преобразование напряжений: что это?

В уроке об осевом нагружении напряжение было одним числом: сила, делённая на площадь. Но напряжение в точке зависит от направления сечения, на которое вы смотрите.

Скручивайте кусок мела, пока он не сломается. Он ломается по спирали под углом 45°, а не поперёк. На этой плоскости под 45° растяжение наибольшее, а мел слабо сопротивляется растяжению.

Круг Мора и преобразование напряжений: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
  2. Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
  4. Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Круг Мора и преобразование напряжений: какие ошибки самые частые?
  • В формулах преобразования используют θ вместо 2θ.
  • Складывают (σx − σy)/2 и τxy, вместо того чтобы объединить их по теореме Пифагора.
  • Ошибаются в правиле знаков для касательного напряжения.
Круг Мора и преобразование напряжений: что вы тренируете?
  • Лёгкая: главные напряжения
  • Средняя: наибольшее касательное напряжение и главное направление
  • Сложная: напряжения на наклонной площадке

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Осевое напряжение и деформация

Калькуляторы

Калькулятор круга Мора

Курсы с этой темой

Сопротивление материаловДетали машинПодготовка к экзамену FE Mechanical

Другие темы: Машиностроение

Опорные реакции балокРамы и механизмыОсевое напряжение и деформацияКручение валовДвижение тела, брошенного под угломРабота и энергияВращение твёрдого телаМеханические колебанияТепловые машины и холодильникиГазовые циклыНеразрывность и БернуллиТрение в трубах и потери напораНасосы и мощность насосаТеплопроводностьЗубчатые колёса и передачи

Лист заданий для печати

Круг Мора и преобразование напряжений: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Круг Мора и преобразование напряженийЗанимайтесь сейчас: Круг Мора и преобразование напряженийБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.