Неразрывность и Бернулли: задачи с пошаговыми решениями
Другие названия: уравнение Бернулли · уравнение неразрывности
Бесплатные задачи по теме Неразрывность и Бернулли с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: неразрывность, горизонтальное сужение, восходящая труба.
Бесплатная задачаЛёгкая
Вода течёт со скоростью 0,75 m/s по широкой части трубы диаметром 75 mm. Найдите объёмный расход Q.
Закройте большим пальцем конец садового шланга, и вода польётся быстрее. То же количество воды должно пройти через меньшее отверстие, поэтому ей приходится двигаться быстрее.
Это и есть неразрывность: в заполненной трубе вода не может накапливаться или исчезать. Сколько воды втекает за секунду, столько и вытекает.
Вторая идея — уравнение Бернулли — связывает скорость, давление и высоту. Где вода ускоряется, её давление падает. Где она поднимается, её давление тоже падает.
Вместе эти две идеи позволяют предсказать скорость и давление в любой точке трубы. В этой теме жидкость несжимаема (как вода), а потери на трение не учитываются.
Самопроверка Вода течёт по трубе, которая сужается. Что происходит с её скоростью в узкой части?
Вода останавливается
Не меняется
Увеличивается
Уменьшается
Ответ: Увеличивается. Одинаковый объём в секунду должен пройти через меньшую площадь, поэтому вода должна двигаться быстрее.
2Расход и неразрывность
Объёмный расходQ — это объём жидкости, проходящий за секунду, в m³/s. Один литр в секунду (L/s) равен 0,001 m³/s.
Для жидкости, движущейся со средней скоростью v через сечение площадью A:
Q = A · v A = π · d² / 4
Массовый расход равен ṁ = ρ · Q, в kg/s, где ρ — плотность (1000 kg/m³ для воды).
Неразрывность означает, что Q одинаков в каждом сечении трубы:
A1 · v1 = A2 · v2
Для круглых труб π/4 сокращается, поэтому v2 = v1 · (d1 / d2)². Уменьшение диаметра вдвое делает воду в четыре раза быстрее.
Самопроверка Труба сужается с 80 mm до 40 mm. В широкой части вода движется со скоростью 1 m/s. Как быстро она движется в узкой части?
0,25 m/s
2 m/s
4 m/s
8 m/s
Ответ: 4 m/s. v2 = 1 · (80/40)² = 4 m/s. Площадь зависит от квадрата диаметра. Если взять отношение диаметров без возведения в квадрат, получится 2 m/s.
3Уравнение Бернулли
Вдоль линии тока без потерь энергия на кубический метр жидкости остаётся постоянной. Она состоит из трёх частей: давления, движения и высоты.
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
p: давление, в Pa.
½ρv²: кинетическая энергия на m³, тоже в Pa.
ρgz: энергия высоты на m³, где z — высота над любым выбранным вами уровнем отсчёта.
Значит, если одна часть растёт, другая должна уменьшаться. У более быстрой воды давление ниже. У более высокой воды давление ниже.
Полезный частный случай — резервуар, который опорожняется через небольшое отверстие на глубине h под открытой поверхностью. Поверхность почти не движется, и в обеих точках давление равно атмосферному, откуда получается закон Торричелли:
v = √(2gh)
Самопроверка Открытый резервуар с водой опорожняется через небольшое отверстие в 5 m ниже поверхности воды. Без учёта потерь, с какой скоростью вытекает струя? (g = 9,81 m/s²)
49,1 m/s
7,00 m/s
9,90 m/s
98,1 m/s
Ответ: 9,90 m/s. v = √(2 · 9,81 · 5) = √98,1 = 9,90 m/s. Если забыть 2, получится 7,00 m/s, а если забыть квадратный корень — 98,1.
4Метод по шагам
Нарисуйте трубу и пронумеруйте два сечения: 1 — где вы знаете больше всего, 2 — где находится неизвестное.
Переведите единицы: mm в m, kPa в Pa, L/s в m³/s.
Найдите площади A = π·d²/4 и с помощью неразрывности получите недостающую скорость.
Запишите уравнение Бернулли между сечениями 1 и 2. Для горизонтальной трубы z1 = z2, поэтому члены с высотой сокращаются.
Решите относительно неизвестной величины, затем при необходимости переведите обратно в kPa.
Сохраняйте согласованные единицы. При ρ в kg/m³ и v в m/s член ½ρv² получается в Pa, а не в kPa.
5Разобранный пример
Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.
Разобранный пример
Вода (ρ = 1000 kg/m³) течёт по горизонтальной трубе, которая сужается со 100 mm до 50 mm. В широком сечении давление равно 200 kPa, а скорость 1,5 m/s. Без учёта потерь найдите давление в узком сечении.
1
Нарисуйте трубу
Сечение 1 — широкая часть, где всё известно. Сечение 2 — узкая часть.
