Газовые циклы: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Газовые циклы с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: цикл Отто, цикл Дизеля, цикл Брайтона.

Бесплатная задачаЛёгкая
vP1234qin​qout​

Идеальный цикл Отто имеет степень сжатия 10,5. В начале сжатия температура воздуха 295 K, а наибольшая температура в цикле 1800 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) и cv = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r = 10,5T1 = 295 KT3 = 1800 Kk = 1,4cv = 0,718 kJ/(kg·K)
kJ/kg
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Газовые циклыЗанимайтесь сейчас: Газовые циклыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяцикл Отто
  2. Средняяцикл Дизеля
  3. Сложнаяцикл Брайтона

Основные формулы

Изоэнтропный процесс, отношение объёмов
T2/T1 = rk−1
Изоэнтропный процесс, отношение давлений
T2/T1 = rp(k−1)/k
КПД цикла Отто
η = 1 − 1/rk−1
КПД цикла Дизеля
η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k(rc − 1))
КПД цикла Брайтона
η = 1 − 1/rp(k−1)/k
Подведённая теплота
Отто: cv(T3 − T2) Дизель, Брайтон: cp(T3 − T2)
Полезная работа цикла Брайтона
w = cp[(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Изоэнтропные КПД
wc = wc,s/ηc, wt = ηt·wt,s
Холодный воздух
k = 1,4, cp = 1,005, cv = 0,718 kJ/(kg·K)

Изучите тему «Газовые циклы» с нуля

Перед этим: Тепловые машины и холодильники, Уравнение состояния идеального газа

1Что такое газовый силовой цикл

Автомобильные двигатели и газовые турбины — это тепловые двигатели, использующие воздух как рабочий газ. Воздух сжимается, нагревается при сгорании топлива, расширяется, толкая поршень или турбину, а затем выбрасывается.

Реальные двигатели сложны. Для расчётов инженеры используют воздушно-стандартную модель: фиксированное количество воздуха проходит замкнутый цикл из четырёх простых процессов, а сгорание топлива заменено подводом тепла.

При допущениях модели холодного воздуха воздух — идеальный газ с постоянными свойствами: k = cp/cv = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) и cv = 0,718 kJ/(kg·K).

Вы встретите три цикла:

  • Отто: бензиновый двигатель. Тепло подводится при постоянном объёме, как искра, почти мгновенно сжигающая топливо.
  • Дизеля: дизельный двигатель. Тепло подводится при постоянном давлении, пока поршень движется.
  • Брайтона: газовая турбина. Воздух проходит через компрессор, камеру сгорания и турбину.

Важнейшая величина поршневого двигателя — его степень сжатия r = v1/v2: наибольший объём, делённый на наименьший.

Самопроверка В цилиндре 0,5 L, когда поршень внизу, и 0,05 L, когда он вверху. Чему равна степень сжатия?
  1. 0,1
  2. 0,45
  3. 10
  4. 9

Ответ: 10. r = наибольший объём / наименьший объём = 0,5/0,05 = 10. Деление в обратную сторону даёт 0,1, а разность объёмов (0,45 L) не является отношением.

2Изоэнтропные процессы и цикл Отто

В идеальном цикле сжатие и расширение происходят без трения и без теплообмена. Такой процесс называется изоэнтропным. Для идеального газа температура тогда определяется отношением объёмов:

T2 / T1 = rk−1 = r0,4

Сжатие воздуха до одной восьмой объёма нагревает его от 300 K примерно до 689 K. Поэтому дизельному двигателю не нужна искра.

Цикл Отто состоит из четырёх процессов, показанных на диаграмме «давление–объём»:

vp1234qin​qout​v2​v1​
  1. 1 → 2: изоэнтропное сжатие. T растёт в r0,4 раз.
  2. 2 → 3: подвод тепла при постоянном объёме: qin = cv·(T3 − T2).
  3. 3 → 4: изоэнтропное расширение. T падает в тот же r0,4 раз.
  4. 4 → 1: отвод тепла при постоянном объёме: qout = cv·(T4 − T1).

