Материальный баланс: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Материальный баланс с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: смешение двух потоков, смешение до заданного состава, выпарной аппарат.

Бесплатная задачаЛёгкая
СмесительПоток 1450 kg/h · 25% сольПоток 2700 kg/h · 15% сольПоток 3ṁ₃ = ? kg/h

Два раствора (соль) смешиваются в установившемся режиме. Найдите расход на выходе ṁ3.

ṁ1 = 450 kg/hx1 = 25 %ṁ2 = 700 kg/hx2 = 15 %
kg/h
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Материальный балансЗанимайтесь сейчас: Материальный балансБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаясмешение двух потоков
  2. Средняясмешение до заданного состава
  3. Сложнаявыпарной аппарат

Основные формулы

Установившийся режим
вход = выход
Общий баланс
ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
Баланс компонента
ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
Выпарной аппарат
F·xF = P·xP, W = F − P

Изучите тему «Материальный баланс» с нуля

1Что такое баланс масс

Масса не может появиться или исчезнуть. Всё, что втекает в аппарат (смеситель, ёмкость, испаритель), должно вытечь обратно или остаться внутри.

Многие аппараты работают в стационарном режиме: потоки не меняются со временем, и внутри ничего не накапливается. Тогда правило простое:

вход = выход

Представьте ванну с открытым краном и вынутой пробкой. Если уровень воды не меняется, то воды вытекает за минуту столько же, сколько втекает.

Потоки записываются как массовые расходы ṁ, например в kg/h. Читайте ṁ как «m с точкой»: точка означает «в единицу времени».

Самопроверка В смеситель в стационарном режиме поступает 300 kg/h и 200 kg/h. Сколько выходит из него?
  1. 100 kg/h
  2. 250 kg/h
  3. 500 kg/h
  4. 600 kg/h

Ответ: 500 kg/h. В стационарном режиме ничего не накапливается, поэтому выход = вход = 300 + 200 = 500 kg/h. 250 kg/h — это среднее, которое здесь не имеет смысла.

2Общий и покомпонентный балансы

Поток часто представляет собой смесь, например соль, растворённую в воде. Массовая доля x — это доля одного компонента: 20% соли означает 0,20 kg соли в каждом kg раствора.

Масса этого компонента в потоке равна ṁ·x. Без химической реакции каждый компонент тоже подчиняется правилу вход = выход. Поэтому можно записать два баланса:

ṁ1 + ṁ2 = ṁ3
ṁ1·x1 + ṁ2·x2 = ṁ3·x3

Первый — общий баланс, второй — покомпонентный баланс (здесь по соли). Два независимых уравнения позволяют найти две неизвестные.

Пример: 300 kg/h с 10% соли смешиваются с 200 kg/h с 20% соли. Соль на входе: 30 + 40 = 70 kg/h. Общий выход: 500 kg/h. Значит, x3 = 70/500 = 14%.

Самопроверка Смешайте 300 kg/h 10%-го раствора соли с 200 kg/h 20%-го раствора соли. Какова доля соли в смеси?
  1. 14%
  2. 15%
  3. 30%
  4. 7%

Ответ: 14%. Соль на входе = 300·0,10 + 200·0,20 = 70 kg/h, и 70/500 = 14%. Простое среднее долей, 15%, не учитывает, что поток с 10% больше.

3Испаритель: связующий компонент

Испаритель выпаривает воду из раствора, чтобы сделать его более концентрированным. Пар W — чистая вода, поэтому всё растворённое вещество уходит с продуктом P.

F1000 kg/h · 10%P40%W0%

Растворённое вещество проходит без изменений, только из F в P. Такой компонент называется связующим компонентом: его баланс напрямую связывает два потока.

F·xF = P·xP, W = F − P

На рисунке: P = 1000 · 0,10/0,40 = 250 kg/h, а W = 1000 − 250 = 750 kg/h воды выкипает.

Самопроверка В испаритель поступает 1000 kg/h 10%-го раствора сахара, а получается 40%-й продукт. Сколько воды испаряется?
  1. 250 kg/h
  2. 300 kg/h
  3. 4000 kg/h
  4. 750 kg/h

Ответ: 750 kg/h. Баланс по сахару: P = 1000·0,10/0,40 = 250 kg/h. Тогда W = 1000 − 250 = 750 kg/h. 250 kg/h — это продукт, а не удалённая вода.

