Другие названия: кручение · угол закручивания · касательные напряжения
Бесплатные задачи по теме Кручение валов с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: касательное напряжение, угол закручивания, передача мощности.
Бесплатная задачаЛёгкая
Сплошной круглый вал передаёт крутящий момент T. Найдите наибольшее касательное напряжение τmax в валу.
Вращающее усилие — это крутящий момент T. Это сила, умноженная на плечо, на котором она действует, в N·m. Нажим 200 N на конец ключа длиной 0,5 m даёт T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Вал, нагруженный крутящим моментом, находится в состоянии кручения. Он немного закручивается, а его материал несёт касательное напряжение τ (тау): соседние слои вала пытаются сдвинуться друг относительно друга.
В проектировании важны два вопроса: достаточно ли мало касательное напряжение (прочность) и достаточно ли мал угол закручивания (жёсткость)?
Самопроверка Вы нажимаете с силой 200 N на конец ключа длиной 0,5 m под прямым углом. Какой момент вы прикладываете?
100 N·m
200 N·m
400 N·m
50 N·m
Ответ: 100 N·m. T = F·r = 200 · 0,5 = 100 N·m. Деление на 0,5 даёт 400; забытое плечо даёт 200.
2Касательное напряжение и полярный момент
Центр вала почти не деформируется. Чем дальше точка от центра, тем сильнее она сдвигается. Поэтому касательное напряжение растёт линейно с радиусом, от нуля в центре до максимума на поверхности.
τ = T · ρ / J τmax = T · r / J
Здесь ρ (ро) — расстояние от центра, r = d/2 — внешний радиус, а J — полярный момент инерции сечения. J показывает, насколько хорошо поперечное сечение сопротивляется кручению:
Для сплошного вала диаметром d и для полого вала с внешним диаметром do и внутренним диаметром di:
J = π · d⁴ / 32 J = π · (do⁴ − di⁴) / 32
Для сплошного вала обе формулы объединяются в одну короткую:
τmax = 16 · T / (π · d³)
Работайте в N·mm и mm, тогда напряжение получится в N/mm² = MPa. 1 N·m = 1000 N·mm.
Самопроверка В сплошном вале τmax = 60 MPa. Чему равно касательное напряжение посередине между центром и поверхностью?
0 MPa
15 MPa
30 MPa
60 MPa
Ответ: 30 MPa. Напряжение растёт линейно с ρ, поэтому при ρ = r/2 оно равно половине τmax: 30 MPa. Оно не одинаково везде и равно нулю только в центре.
3Угол закручивания и мощность
Свободный конец вала поворачивается на угол закручивания φ (фи). Более длинный или тонкий вал закручивается сильнее; более жёсткий материал — слабее:
φ = T · L / (G · J)
G — модуль сдвига материала: около 80 GPa для стали и 26 GPa для алюминия. Формула даёт φ в радианах. Умножьте на 180/π, чтобы получить градусы.
Валы часто передают мощность от двигателя. Мощность — это крутящий момент, умноженный на угловую скорость, где скорость в rpm сначала нужно перевести в rad/s:
P = T · ω ω = 2π · N / 60
Поэтому вопрос, в котором даны kW и rpm, начинается с T = P/ω, где P в ваттах.
Самопроверка Вал вращается с ω = 100 rad/s и передаёт 5 kW. Какой крутящий момент он несёт?
0,05 N·m
20 N·m
50 N·m
500 000 N·m
Ответ: 50 N·m. T = P/ω = 5000 W / 100 rad/s = 50 N·m. 0,05 получается при использовании 5 вместо 5000 W; 20 делит ω на P.
4Метод по шагам
Если даны мощность и частота вращения, сначала найдите момент: ω = 2πN/60, затем T = P/ω.
Перейдите к N и mm: T в N·mm (N·m × 1000), L в mm, G в MPa (GPa × 1000).
Найдите J: π·d⁴/32 для сплошного вала, π(do⁴ − di⁴)/32 для полого.
Касательное напряжение: τmax = T·r/J, где r — внешний радиус.
Закручивание: φ = TL/(GJ) в радианах, затем × 180/π, если нужны градусы.
Для расчёта проектирования (найти d) приравняйте τmax = 16T/(πd³) допустимому напряжению и решите относительно d.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Сплошной стальной вал (G = 80 GPa) диаметром 40 mm и длиной 1 m жёстко закреплён на одном конце. На свободном конце действует момент 500 N·m. Найдите τmax и угол закручивания φ в градусах.
1
Посмотрите на вал и переведите единицы
T = 500 N·m = 500 000 N·mm, L = 1000 mm, G = 80 000 MPa, r = 20 mm.