Полезная работа на килограмм равна w = qin − qout, а КПД зависит только от степени сжатия:

ηOtto = 1 − 1 / rk−1
Самопроверка Каков термический КПД идеального цикла Отто со степенью сжатия 10? (k = 1,4)
  1. 39,8%
  2. 60,2%
  3. 90%
  4. 96,0%

Ответ: 60,2%. 100,4 = 2,512, поэтому η = 1 − 1/2,512 = 60,2%. Если опустить показатель степени, получится 1 − 1/10 = 90%; 39,8% — это 1/r0,4, то есть теряемая часть.

3Циклы Дизеля и Брайтона

В цикле Дизеля тепло подводится при постоянном давлении. Объём при нагреве увеличивается в соответствии со степенью предварительного расширения rc = v3/v2. При постоянном давлении температура растёт в такое же число раз:

T3 = rc · T2 qin = cp · (T3 − T2)
ηDiesel = 1 − (1 / rk−1) · (rck − 1) / (k · (rc − 1))

Цикл Брайтона газовой турбины описывается степенью повышения давления rp = p2/p1 вместо отношения объёмов. Изоэнтропное правило тогда имеет другой показатель:

T2 / T1 = rp(k−1)/k = rp0,2857
ηBrayton = 1 − 1 / rp(k−1)/k

Компрессор потребляет работу, а турбина её производит. Полезная работа на килограмм — это разность:

wnet = cp · [(T3 − T4) − (T2 − T1)]
Самопроверка Каков КПД идеального цикла Брайтона со степенью повышения давления 8? (k = 1,4)
  1. 44,8%
  2. 55,2%
  3. 56,5%
  4. 87,5%

Ответ: 44,8%. 80,2857 = 1,811, поэтому η = 1 − 1/1,811 = 44,8%. Использование показателя для объёма 0,4 (формула цикла Отто) даёт 56,5%, что неверно для степени повышения давления.

4Метод по шагам

  1. Определите цикл (Отто, Дизеля или Брайтона) и пронумеруйте четыре состояния от 1 до 4, начиная до сжатия.
  2. Переведите все температуры в кельвины.
  3. Сжатие 1 → 2: T2 = T1·r0,4 для отношения объёмов или T1·rp0,2857 для отношения давлений.
  4. Подвод тепла 2 → 3: используйте cv для цикла Отто (постоянный объём), cp для циклов Дизеля и Брайтона (постоянное давление).
  5. Расширение 3 → 4: разделите T3 на множитель того же вида (для цикла Дизеля используйте v4/v3 = r/rc).
  6. Найдите qout, затем w = qin − qout и η = w/qin. Для проверки сравните η с формулой для этого цикла.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Идеальный цикл Отто имеет степень сжатия 8. В начале сжатия воздух имеет температуру 300 K, а наибольшая температура в цикле равна 1800 K. Используйте допущения модели холодного воздуха (k = 1,4, cv = 0,718 kJ/(kg·K)). Найдите КПД и полезную работу на килограмм воздуха.

1

Нарисуйте цикл

vp1234qin​qout​v2​v1​

Состояние 1 — 300 K. Наибольшая температура в состоянии 3, поэтому T3 = 1800 K. Нужно найти T2 и T4.

2

Сжатие 1 → 2

r0,4 = 80,4 = 2,297
T2 = 300 · 2,297 = 689,2 K
3

Подвод тепла 2 → 3

Тепло подводится при постоянном объёме, поэтому используйте cv:

qin = 0,718 · (1800 − 689,2) = 797,5 kJ/kg
4

Расширение и отвод тепла

T4 = 1800 / 2,297 = 783,5 K
qout = 0,718 · (783,5 − 300) = 347,1 kJ/kg
5

Полезная работа и КПД

w = 797,5 − 347,1 = 450,4 kJ/kg
η = 450,4 / 797,5 = 0,565 = 56,5%
6

Проверьте ответ

Формула цикла Отто даёт η = 1 − 1/2,297 = 56,5%. Это то же самое, значит, температуры верны.

