Зубчатые колёса и передачи: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Зубчатые колёса и передачи с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: передаточное отношение, крутящий момент и мощность, многоступенчатая зубчатая передача.

Бесплатная задачаЛёгкая
N1​ = 30N2​ = 48

Ведущее колесо с числом зубьев 30 вращается с частотой 1500 rpm и находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 48. Найдите частоту вращения n2 ведомого колеса.

N1 = 30N2 = 48n1 = 1500 rpm
rpm
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Зубчатые колёса и передачиЗанимайтесь сейчас: Зубчатые колёса и передачиБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяпередаточное отношение
  2. Средняякрутящий момент и мощность
  3. Сложнаямногоступенчатая зубчатая передача

Основные формулы

Зацепление колёс
n1·N1 = n2·N2
Крутящий момент
T2 = T1·(N2/N1)·η
Мощность
P = T·ω, ω = 2π·n/60
Многоступенчатая передача
общее передаточное отношение = произведение передаточных отношений ступеней

Изучите тему «Зубчатые колёса и передачи» с нуля

1Что делают зубчатые колёса

Зубчатые колёса передают вращение от одного вала к другому. Их зубья входят друг в друга, поэтому проскальзывания нет.

Редуктор выполняет сразу две задачи. Он меняет скорость вращения и меняет крутящий момент — вращающее усилие на валу. Медленнее значит сильнее.

Электродвигатель вращается быстро, но с небольшим крутящим моментом. Пара зубчатых колёс замедляет его, чтобы он мог вращать тяжёлый конвейер или лебёдку. Велосипед на низкой передаче работает так же.

Колесо, которое приводится в движение двигателем, — это ведущее колесо (часто маленькое колесо, называемое шестернёй). Колесо, которое оно вращает, — ведомое.

N1​, n1​N2​, n2​

Два зацепляющихся колеса вращаются в противоположных направлениях.

Самопроверка Маленькое колесо приводит в движение большое. По сравнению с маленьким большое колесо вращается…
  1. быстрее, с большим крутящим моментом
  2. медленнее, с большим крутящим моментом
  3. медленнее, с меньшим крутящим моментом
  4. с той же скоростью в том же направлении

Ответ: медленнее, с большим крутящим моментом. Большому колесу нужно больше оборотов маленького для одного своего оборота, поэтому оно медленнее. Мощность почти не меняется, поэтому более медленный вал несёт больший крутящий момент.

2Передаточное отношение

В точке касания двух колёс их зубья проходят с одной скоростью. Если шестерня с 20 зубьями делает один оборот, она проталкивает мимо 20 зубьев большого колеса. Колесо с 60 зубьями при этом делает лишь треть оборота.

Поэтому частоты вращения n (в rpm) и числа зубьев N связаны так:

n1 · N1 = n2 · N2

Передаточное число равно i = N2 / N1 = n1 / n2. Число 3 означает, что выходной вал вращается в три раза медленнее.

В многоступенчатой зубчатой передаче два колеса сидят на одном промежуточном валу, поэтому вращаются с одной скоростью. Общее передаточное число — произведение передаточных чисел ступеней:

itotal = (NB / NA) · (ND / NC)

Промежуточное колесо между двумя другими (каждое на своём валу) меняет только направление вращения. Скорость последнего колеса определяется только первым и последним колёсами.

Самопроверка Колесо с 20 зубьями, вращающееся со скоростью 900 rpm, приводит в движение колесо с 60 зубьями. С какой скоростью вращается колесо с 60 зубьями?
  1. 1,33 rpm
  2. 2700 rpm
  3. 300 rpm
  4. 900 rpm

Ответ: 300 rpm. n2 = n1 · N1/N2 = 900 · 20/60 = 300 rpm. Умножение на 60/20 даёт 2700 rpm: тогда большое колесо вращалось бы быстрее, что неверно.

3Крутящий момент и мощность

Мощность — это крутящий момент, умноженный на угловую скорость. Угловая скорость должна быть в rad/s, поэтому сначала переведите из rpm:

ω = 2π · n / 60 P = T · ω

Зубчатая пара передаёт почти всю мощность. Лишь несколько процентов теряется на трение, это описывается КПД η (обычно от 0,95 до 0,98):

P2 = η · P1

Поскольку скорость уменьшается в передаточное число раз, а мощность остаётся почти прежней, крутящий момент увеличивается в то же число раз:

T2 = T1 · (N2 / N1) · η
Самопроверка Двигатель мощностью 3 kW вращается со скоростью 955 rpm. Какой крутящий момент он развивает?
  1. 0,03 N·m
  2. 188 N·m
  3. 3,14 N·m
  4. 30 N·m

Ответ: 30 N·m. ω = 2π · 955/60 = 100 rad/s, поэтому T = 3000/100 = 30 N·m. Деление сразу на rpm даёт 3,14, мощность в kW — 0,03, а если забыть 2π — 188.

