Уравнение состояния идеального газа: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: уравнение Менделеева — Клапейрона · идеальный газ · газовые законы

Бесплатные задачи по теме Уравнение состояния идеального газа с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: P по n, V, T, по массе, изменение состояния или плотность.

Бесплатная задачаЛёгкая
n = 1,5 molV = 20 LT = 35 °CP = ?

Жёсткий резервуар содержит идеальный газ. Найдите его давление P.

n = 1,5 molV = 20 LT = 35 °CR = 8,314 J/(mol·K)
kPa
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Уравнение состояния идеального газаЗанимайтесь сейчас: Уравнение состояния идеального газаБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. ЛёгкаяP по n, V, T
  2. Средняяпо массе
  3. Сложнаяизменение состояния или плотность

Основные формулы

Уравнение состояния идеального газа
pV = nRT
Газовая постоянная
R = 8,314 J/(mol·K)
Объединённый газовый закон
p1V1/T1 = p2V2/T2
Моли
n = m/M
Температура
T[K] = T[°C] + 273,15

Изучите тему «Уравнение состояния идеального газа» с нуля

1Что такое уравнение состояния идеального газа

Газ — это огромное число молекул, летающих и ударяющихся о стенки сосуда. Эти удары давят на стенки: давление на квадратный метр — это давление.

Если сжать газ в меньший объём, молекулы чаще ударяются о стенки: давление растёт. Если нагреть его, они движутся быстрее: давление тоже растёт.

Для большинства газов при обычных давлениях всё это связывает одно уравнение:

P · V = n · R · T
  • P: давление в Pa (1 kPa = 1000 Pa).
  • V: объём в m³ (1 L = 0,001 m³).
  • n: количество газа в mol.
  • T: абсолютная температура в кельвинах.
  • R = 8,314 J/(mol·K), газовая постоянная.
Самопроверка Какую температуру нужно подставить в PV = nRT для газа при 20 °C?
  1. 20 K
  2. 20 °C
  3. 293,15 K
  4. −253,15 K

Ответ: 293,15 K. Закон газа требует абсолютной температуры: T = 20 + 273,15 = 293,15 K. При 0 °C у газа всё ещё есть давление, поэтому шкала, начинающаяся с 0 °C, не подходит.

2Единицы, согласованные с R

R = 8,314 J/(mol·K) работает с единицами СИ. Джоуль — это Pa·m³, поэтому подставляйте P в Pa, а V в m³. Тогда всё сходится.

  • Температура: T[K] = T[°C] + 273,15.
  • Объём: 1 L = 0,001 m³, поэтому 20 L = 0,020 m³.
  • Давление: результат получается в Pa. Разделите на 1000, чтобы получить kPa.
  • Масса: если известна масса m в граммах, найдите моли по формуле n = m/M, где M — молярная масса в g/mol (N₂: 28,01, CO₂: 44,01).

Полезный приём: при V в литрах n·R·T/V даёт P сразу в kPa, потому что множитель 1000 для литров и множитель 1000 для kPa сокращаются.

Самопроверка Чему равны 5 L в кубических метрах?
  1. 0,005 m³
  2. 0,05 m³
  3. 0,5 m³
  4. 5000 m³

Ответ: 0,005 m³. В одном кубическом метре 1000 литров, поэтому 5 L = 5/1000 = 0,005 m³.

3Изменение состояния газа

Если фиксированное количество газа переходит из одного состояния в другое, n и R остаются прежними. Значит, PV/T остаётся постоянным:

P₁V₁T₁P₂V₂T₂
P1·V1 / T1 = P2·V2 / T2

Это объединённый газовый закон. Подойдут любые единицы давления и объёма, если они одинаковы в обеих частях. Температуры по-прежнему должны быть в кельвинах.

Плотность газа тоже следует из n = m/M:

ρ = P · M / (R · T)

Если P в kPa, а M в g/mol, то ρ получается в kg/m³.

4Метод по шагам

  1. Выпишите данные и неизвестную величину.
  2. Переведите температуру в кельвины.
  3. Если дана масса, найдите число молей: n = m/M.
  4. Переведите объём в m³ (или оставьте литры и воспользуйтесь приёмом с kPa).
  5. Выразите неизвестную из PV = nRT и подставьте числа.
  6. Для изменения состояния вместо этого используйте P1V1/T1 = P2V2/T2.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

В жёстком баллоне объёмом 20 L находится 88 g CO₂ (M = 44,01 g/mol) при 25 °C. Считая газ идеальным, найдите давление P.

1

Запишите данные

m = 88 gV = 20 LT = 25 °CP = ?

Известны масса, объём и температура. Сначала переведите массу в моли.

2

Моли

n = m/M = 88/44,01 = 2,000 mol
3

Переведите единицы

T = 25 + 273,15 = 298,15 K
V = 20 L = 0,020 m³
4

Уравнение состояния идеального газа

P = nRT/V = 2,000 · 8,314 · 298,15 / 0,020 ≈ 247 800 Pa

Это примерно 247,8 kPa.

5

Проверьте ответ

Один моль газа при 25 °C и 1 atm (101,3 kPa) занимает около 24,5 L. Здесь 2 mol сжаты в 20 L, то есть места на моль примерно в 2,5 раза меньше, значит давление около 2,5 atm. 247,8 kPa подходит.

Ответ

P ≈ 247,8 kPa.