Ответ

η ≈ 56,5% и w ≈ 450 kJ/kg.

6Типичные ошибки

  • Использовать °C в изоэнтропном соотношении. T2/T1 = r0,4 работает только в кельвинах.
  • Использовать показатель k − 1 = 0,4 со степенью повышения давления. Для отношения давлений нужен (k − 1)/k = 0,2857.
  • Использовать cp для цикла Отто или cv для циклов Дизеля и Брайтона. Постоянный объём связан с cv, постоянное давление — с cp.
  • Забывать работу компрессора в цикле Брайтона: полезная работа — это работа турбины минус работа компрессора.
  • Использовать показатель k вместо k − 1.
Самопроверка Воздух при 27 °C сжимается изоэнтропно со степенью сжатия 8 (k = 1,4). Какова температура после сжатия?
  1. 2401 K
  2. 5514 K
  3. 62,0 K
  4. 689,6 K

Ответ: 689,6 K. T1 = 300,15 K, поэтому T2 = 300,15 · 80,4 = 689,6 K. Использование 27 даёт 62,0, пропуск показателя степени — 2401 K, а показатель 1,4 — 5514 K.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: цикл Отто. Найдите его КПД по r, температуру T2 после сжатия или полезную работу на килограмм при заданной наибольшей температуре.
  • Средняя: цикл Дизеля со степенью сжатия и степенью предварительного расширения. Найдите T3 в конце подвода тепла, подведённое тепло qin или КПД.
  • Сложная: цикл Брайтона газовой турбины. Найдите КПД по степени повышения давления или полезную работу на килограмм по температурам на входе в компрессор и турбину.

В каждом вопросе повторяются значения модели холодного воздуха. Вам нужны только k = 1,4 и либо cv, либо cp.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
vP1234qin​qout​

Идеальный цикл Отто имеет степень сжатия 6. В начале сжатия температура воздуха 305 K, а наибольшая температура в цикле 2000 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) и cv = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите полезную работу w на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r = 6T1 = 305 KT3 = 2000 Kk = 1,4cv = 0,718 kJ/(kg·K)

Найти: w (kJ/kg)

Показать подсказки
  1. Найдите T₂ после изоэнтропного сжатия.
  2. qin = cv·(T₃ − T₂), η = 1 − 1/rk−1.
  3. T₂ = 624,5 K.
Показать ответ и пошаговое решение

Цикл Отто (двигатель с искровым зажиганием): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном объёме, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂: T₂ = T₁·rk−1 и η = 1 − 1/rk−1. Подведённая теплота: qin = cv·(T₃ − T₂); полезная работа w = η·qin.

Конец сжатия

T2 = 305·60,4 = 624,5 K

Подвод теплоты при постоянном объёме

qin = 0,718·(2000 − 624,5) = 987,6 kJ/kg

Полезная работа

η = 1 − 1/60,4 = 0,5116
w = η·qin = 0,5116·987,6 = 505,3 kJ/kg

Ответ

w = 505,3 kJ/kg
Пример 2Средняя
vP1234qin​qout​

Идеальный цикл Дизеля имеет степень сжатия r = 16 и степень предварительного расширения rc = v₃/v₂ = 2,2. В начале сжатия температура воздуха 310 K. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) и cv = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите подведённую теплоту qin на килограмм воздуха, в kJ/kg.

r = 16rc = 2,2T1 = 310 Kk = 1,4cp = 1,005 kJ/(kg·K)

Найти: qin (kJ/kg)

Показать подсказки
  1. Найдите T₂ (изоэнтропное сжатие) и T₃ = rc·T₂.
  2. qin = cp·(T₃ − T₂).
  3. T₂ = 939,7 K, T₃ = 2067 K.
Показать ответ и пошаговое решение

Цикл Дизеля (двигатель с воспламенением от сжатия): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂ и степени предварительного расширения rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) и η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).

