Опорные реакции балок: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: реакции опор · определение реакций опор
Бесплатные задачи по теме Опорные реакции балок с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: 1 сосредоточенная сила, 2 сосредоточенные силы, сосредоточенная сила + распределённая нагрузка.
Бесплатная задачаЛёгкая
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RA.
Балка — это длинный прямой элемент, переносящий нагрузки через пролёт, как полка, балка перекрытия или небольшой мост.
Балка лежит на опорах. Когда нагрузки давят на балку вниз, опоры давят вверх. Эти направленные вверх силы — опорные реакции.
Здесь нагрузка 10 kN расположена ровно посередине. По симметрии каждая опора несёт половину: RA = RB = 5 kN.
Когда нагрузка не посередине, ближайшая опора несёт больше. Как найти, насколько именно, — тема этого урока.
Реакции нужно знать в первую очередь почти для любого другого вопроса о балке: поперечная сила, изгибающий момент, напряжение и прогиб.
Самопроверка Балка на двух опорах несёт 10 kN точно в середине пролёта. Чему равна реакция каждой опоры?
10 kN
2,5 kN
20 kN
5 kN
Ответ: 5 kN. Две реакции вместе должны нести всю нагрузку 10 kN, и по симметрии они равны: 10/2 = 5 kN. По 10 kN на каждой опоре означало бы, что нагрузка учтена дважды.
2Опоры, моменты и равновесие
Каждый тип опоры может реагировать по-своему.
Катковая опора (B на рисунке) может давить только под прямым углом к поверхности, по которой катится. Она даёт одну вертикальную реакцию.
Шарнирная опора (A) не даёт балке двигаться ни в каком направлении. Она даёт вертикальную и горизонтальную реакции. При одних лишь вертикальных нагрузках горизонтальная равна нулю.
Заделка, например стена, также не даёт балке поворачиваться. Она даёт вертикальную силу и реактивный момент.
Момент — это вращательное действие силы относительно точки. Он равен силе, умноженной на её перпендикулярное расстояние от этой точки:
M = F · d
Балка в покое не движется и не вращается. Поэтому выполняются три уравнения равновесия:
ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣM = 0
Уравнение моментов верно относительно любой точки. Выберите в качестве такой точки опору: расстояние её реакции равно нулю, поэтому она выпадает из уравнения.
Самопроверка Сила 6 kN действует на расстоянии 2 m от точки A. Чему равен её момент относительно A?
12 kN·m
3 kN·m
6 kN·m
8 kN·m
Ответ: 12 kN·m. M = F·d = 6·2 = 12 kN·m. Деление (3) или сложение (8) силы и расстояния — обычные ошибки.
3Распределённые нагрузки
Некоторые нагрузки распределены вдоль балки, например вес перекрытия или снега. У равномерно распределённой нагрузки (UDL) на каждом метре одно и то же значение w в kN/m.
Для расчёта реакций UDL можно заменить одной силой. Её величина равна нагрузке на метр, умноженной на длину загруженного участка, и она действует в середине загруженной части:
W = w · ℓ
На рисунке ℓ = 3 m, поэтому W = 4 · 3 = 12 kN. Она действует в середине нагрузки, на расстоянии x = 1 + 1,5 = 2,5 m от A.
Консоль закреплена только с одного конца, как балкон. Стена даёт силу вверх и момент. Для концевой нагрузки P на расстоянии L: RA = P и MA = P·L.
В этой консоли RA = 5 kN и MA = 5 · 3 = 15 kN·m.
Самопроверка UDL 4 kN/m действует от x = 1 m до x = 4 m. Какая одна сила её заменяет и где она приложена?
12 kN при x = 1,5 m
12 kN при x = 2 m
12 kN при x = 2,5 m
4 kN при x = 2,5 m
Ответ: 12 kN при x = 2,5 m. W = 4·3 = 12 kN в середине нагрузки, 1 + 1,5 = 2,5 m от A. 1,5 m отсчитывается от начала нагрузки, а не от A. 2 m — середина всего пролёта, а не загруженной части.
4Метод по шагам
Нарисуйте балку и замените каждую опору её реакциями: RA в шарнире и RB в катке.
Замените каждую UDL одной силой w·ℓ в середине загруженной части.
Возьмите моменты относительно A. RA выпадает, поэтому вы сразу получаете RB: RB·L = Σ(каждая нагрузка × её расстояние от A).
Используйте ΣFy = 0: RA = (полная нагрузка) − RB.
Проверка: возьмите моменты относительно B. Это должно дать то же RA.
Правило знаков для шага 3: реакция RB поворачивает балку относительно A в одну сторону, нагрузки вниз — в другую. Их моменты должны уравновешиваться.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Свободно опёртая балка пролётом 6 m несёт P1 = 12 kN на расстоянии 2 m от A и P2 = 6 kN на расстоянии 4 m от A. Найдите RA и RB.
1
Нарисуйте диаграмму свободного тела
Шарнир в A и каток в B дают по одной реакции вверх. Неизвестных два, поэтому двух уравнений достаточно.
2
Моменты относительно A
RA проходит через A, поэтому её момента относительно A нет. Нагрузки поворачивают балку по часовой стрелке, RB поворачивает её против часовой:
RB · 6 = 12 · 2 + 6 · 4 = 48
RB = 48 / 6 = 8 kN
3
Баланс вертикальных сил
Две реакции вместе несут полную нагрузку 12 + 6 = 18 kN.
