Другие названия: закон Фурье · термическое сопротивление · коэффициент теплопередачи
Бесплатные задачи по теме Теплопроводность с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: однослойная стена, многослойная стена, стена с конвекцией.
Бесплатная задачаЛёгкая
Стена (пенополистирол) имеет толщину 10 mm и площадь 6 m². Её поверхности поддерживаются при 24 °C и -11 °C. Найдите тепловой поток теплопроводностью Q̇ через стену.
k = 0,035 W/(m·K)L = 10 mmA = 6 m²T1 = 24 °CT2 = -11 °C
Тепло всегда течёт от горячего к холодному. Внутри твёрдого тела оно передаётся теплопроводностью: быстро колеблющиеся частицы на тёплой стороне передают свою энергию соседям.
Зимним днём тепло уходит из тёплой комнаты через стены именно так. Сколько его уходит, зависит от разности температур, площади стены, её толщины и материала.
Материалы очень сильно различаются. Теплопроводностьk, в W/(m·K), показывает, насколько легко проходит тепло:
Бетон: около 1,4 W/(m·K). Кирпич: около 0,72.
Дерево: около 0,17.
Минеральная вата: около 0,04. Пенополистирол: около 0,035.
Низкое k означает хороший изолятор. Поэтому в домах внутри стены есть слой ваты или пеноматериала.
В этой теме температуры не меняются со временем. Это называется стационарной теплопроводностью.
Самопроверка Какая стена пропускает меньше всего тепла, если все они толщиной 100 mm?
Бетон (k = 1,4)
Дерево (k = 0,17)
Кирпич (k = 0,72)
Минеральная вата (k = 0,04)
Ответ: Минеральная вата (k = 0,04). Тепловой поток пропорционален k. У минеральной ваты теплопроводность намного ниже всех остальных, поэтому она изолирует лучше всего.
2Закон Фурье и термическое сопротивление
Для плоской стены толщиной L и площадью A, грани которой имеют температуры T1 и T2, тепловой поток в ваттах задаётся законом Фурье:
Q̇ = k · A · (T1 − T2) / L
Температура падает по прямой линии через стену. Плотность теплового потока — это поток на квадратный метр: q″ = Q̇ / A, в W/m².
Полезно представить стену как резистор, как в электрической цепи. Разность температур гонит тепло, а стена ему сопротивляется:
Q̇ = ΔT / R R = L / (k · A)
Термическое сопротивление R измеряется в K/W. Более толстая стена или меньшее k дают большее сопротивление и меньшие потери тепла. Разность температур в °C численно равна разности в K.
Самопроверка Бетонная стена (k = 1,4 W/(m·K)) имеет толщину 200 mm и площадь 10 m². Температуры её граней 20 °C и 0 °C. Каков тепловой поток?
0,0007 W
1,4 W
140 W
1400 W
Ответ: 1400 W. Q̇ = 1,4 · 10 · 20 / 0,2 = 1400 W. Если взять L = 200 (mm), получится 1,4 W, а если забыть про площадь — 140 W.
3Стены из нескольких слоёв
Реальная стена состоит из слоёв: кирпич, утеплитель, гипсокартон. Один и тот же тепловой поток проходит через каждый слой по очереди, поэтому слои — это последовательно соединённые сопротивления. Сложите их:
Rtotal = R1 + R2 + … Q̇ = (Tin − Tout) / Rtotal
Каждый слой берёт на себя долю общего перепада температуры пропорционально своему сопротивлению: ΔT1 = Q̇ · R1. Наибольший перепад приходится на слой утеплителя.
Воздух у стены тоже сопротивляется теплу. Это сопротивление конвекции равно R = 1/(h · A), где h — коэффициент конвекции в W/(m²·K). Прибавьте его последовательно, как слой.
Коэффициент теплопередачи (U-значение) характеризует всю стену, включая воздушные плёнки, как тепловой поток на m² на кельвин:
U = 1 / (Rtotal · A) Q̇ = U · A · ΔT
4Метод по шагам
Нарисуйте стену с её слоями. Запишите толщину каждого слоя в метрах и рядом k.
Вычислите сопротивление каждого слоя: R = L/(k·A). Если с какой-то стороны воздух, добавьте для неё R = 1/(h·A).
Чтобы найти температуру внутри стены, начните с известной температуры и вычитайте Q̇ · R за каждый пройденный слой.
Хорошая проверка: перепады температур на всех слоях должны в сумме давать полную разность температур.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Стена состоит из 200 mm кирпича (k = 0,72 W/(m·K)) и 50 mm минеральной ваты (k = 0,04 W/(m·K)) при площади 10 m². Температуры внешних граней 20 °C и 0 °C. Найдите тепловой поток через стену и температуру на границе между слоями.
1
Нарисуйте стену
Тепло течёт со стороны 20 °C через кирпич, затем через вату к стороне 0 °C.
2
Сопротивление каждого слоя
R1 = 0,200 / (0,72 · 10) = 0,0278 K/W
R2 = 0,050 / (0,04 · 10) = 0,125 K/W
Тонкий слой ваты сопротивляется гораздо сильнее, чем толстый слой кирпича.
3
Полное сопротивление и тепловой поток
Rtotal = 0,0278 + 0,125 = 0,1528 K/W
Q̇ = (20 − 0) / 0,1528 = 130,9 W
4
Температура на границе
Начните с тёплой грани и пройдите через кирпич:
Ti = 20 − Q̇ · R1 = 20 − 130,9 · 0,0278 = 16,4 °C
5
Проверьте ответ
Перепад на вате равен 130,9 · 0,125 = 16,4 K, от 16,4 °C до 0 °C. Два перепада, 3,6 K + 16,4 K, в сумме дают полные 20 K.