4Метод по шагам

  1. Нарисуйте прямоугольник для аппарата, а каждый поток — стрелкой. Запишите рядом каждый известный расход и долю.
  2. Отметьте неизвестные. Сосчитайте их: вам нужно столько же независимых балансов.
  3. Запишите общий баланс: сумма потоков на входе = сумма потоков на выходе.
  4. Запишите покомпонентный баланс по растворённому веществу: сумма ṁ·x на входе = сумма ṁ·x на выходе. Используйте доли в виде десятичных дробей (20% = 0,20) или в процентах в обеих частях.
  5. Решите. Если есть связующий компонент, начните с него.
  6. Проверьте: подставьте числа обратно в оба баланса.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Поток 1 — 400 kg/h 10%-го раствора соли. Сколько потока 2 (40% соли) нужно добавлять каждый час, чтобы смешанный продукт содержал 20% соли? Найдите ṁ2.

1

Нарисуйте аппарат

ṁ₁ = 400 kg/h10%ṁ₂ = ?40%ṁ₃20%

Есть две неизвестные, ṁ2 и ṁ3, поэтому нужны два баланса.

2

Общий баланс

ṁ3 = 400 + ṁ2
3

Баланс по соли

400 · 0,10 + ṁ2 · 0,40 = (400 + ṁ2) · 0,20
40 + 0,40·ṁ2 = 80 + 0,20·ṁ2
4

Решите

0,20·ṁ2 = 40 ⇒ ṁ2 = 200 kg/h

Тогда ṁ3 = 400 + 200 = 600 kg/h.

5

Проверьте ответ

Соль на входе: 40 + 200 · 0,40 = 120 kg/h. Соль на выходе: 600 · 0,20 = 120 kg/h. Оба баланса выполняются.

Целевые 20% лежат между 10% и 40%, как и должно быть для смеси.

Ответ

Добавьте ṁ2 = 200 kg/h 40%-го раствора.

6Типичные ошибки

  • Усреднение долей вместо взвешивания их по расходу.
  • Запись только общего баланса, а затем угадывание второй неизвестной.
  • Смешение процентов и десятичных дробей в одном уравнении.
  • В испарителе — указание продукта P, когда спрашивается испарённая вода W, или наоборот.
  • Перевёрнутое отношение для связующего компонента: P = F·xF/xP, поэтому P меньше F.
Самопроверка Смешайте 100 kg/h 10%-го раствора с 300 kg/h 30%-го раствора. Какова доля на выходе?
  1. 20%
  2. 25%
  3. 33,3%
  4. 40%

Ответ: 25%. Растворённое вещество на выходе = 100·0,10 + 300·0,30 = 100 kg/h, и 100/400 = 25%. Простое среднее 10% и 30% равно 20%, что не учитывает, что поток с 30% втрое больше.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: смешиваются два потока. Найдите расход на выходе (общий баланс) или его долю (покомпонентный баланс).
  • Средняя: смешение до целевой доли. Найдите расход второго потока по обоим балансам, как в примере.
  • Сложная: испаритель. Используйте растворённое вещество как связующий компонент, чтобы найти P, затем W = F − P.

Приём для смешения: ṁ2 = ṁ1·(x1 − x3)/(x3 − x2). В примере: 400·(10 − 20)/(20 − 40) = 200 kg/h.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
СмесительПоток 1300 kg/h · 30% сольПоток 2250 kg/h · 40% сольПоток 3x₃ = ? %

Два раствора (соль) смешиваются в установившемся режиме. Найдите массовую долю компонента (соль) на выходе x3.

ṁ1 = 300 kg/hx1 = 30 %ṁ2 = 250 kg/hx2 = 40 %

Найти: x3 (%)

Показать подсказки
  1. В установившемся режиме что входит, то и выходит: запишите общий баланс и баланс растворённого компонента.
  2. Общий: ṁ₁ + ṁ₂ = ṁ₃. Компонент: ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃.
  3. ṁ3 = 550 kg/h.
Показать ответ и пошаговое решение

Материальный баланс в установившемся режиме: вход = выход, для общей массы и отдельно для каждого компонента (без реакции).