2
Скорость в узкой части
Диаметр уменьшается вдвое, поэтому скорость растёт в (100/50)² = 4 раза:
v2 = 1,5 · (100 / 50)² = 6 m/s
3
Запишите уравнение Бернулли
Труба горизонтальна, поэтому члены с высотой сокращаются:
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²)
4
Подставьте значения, в паскалях
½ · 1000 · (1,5² − 6²) = 500 · (2,25 − 36) = −16 875 Pa
p2 = 200 000 − 16 875 = 183 125 Pa ≈ 183,1 kPa
5
Проверьте ответ
В узкой части вода быстрее, поэтому её давление должно быть ниже. 183,1 kPa ниже, чем 200 kPa, как и ожидалось.
Расход равен Q = 0,007854 · 1,5 = 11,8 L/s в обоих сечениях.
Ответ
p2 ≈ 183,1 kPa в узком сечении (v2 = 6 m/s).
6Типичные ошибки
Использовать отношение диаметров вместо отношения площадей: скорости меняются пропорционально квадрату диаметра.
Подставлять радиус как диаметр в A = π·d²/4 или забывать про /4.
Смешивать kPa и Pa. В уравнении Бернулли работайте в Pa, а в конце переведите.
Записывать m³/s как L/s. Чтобы получить L/s, умножьте m³/s на 1000.
Забывать член высоты ρ·g·Δz, когда труба поднимается или опускается.
Самопроверка Вода течёт со скоростью 2 m/s по трубе с внутренним диаметром 100 mm. Каков объёмный расход?
0,0157 L/s
15,7 L/s
20 L/s
62,8 L/s
Ответ: 15,7 L/s. A = π · 0,1²/4 = 0,007854 m², поэтому Q = 0,007854 · 2 = 0,0157 m³/s = 15,7 L/s. Если забыть /4, получится 62,8, а если забыть π/4 — 20.
7Как выглядят экзаменационные задачи
Лёгкая: неразрывность. Найдите расход, массовый расход, скорость в более узком сечении или диаметр трубы для заданного расхода. В некоторых вопросах используется закон Торричелли для опорожняющегося резервуара.
Средняя: горизонтальный переходник. Найдите давление в одном сечении по другому. Варианты используют расходомер Вентури, трубку Пито (v = √(2Δp/ρ)) или отверстие с коэффициентом расхода.
Сложная: поднимающаяся труба. Важен член высоты: каждый метр подъёма снижает давление на ρ·g·1 = 9,81 kPa для воды. Варианты включают сифон, резервуар под давлением и фонтан.
В приведённом выше примере подъём на 5 m между сечениями снизил бы p2 ещё на 1000 · 9,81 · 5 = 49 050 Pa, до 134,1 kPa.
Вода течёт по трубе, диаметр которой сужается с 100 mm до 50 mm. Скорость в широкой части 2,75 m/s. Найдите скорость v2 в узкой части.
d1 = 100 mmd2 = 50 mmv1 = 2,75 m/s
Найти: v2(m/s)
Показать подсказки
Каждую секунду через каждое сечение проходит один и тот же объём воды: Q = A·v.
A₁v₁ = A₂v₂, а площадь пропорциональна d², поэтому v₂ = v₁·(d₁/d₂)².
A1 = 0,007854 m².
Показать ответ и пошаговое решение
Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.
Неразрывность
Расход одинаков в обоих сечениях.
A1v1 = A2v2
v2 = v1·(d1/d2)² = 2,75·(100/50)² = 11 m/s
Ответ
v2 = 11 m/s
Пример 2Средняя
Вода течёт по горизонтальной трубе, которая сужается с 150 mm до 50 mm. В широкой части давление 250 kPa, а скорость 0,5 m/s. Пренебрегая потерями, найдите давление p2 в узкой части.
Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.
Неразрывность и Бернулли
Считайте в Pa, затем разделите на 1000, чтобы получить kPa.
В закрытом резервуаре над водой находится сжатый воздух с избыточным давлением 190 kPa. Вода вытекает в атмосферу через отверстие диаметром 25 mm, расположенное на 4 m ниже поверхности воды. Пренебрегая потерями, найдите расход Q. Примите g = 9,81 m/s².
Уравнение Бернулли от поверхности воды (избыточное давление p, покой) до струи (атмосферное давление).
p/ρ + gh = ½v², поэтому v = √(2(p/ρ + gh)), где p в Pa.
p/ρ + gh = 229,2 m²/s².
Показать ответ и пошаговое решение
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Закройте большим пальцем конец садового шланга, и вода польётся быстрее. То же количество воды должно пройти через меньшее отверстие, поэтому ей приходится двигаться быстрее.
Это и есть неразрывность: в заполненной трубе вода не может накапливаться или исчезать. Сколько воды втекает за секунду, столько и вытекает.
Неразрывность и Бернулли: как решать задачи шаг за шагом?
Неразрывность и Бернулли: для несжимаемой жидкости расход одинаков в каждом сечении, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Вдоль линии тока без потерь p + ½ρv² + ρgz постоянно, поэтому там, где жидкость быстрее или выше, давление ниже.
Неразрывность и Бернулли: какие ошибки самые частые?
Давление воздуха тоже выталкивает воду: учтите p/ρ в уравнении Бернулли.
Высота столба воды тоже увеличивает скорость: v = √(2(p/ρ + gh)).
Неразрывность и Бернулли: что вы тренируете?
Лёгкая: неразрывность
Средняя: горизонтальное сужение
Сложная: восходящая труба
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Как проходят занятия
В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.