Ответ
Q̇ ≈ 131 W, а на границе Ti ≈ 16,4 °C.
6Типичные ошибки
Оставлять толщину в mm. Значения k даны на метр, поэтому L должно быть в метрах.
Усреднять значения k двух слоёв или складывать их. Складывайте вместо этого сопротивления L/(k·A).
Забывать про площадь: R = L/(k·A) для всей стены, R = L/k для одного квадратного метра.
Начинать с неверной стороны при поиске температуры на границе слоёв. Температура всегда падает в направлении теплового потока.
Не учитывать воздушные плёнки (1/(h·A)), когда заданы температуры воздуха внутри и снаружи.
Самопроверка Один квадратный метр стены содержит 100 mm минеральной ваты (k = 0,04) и 100 mm кирпича (k = 0,72). Температуры граней различаются на 20 K. Каков тепловой поток?
152 W
38 W
7,6 W
8 W
Ответ: 7,6 W. R = 0,1/0,04 + 0,1/0,72 = 2,5 + 0,139 = 2,64 K/W, поэтому Q̇ = 20/2,64 = 7,6 W. Усреднение k даёт 38 W, а если не учитывать кирпич — 8 W.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: одна стена. Найдите тепловой поток Q̇ или плотность теплового потока q″ по закону Фурье.
Средняя: составная стена из двух слоёв. Найдите тепловой поток или температуру Ti на границе между слоями.
Сложная: стена с конвекцией с обеих сторон, между воздухом в помещении и наружным воздухом. Найдите коэффициент теплопередачи U, теплопотери или температуру Ts внутренней поверхности.
Для температуры внутренней поверхности начните с воздуха в помещении и пройдите только внутреннюю воздушную плёнку: Ts = Troom − Q̇ / (hi · A).
Пример: для стены выше при h = 8 W/(m²·K) внутри и 25 W/(m²·K) снаружи Rtotal = 0,0125 + 0,1528 + 0,004 = 0,1693 K/W, поэтому U = 1/(0,1693 · 10) = 0,59 W/(m²·K).
Стена (древесина) имеет толщину 150 mm и площадь 6 m². Её поверхности поддерживаются при 20 °C и -9 °C. Найдите тепловой поток теплопроводностью Q̇ через стену.
k = 0,17 W/(m·K)L = 150 mmA = 6 m²T1 = 20 °CT2 = -9 °C
Найти: Q̇(W)
Показать подсказки
Закон Фурье для плоской стенки: Q̇ = k·A·ΔT/L.
Переведите толщину в метры, чтобы единицы k совпадали.
ΔT = 29 K.
Показать ответ и пошаговое решение
Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.
Закон Фурье
ΔT = 20 − (-9) = 29 K
Q̇ = kAΔT/L = 0,17·6·29/(150/1000) = 197,2 W
Ответ
Q̇ = 197,2 W
Пример 2Средняя
Стена состоит из слоя 50 mm (минеральная вата) и слоя 50 mm (древесина), её площадь 12 m². Наружные поверхности имеют 25 °C и 5 °C. Найдите температуру Ti на границе двух слоёв.
L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = 5 °C
Найти: Ti(°C)
Показать подсказки
Каждый слой — это термическое сопротивление R = L/(kA). При последовательном соединении они складываются.
Через оба слоя проходит один и тот же Q̇, поэтому Ti = T₁ − Q̇·R₁.
R1 + R2 = 0,1287 K/W.
Показать ответ и пошаговое решение
Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.
Сопротивления слоёв
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
Тепловой поток
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,1287 = 155,4 W
Температура на границе
На первом слое температура падает на Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 155,4·0,1042 = 8,81 °C
Ответ
Ti = 8,81 °C
Пример 3Сложная
Стена из 100 mm (минеральная вата) и 25 mm (гипсокартон) отделяет помещение при 20 °C от наружного воздуха при -7 °C. Коэффициенты теплоотдачи — 6 W/(m²·K) внутри и 20 W/(m²·K) снаружи, площадь стены 8 m². Найдите коэффициент теплопередачи U стены.
L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
Найти: U(W/(m²·K))
Показать подсказки
Сложите четыре последовательных сопротивления: внутреннюю конвекцию, два теплопроводных слоя и наружную конвекцию.
U — тепловой поток на единицу площади на градус: U = 1/(A·ΣR).
ΣR = 0,358 K/W.
Показать ответ и пошаговое решение
Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.
Последовательные сопротивления
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,358 K/W
Коэффициент теплопередачи
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,358) = 0,3492 W/(m²·K)
Ответ
U = 0,3492 W/(m²·K)
Вопросы и ответы
Теплопроводность: что это?
Тепло всегда течёт от горячего к холодному. Внутри твёрдого тела оно передаётся теплопроводностью: быстро колеблющиеся частицы на тёплой стороне передают свою энергию соседям.
Зимним днём тепло уходит из тёплой комнаты через стены именно так. Сколько его уходит, зависит от разности температур, площади стены, её толщины и материала.
Теплопроводность: как решать задачи шаг за шагом?
Термическое сопротивление: установившийся тепловой поток через последовательные слои ведёт себя как ток через последовательные резисторы: Q̇ = ΔT/ΣR, где R = L/(kA) для теплопроводного слоя и R = 1/(hA) для поверхности с конвекцией. Перепад температуры на каждом слое пропорционален его сопротивлению.
Теплопроводность: что вы тренируете?
Лёгкая: однослойная стена
Средняя: многослойная стена
Сложная: стена с конвекцией
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.