6Типичные ошибки

  • Использование °C вместо кельвинов. Это самая частая ошибка, она может сделать ответ во много раз меньше или больше.
  • Подстановка литров в формулу с R = 8,314 в расчёте на получение Pa.
  • Забыли перевести граммы в моли.
  • Перевёрнутое отношение давлений в объединённом газовом законе.
Самопроверка Газ при 100 kPa, 10 L и 27 °C переходит в состояние 200 kPa и 327 °C. Каков новый объём?
  1. 10,0 L
  2. 40,0 L
  3. 5,0 L
  4. 60,6 L

Ответ: 10,0 L. В кельвинах: V₂ = 10 · (100/200) · (600,15/300,15) = 10,0 L. Если взять °C, получится 10 · 0,5 · 327/27 = 60,6 L. Если не учесть температуру, получится 5 L, а перевёрнутое отношение давлений даёт 40 L.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: найдите P по n, V и T в жёстком баллоне.
  • Средняя: количество вещества задано массой. Сначала найдите n = m/M, затем P или V, как в примере.
  • Сложная: изменение состояния (найдите V2 по объединённому газовому закону) или плотность газа.

Пример с плотностью: N₂ (M = 28,01 g/mol) при 200 kPa и 27 °C имеет ρ = 200 · 28,01/(8,314 · 300,15) = 2,24 kg/m³.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
n = 5 molV = 15 LT = 30 °CP = ?

Жёсткий резервуар содержит идеальный газ. Найдите его давление P.

n = 5 molV = 15 LT = 30 °CR = 8,314 J/(mol·K)

Найти: P (kPa)

Показать подсказки
  1. Используйте PV = nRT с абсолютной температурой (K).
  2. Единицы: при V в m³ и R = 8,314 давление P получается в Pa. 1 L = 0,001 m³.
  3. T = 303,1 K.
Показать ответ и пошаговое решение

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, с абсолютной температурой (K) и единицами, согласованными с R.

Переведите единицы

T = 30 + 273,15 = 303,1 K
V = 15 L = 0,015 m³

Уравнение состояния идеального газа

P = nRT/V = 5·8,314·303,1/0,015 = 840130 Pa = 840,1 kPa

Ответ

P = 840,1 kPa
Пример 2Средняя
500 g (O₂)V = 10 LT = 50 °CP = ?

Резервуар объёмом 10 L содержит 500 g газа (O₂) при 50 °C. Считайте газ идеальным и найдите давление P.

m = 500 gM = 32 g/molV = 10 LT = 50 °CR = 8,314 J/(mol·K)

Найти: P (kPa)

Показать подсказки
  1. Сначала переведите массу в моли: n = m/M.
  2. Затем PV = nRT с T в K.
  3. n = 15,63 mol.
Показать ответ и пошаговое решение

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, где n = m/M.

Моли

n = m/M = 500/32 = 15,63 mol
T = 50 + 273,15 = 323,1 K

Давление

P = nRT/V = 15,63·8,314·323,1/0,01 = 4198 kPa

Ответ

P = 4198 kPa
Пример 3Сложная
He, M = 4,003 g/molP = 850 kPaT = 70 °Cρ = ?

Найдите плотность ρ газа (He) при 850 kPa и 70 °C, считая его идеальным.

M = 4,003 g/molP = 850 kPaT = 70 °CR = 8,314 J/(mol·K)

Найти: ρ (kg/m³)

Показать подсказки
  1. Подставьте n = m/M в PV = nRT и выразите m/V.
  2. ρ = PM/(RT). При P в kPa и M в g/mol плотность ρ получается в kg/m³.
  3. T = 343,1 K.
Показать ответ и пошаговое решение

Плотность идеального газа: ρ = PM/(RT).

Преобразуйте газовый закон

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 70 + 273,15 = 343,1 K

Плотность

ρ = 850·4,003/(8,314·343,1) = 1,193 kg/m³

Ответ

ρ = 1,193 kg/m³

Вопросы и ответы

Уравнение состояния идеального газа: что это?

Газ — это огромное число молекул, летающих и ударяющихся о стенки сосуда. Эти удары давят на стенки: давление на квадратный метр — это давление.

Если сжать газ в меньший объём, молекулы чаще ударяются о стенки: давление растёт. Если нагреть его, они движутся быстрее: давление тоже растёт.

Уравнение состояния идеального газа: как решать задачи шаг за шагом?

Уравнение состояния идеального газа: PV = nRT, с абсолютной температурой (K) и единицами, согласованными с R.

Уравнение состояния идеального газа: что вы тренируете?
  • Лёгкая: P по n, V, T
  • Средняя: по массе
  • Сложная: изменение состояния или плотность

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Далее

Газовые циклы

Калькуляторы

Калькулятор уравнения состояния идеального газаКалькулятор объединённого газового закона (Бойль, Шарль и Гей-Люссак)

Курсы с этой темой

Термодинамика 1Физика для инженеровМатериальные и энергетические балансыОбщая химияПодготовка к экзамену FE Chemical

Другие темы: Химическая технология

Материальный балансЭнергетический балансХимическая кинетикаРасчёт реакторов (CSTR и PFR)Теплообменники (LMTD)

Лист заданий для печати

Уравнение состояния идеального газа: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Уравнение состояния идеального газаЗанимайтесь сейчас: Уравнение состояния идеального газаБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.