4Метод по шагам

  1. Нарисуйте колёса и запишите число зубьев на каждом. Отметьте входной и выходной валы.
  2. Найдите передаточное число каждой ступени, число зубьев ведомого / число зубьев ведущего, и перемножьте ступени для многоступенчатой передачи.
  3. Выходная скорость: nout = nin / itotal.
  4. Входной крутящий момент двигателя: переведите rpm в rad/s по формуле ω = 2π·n/60, затем T = P/ω.
  5. Выходной крутящий момент: умножьте на передаточное число и на КПД каждого зацепления.

Проверьте направление ответа: понижающая передача делает выход медленнее, а его крутящий момент больше.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Двигатель мощностью 4 kW, вращающийся со скоростью 1200 rpm, приводит в движение шестерню с 20 зубьями, которая зацепляется с колесом с 60 зубьями. КПД зубчатой пары 96%. Найдите скорость колеса и выходной крутящий момент на его валу.

1

Нарисуйте пару

20, 1200 rpm60, n2​ = ?

Шестерня — ведущая. Передаточное число i = 60/20 = 3.

2

Скорость на выходе

n2 = n1 · N1 / N2 = 1200 · 20 / 60 = 400 rpm
3

Входной крутящий момент

Сначала переведите скорость двигателя в rad/s:

ω1 = 2π · 1200 / 60 = 125,7 rad/s
T1 = P / ω1 = 4000 / 125,7 = 31,83 N·m
4

Выходной крутящий момент

T2 = T1 · (N2 / N1) · η = 31,83 · 3 · 0,96 = 91,7 N·m
5

Проверьте ответ

Выходная мощность: P2 = 0,96 · 4000 = 3840 W, а ω2 = 2π · 400/60 = 41,89 rad/s.

T2 = 3840 / 41,89 = 91,7 N·m

Тот же крутящий момент, найденный по мощности. Ответ верен.

Ответ

Колесо вращается со скоростью n2 = 400 rpm с выходным крутящим моментом T2 ≈ 91,7 N·m.

6Типичные ошибки

  • Переворачивать отношение чисел зубьев. Большее ведомое колесо должно вращаться медленнее.
  • Использовать rpm в P = T·ω. Переведите в rad/s по формуле ω = 2π·n/60.
  • Делить крутящий момент на передаточное число вместо умножения. Понижающая передача увеличивает крутящий момент.
  • Делить на КПД. Трение уменьшает выходной крутящий момент, поэтому умножайте на η.
  • Учитывать промежуточное колесо в передаточном числе или умножать числа зубьев двух колёс на одном валу.
Самопроверка Шестерня с 20 зубьями передаёт 10 N·m и приводит в движение колесо с 60 зубьями. КПД 95%. Каков выходной крутящий момент?
  1. 28,5 N·m
  2. 3,17 N·m
  3. 30 N·m
  4. 31,6 N·m

Ответ: 28,5 N·m. T2 = 10 · (60/20) · 0,95 = 28,5 N·m. Деление на передаточное число даёт 3,17, игнорирование КПД — 30, а деление на η — 31,6.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: передаточное отношение. Найдите скорость ведомого колеса или число зубьев, нужное для заданной скорости. Варианты включают промежуточное колесо и размеры колёс по модулю m: делительный диаметр d = m·N, межосевое расстояние a = m·(N1 + N2)/2.
  • Средняя: крутящий момент и мощность. Двигатель заданной мощности и скорости приводит в движение зубчатую пару: найдите входной или выходной крутящий момент. Другие вопросы требуют найти окружное усилие на зубьях, Ft = 2T/d, или связаны с червячной передачей (передаточное число = число зубьев колеса / число заходов червяка).
  • Сложная: многоступенчатая зубчатая передача. Найдите выходную скорость, необходимое число зубьев последнего колеса или выходной крутящий момент с КПД для каждого зацепления. В некоторых вопросах используется планетарная передача.

Для многоступенчатой передачи, например A (20) → B (60), затем C (15) → D (45): i = 3 · 3 = 9, поэтому при входной скорости 900 rpm на выходе получается 100 rpm.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
d1​ = 160 mmd2​ = 400 mm1500 rpmn2​ = ?

Двигатель, вращающийся с частотой 1500 rpm, приводит шкив 160 mm. Ремень соединяет его со шкивом 400 mm. Полагая, что проскальзывания нет, найдите частоту вращения n2 ведомого шкива.

n1 = 1500 rpmd1 = 160 mmd2 = 400 mm

Найти: n2 (rpm)

Показать подсказки
  1. Ремень движется с одной скоростью, поэтому у обоих ободов скорость одинакова.
  2. π·d₁·n₁ = π·d₂·n₂.
  3. n₂ = 1500·160/400.
Показать ответ и пошаговое решение

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = eμθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Равные скорости ободов

n₁·d₁ = n₂·d₂

Частота вращения ведомого шкива

n2 = 1500·160/400 = 600 rpm

Ответ

n2 = 600 rpm
Пример 2Средняя
N1​ = 16N2​ = 80

Двигатель мощностью 7,5 kW с частотой вращения 1450 rpm приводит шестерню с числом зубьев 16, которая находится в зацеплении с колесом с числом зубьев 80. КПД зубчатой пары — 98 %. Найдите выходной крутящий момент T2 на валу колеса.