Температуры

T2 = 310·160,4 = 939,7 K
T3 = 2,2·939,7 = 2067 K

Подведённая теплота при постоянном давлении

qin = 1,005·(2067 − 939,7) = 1133 kJ/kg

Ответ

qin = 1133 kJ/kg
Пример 3Сложная
vP1234qin​qout​

Идеальный цикл Брайтона работает со степенью повышения давления в компрессоре 20. Используйте допущения холодного воздушного стандарта: воздух — идеальный газ с постоянными теплоёмкостями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) и cv = 0,718 kJ/(kg·K). Найдите его термический КПД η в процентах.

rp = 20k = 1,4

Найти: η (%)

Показать подсказки
  1. КПД идеального цикла Брайтона зависит только от степени повышения давления и k.
  2. η = 1 − 1/rp(k−1)/k.
  3. (k − 1)/k = 0,2857, rp0,2857 = 2,354.
Показать ответ и пошаговое решение

Цикл Брайтона (газовая турбина): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном давлении, 3→4 изоэнтропное расширение в турбине, 4→1 отвод теплоты при постоянном давлении. При степени повышения давления rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k и η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Полезная работа w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. С учётом изоэнтропных КПД компрессору нужно ws/ηc, а турбина отдаёт ηt·ws.

Термический КПД

η = 1 − 1/200,2857 = 1 − 1/2,354 = 57,51%

Ответ

η = 57,51%

Вопросы и ответы

Газовые циклы: что это?

Автомобильные двигатели и газовые турбины — это тепловые двигатели, использующие воздух как рабочий газ. Воздух сжимается, нагревается при сгорании топлива, расширяется, толкая поршень или турбину, а затем выбрасывается.

Реальные двигатели сложны. Для расчётов инженеры используют воздушно-стандартную модель: фиксированное количество воздуха проходит замкнутый цикл из четырёх простых процессов, а сгорание топлива заменено подводом тепла.

Газовые циклы: как решать задачи шаг за шагом?

Цикл Отто (двигатель с искровым зажиганием): 1→2 изоэнтропное сжатие, 2→3 подвод теплоты при постоянном объёме, 3→4 изоэнтропное расширение, 4→1 отвод теплоты при постоянном объёме. При степени сжатия r = v₁/v₂: T₂ = T₁·rk−1 и η = 1 − 1/rk−1. Подведённая теплота: qin = cv·(T₃ − T₂); полезная работа w = η·qin.

Газовые циклы: какие ошибки самые частые?
  • Это подведённая теплота. В полезную работу превращается только её доля η.
  • В цикле Отто теплота подводится при постоянном объёме: используйте cv, а не cp.
  • Теплота подводится от состояния 2 к состоянию 3. Сначала найдите T2 после сжатия.
Газовые циклы: что вы тренируете?
  • Лёгкая: цикл Отто
  • Средняя: цикл Дизеля
  • Сложная: цикл Брайтона

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Тепловые машины и холодильникиУравнение состояния идеального газа

Калькуляторы

Калькулятор КПД циклов Отто и Брайтона

Курсы с этой темой

Термодинамика 1Подготовка к экзамену FE Mechanical

Другие темы: Машиностроение

Опорные реакции балокРамы и механизмыОсевое напряжение и деформацияКручение валовКруг Мора и преобразование напряженийДвижение тела, брошенного под угломРабота и энергияВращение твёрдого телаМеханические колебанияТепловые машины и холодильникиНеразрывность и БернуллиТрение в трубах и потери напораНасосы и мощность насосаТеплопроводностьЗубчатые колёса и передачи

Лист заданий для печати

Газовые циклы: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Газовые циклыЗанимайтесь сейчас: Газовые циклыБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.