Общий баланс

ṁ3 = ṁ1 + ṁ2 = 300 + 250 = 550 kg/h

Баланс: Соль

ṁ1x1 + ṁ2x2 = ṁ3x3
x3 = (300·30 + 250·40)/550 = 34,55 %

Ответ

x3 = 34,55 %
Пример 2Средняя
СмесительПоток 1850 kg/h · 50% сахарПоток 2ṁ₂ = ? · 15% сахарПродукт40% сахар

Сколько потока 2 нужно каждый час добавлять к потоку 1, чтобы смесь содержала 40% компонента (сахар)? Найдите ṁ2.

ṁ1 = 850 kg/hx1 = 50 %x2 = 15 %x3 = 40 %

Найти: ṁ2 (kg/h)

Показать подсказки
  1. Два неизвестных (ṁ₂ и ṁ₃) требуют двух балансов: общего и по компоненту.
  2. Подставьте ṁ₃ = ṁ₁ + ṁ₂ в ṁ₁x₁ + ṁ₂x₂ = ṁ₃x₃.
  3. После преобразования: ṁ₂ = ṁ₁(x₁ − x₃)/(x₃ − x₂).
Показать ответ и пошаговое решение

Материальный баланс в установившемся режиме: вход = выход для общей массы и для каждого компонента. Задачи на смешение объединяют оба.

Балансы

Total: ṁ3 = ṁ1 + ṁ2
сахар: ṁ1x1 + ṁ2x2 = (ṁ1 + ṁ2)x3

Выразите ṁ2

ṁ2 = ṁ1(x1 − x3)/(x3 − x2) = 850·(50 − 40)/(40 − 15) = 340 kg/h

Ответ

ṁ2 = 340 kg/h
Пример 3Сложная
Выпарной аппаратПитание F2000 kg/h · 10% NaOHПродукт P65% NaOHПар W (чистая вода)W = ? kg/h

Выпарной аппарат концентрирует раствор (NaOH), выпаривая чистую воду. Найдите количество выпаренной воды W в kg/h.

F = 2000 kg/hxF = 10 %xP = 65 %

Найти: W (kg/h)

Показать подсказки
  1. Пар не содержит растворённого вещества, поэтому всё растворённое вещество из питания уходит с продуктом.
  2. Баланс растворённого вещества: F·xF = P·xP. Затем общий баланс: F = W + P.
  3. P = 307,7 kg/h.
Показать ответ и пошаговое решение

Ключевой компонент: компонент, который без изменений проходит только в одном потоке (здесь растворённое вещество), напрямую связывает расходы. Остальное даёт общий баланс.

Баланс растворённого вещества

F·xF = P·xP → P = 2000·10/65 = 307,7 kg/h

Общий баланс

W = F − P = 2000 − 307,7 = 1692 kg/h

Ответ

W = 1692 kg/h

Вопросы и ответы

Материальный баланс: что это?

Масса не может появиться или исчезнуть. Всё, что втекает в аппарат (смеситель, ёмкость, испаритель), должно вытечь обратно или остаться внутри.

Многие аппараты работают в стационарном режиме: потоки не меняются со временем, и внутри ничего не накапливается. Тогда правило простое:

Материальный баланс: как решать задачи шаг за шагом?

Материальный баланс в установившемся режиме: вход = выход, для общей массы и отдельно для каждого компонента (без реакции).

Материальный баланс: что вы тренируете?
  • Лёгкая: смешение двух потоков
  • Средняя: смешение до заданного состава
  • Сложная: выпарной аппарат

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Далее

Энергетический баланс

Курсы с этой темой

Материальные и энергетические балансыХимические реакторыПодготовка к экзамену FE Chemical

Другие темы: Химическая технология

Энергетический балансУравнение состояния идеального газаХимическая кинетикаРасчёт реакторов (CSTR и PFR)Теплообменники (LMTD)

Лист заданий для печати

Материальный баланс: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Материальный балансЗанимайтесь сейчас: Материальный балансБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.