RA = 18 − 8 = 10 kN
4
Проверьте ответ
Вместо этого возьмите моменты относительно B. Расстояния до B равны 4 m для P1 и 2 m для P2.
RA · 6 = 12 · 4 + 6 · 2 = 60 ⇒ RA = 10 kN
Оба пути дают одно и то же. RA больше, и это разумно: более тяжёлая нагрузка ближе к A.
Ответ
RA = 10 kN и RB = 8 kN.
6Типичные ошибки
Отсчитывать расстояние не от той точки. В уравнении моментов относительно A все расстояния отсчитываются от A.
Менять реакции местами. Моменты относительно A дают RB, а не RA.
Забыть превратить UDL в одну силу w·ℓ или приложить эту силу в середине пролёта вместо середины нагрузки.
Путать направления вращения, из-за чего нагрузка и реакция получают один и тот же знак в уравнении моментов.
Не проверять. Второе уравнение моментов относительно B за несколько секунд выявляет большинство ошибок.
Самопроверка Балка длиной 4 m на двух опорах несёт 8 kN на расстоянии 1 m от A. Чему равна RA?
2 kN
4 kN
6 kN
8 kN
Ответ: 6 kN. Моменты относительно A: RB·4 = 8·1, поэтому RB = 2 kN и RA = 8 − 2 = 6 kN. 2 kN — это RB: опора, расположенная ближе к нагрузке, несёт больше.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: свободно опёртая балка с одной сосредоточенной нагрузкой. Вы находите RA или RB.
Средняя: две сосредоточенные нагрузки, как в разобранном примере.
Сложная: сосредоточенная нагрузка вместе с UDL на части пролёта или на всём пролёте. Сначала замените UDL на w·ℓ в её середине.
Другие варианты используют те же три уравнения: консоль (найти момент в заделке MA), наклонная нагрузка (используйте только её вертикальную составляющую, P·sin θ), приложенная пара сил, балка со свесом за опору или треугольная нагрузка (равнодействующая ½·w·ℓ на одной трети длины от высокого конца).
Внимательно прочитайте размеры под балкой и запишите каждое расстояние от A, прежде чем начинать.
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.
L = 4 mP = 55 kN в 2 m
Найти: RB(kN)
Показать подсказки
Используйте условия равновесия: ΣFy = 0 и ΣM = 0. Два неизвестных, два уравнения.
Возьмите моменты относительно A. RA проходит через A, поэтому исчезает, и вы сразу получаете RB.
Полная нагрузка вниз — 55 kN, поэтому RA + RB = 55 kN.
Показать ответ и пошаговое решение
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.
Расчётная схема
Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2
RB = 110/4 = 27,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 27,5 = 27,5 kN
Ответ
RB = 27,5 kN
Пример 2Средняя
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.
L = 6 mP1 = 15 kN в 2 mP2 = 30 kN в 3 m
Найти: RB(kN)
Показать подсказки
Используйте условия равновесия: ΣFy = 0 и ΣM = 0. Два неизвестных, два уравнения.
Возьмите моменты относительно A. RA проходит через A, поэтому исчезает, и вы сразу получаете RB.
Полная нагрузка вниз — 45 kN, поэтому RA + RB = 45 kN.
Показать ответ и пошаговое решение
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.
Расчётная схема
Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
ΣMA = 0: RB·6 = 15·2 + 30·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 20 = 25 kN
Ответ
RB = 20 kN
Пример 3Сложная
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 3 m от A действует сила P, наклонённая под углом 30° к горизонтали, а на расстоянии 2 m от A — вертикальная сила Q. Найдите величину полной силы реакции RA в шарнире A.
L = 4 mP = 25 kN в 3 m, θ = 30°Q = 25 kN в 2 m
Найти: RA(kN)
Показать подсказки
Разложите P на P·cos θ (горизонтальная) и P·sin θ (вертикальная). Подвижная опора не воспринимает горизонтальную силу.
Найдите RB из уравнения моментов относительно A, затем Ay из ΣFy = 0 и Ax из ΣFx = 0.
Ax = 21,65 kN, Ay = 15,63 kN.
Показать ответ и пошаговое решение
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.
Составляющие P
Pv = 25·sin 30° = 12,5 kN
Ph = 25·cos 30° = 21,65 kN
Реакции
ΣMA = 0: RB·4 = 12,5·3 + 25·2 → RB = 21,88 kN
Ay = 12,5 + 25 − 21,88 = 15,63 kN
Ax = Ph = 21,65 kN
Равнодействующая реакция в A
RA = √(21,65² + 15,63²) = 26,7 kN
Ответ
RA = 26,7 kN
Вопросы и ответы
Опорные реакции балок: что это?
Балка — это длинный прямой элемент, переносящий нагрузки через пролёт, как полка, балка перекрытия или небольшой мост.
Балка лежит на опорах. Когда нагрузки давят на балку вниз, опоры давят вверх. Эти направленные вверх силы — опорные реакции.
Опорные реакции балок: как решать задачи шаг за шагом?
Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣFy = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.
Сложная: сосредоточенная сила + распределённая нагрузка
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.