P = 7,5 kWn1 = 1450 rpmN1 = 16N2 = 80η = 98%

Найти: T2 (N·m)

Показать подсказки
  1. Момент двигателя по мощности: T = P/ω, где ω = 2π·n/60 в rad/s.
  2. ω₁ = 151,8 rad/s.
  3. Передача умножает крутящий момент на N₂/N₁ (и немного теряет на трение).
Показать ответ и пошаговое решение

Зубчатые передачи: у зацепляющихся колёс скорость в точке контакта зубьев одинакова, поэтому n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо с меньшим числом зубьев вращается быстрее. Колёса на одном валу вращаются с одинаковой частотой. Мощность передаётся дальше (за вычетом потерь), поэтому при уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, где ω = 2π·n/60.

Момент двигателя

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 7500/151,8 = 49,39 N·m

Выходной крутящий момент

T2 = 49,39·80/16·0,98 = 242 N·m

Ответ

T2 = 242 N·m
Пример 3Сложная
A = 32B = 60C = 50D = ?

В многоступенчатой зубчатой передаче колесо A (32 зубьев) на входном валу вращается с частотой 960 rpm и приводит колесо B (60 зубьев). Колесо C (50 зубьев) закреплено на одном валу с B и приводит колесо D на выходном валу. Выходной вал должен вращаться с частотой 320 rpm. Сколько зубьев ND должно иметь колесо D?

nin = 960 rpmA = 32B = 60C = 50nout = 320 rpm

Найти: ND

Показать подсказки
  1. Сначала найдите частоту вращения промежуточного вала: nB = nin·A/B.
  2. Затем C приводит D: ND = C·nB/nout.
  3. nB = 512 rpm.
Показать ответ и пошаговое решение

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

Частота вращения промежуточного вала

nB = nC = 960·32/60 = 512 rpm

Число зубьев колеса D

ND = C·nC/nout = 50·512/320 = 80

Ответ

ND = 80

Вопросы и ответы

Зубчатые колёса и передачи: что это?

Зубчатые колёса передают вращение от одного вала к другому. Их зубья входят друг в друга, поэтому проскальзывания нет.

Редуктор выполняет сразу две задачи. Он меняет скорость вращения и меняет крутящий момент — вращающее усилие на валу. Медленнее значит сильнее.

Зубчатые колёса и передачи: как решать задачи шаг за шагом?

Ременные передачи: без проскальзывания обод обоих шкивов имеет одну и ту же скорость v = π·d·n/60, поэтому n₁·d₁ = n₂·d₂, а передаточное отношение равно d₂/d₁. Проскальзывание s делает ведомый шкив немного медленнее: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). Передаваемая мощность равна P = (T₁ − T₂)·v, где T₁ — натяжение ведущей ветви, а T₂ — ведомой. Трение ограничивает отношение натяжений: T₁/T₂ = eμθ, где θ — угол обхвата в радианах на меньшем шкиве; для открытой передачи θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) при межосевом расстоянии C.

Зубчатые колёса и передачи: какие ошибки самые частые?
  • Больший шкив вращается медленнее: n₂ = n₁·d₁/d₂.
  • Равны скорости ободов, а не частоты вращения валов.
  • При уменьшении частоты вращения крутящий момент растёт: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η.
Зубчатые колёса и передачи: что вы тренируете?
  • Лёгкая: передаточное отношение
  • Средняя: крутящий момент и мощность
  • Сложная: многоступенчатая зубчатая передача

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Калькуляторы

Калькулятор передаточного отношенияКалькулятор длины ремня (открытая и перекрёстная передачи)

Курсы с этой темой

ДинамикаДетали машинМехатронные системыПодготовка к экзамену FE Mechanical

Другие темы: Машиностроение

Опорные реакции балокРамы и механизмыОсевое напряжение и деформацияКручение валовКруг Мора и преобразование напряженийДвижение тела, брошенного под угломРабота и энергияВращение твёрдого телаМеханические колебанияТепловые машины и холодильникиГазовые циклыНеразрывность и БернуллиТрение в трубах и потери напораНасосы и мощность насосаТеплопроводность

Лист заданий для печати

Зубчатые колёса и передачи: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Зубчатые колёса и передачиЗанимайтесь сейчас: Зубчатые колёса и передачиБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.