2
Полярный момент инерции
J = π · 40⁴ / 32 = 251 327 mm⁴
3
Наибольшее касательное напряжение
τmax = T · r / J = 500 000 · 20 / 251 327 = 39,8 MPa
Короткая формула даёт то же: 16 · 500 000 / (π · 40³) = 39,8 MPa.
Чуть меньше полутора градусов на метр стального вала — разумная величина.
Ответ
τmax = 39,8 MPa и φ = 1,42°.
6Типичные ошибки
Использование диаметра вместо радиуса в τ = T·r/J. Это удваивает напряжение.
Забытый перевод N·m в N·mm, из-за чего напряжение получается в 1000 раз меньше.
Прямое использование rpm в P = T·ω. Сначала переведите в rad/s по ω = 2πN/60.
Указан φ в радианах, когда нужны градусы, или наоборот.
Для полого вала — вычитание диаметров перед возведением в четвёртую степень. Используйте do⁴ − di⁴.
Самопроверка Полый вал с внешним диаметром 40 mm имеет J = 200 000 mm⁴. Он несёт T = 1000 N·m. Чему равно τmax?
0,1 MPa
100 MPa
200 MPa
5 MPa
Ответ: 100 MPa. τ = T·r/J = 1 000 000 · 20 / 200 000 = 100 MPa. Использование r = 40 mm (диаметра) даёт 200 MPa; оставленный T в N·m даёт 0,1 MPa; забытое r даёт 5.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: касательное напряжение. Сплошной вал диаметром d несёт T; найдите τmax. Варианты требуют напряжение на заданном радиусе или допустимый момент.
Средняя: угол закручивания. Вам также даны L и G; найдите φ в градусах. Варианты используют полый или ступенчатый вал.
Сложная: передача мощности. Даны мощность в kW и частота вращения в rpm; найдите момент, затем τmax в полом вале или наименьший диаметр для допустимого напряжения.
Прежде всего запишите момент в N·mm рядом с задачей. Это число используется на каждом следующем шаге.
Сплошной вал диаметром 40 mm передаёт крутящий момент 750 N·m. Найдите касательное напряжение τρ на радиусе 15 mm от центра.
T = 750 N·md = 40 mmρ = 15 mm
Найти: τρ(MPa)
Показать подсказки
Касательное напряжение в круглом валу пропорционально расстоянию от центра: τ = T·ρ/J.
Везде используйте N и mm: T в N·mm, L в mm, G в MPa (GPa × 1000), J в mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Показать ответ и пошаговое решение
Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τmax = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(do⁴ − di⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.
Полярный момент инерции
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Касательное напряжение на радиусе ρ
Для сравнения, на поверхности τmax = 59,68 MPa.
T = 750 N·m = 750000 N·mm
τρ = T·ρ/J = 750000·15/251327 = 44,76 MPa
Ответ
τρ = 44,76 MPa
Пример 2Средняя
Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.
T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
Найти: φ(°)
Показать подсказки
Используйте φ = TL/(GJ), что даёт радианы.
Везде используйте N и mm: T в N·mm, L в mm, G в MPa (GPa × 1000), J в mm⁴.
J = 251327 mm⁴.
Показать ответ и пошаговое решение
Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τmax = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(do⁴ − di⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.
Полярный момент инерции
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Угол закручивания
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad
φ = 0,1148·180/π = 6,576°
Ответ
φ = 6,576°
Пример 3Сложная
Сплошной вал должен передавать 15 kW при 1000 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.
P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 75 MPa
Найти: d(mm)
Показать подсказки
Момент через мощность: T = P/ω, где ω = 2πN/60 в rad/s.
Приравняйте τmax = 16T/(πd³) к допускаемому напряжению и выразите d.
T = 143,2 N·m.
Показать ответ и пошаговое решение
Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τmax = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(do⁴ − di⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.
Крутящий момент
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Диаметр по допускаемому напряжению
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·75)) = 21,35 mm
Ответ
d = 21,35 mm
На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.
Вопросы и ответы
Кручение валов: что это?
Вращающее усилие — это крутящий момент T. Это сила, умноженная на плечо, на котором она действует, в N·m. Нажим 200 N на конец ключа длиной 0,5 m даёт T = 200 · 0,5 = 100 N·m.
Вал, нагруженный крутящим моментом, находится в состоянии кручения. Он немного закручивается, а его материал несёт касательное напряжение τ (тау): соседние слои вала пытаются сдвинуться друг относительно друга.
Кручение валов: как решать задачи шаг за шагом?
Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.
Кручение валов: какие ошибки самые частые?
В τ = T·r/J подставляют диаметр вместо радиуса.
Забывают перевести rpm в rad/s.
Дают угол закручивания в радианах, когда спрашивают в градусах.
Кручение валов: что вы тренируете?
Лёгкая: касательное напряжение
Средняя: угол закручивания
Сложная: передача мощности
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.