Теплообменники (LMTD): задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Теплообменники (LMTD) с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: LMTD, требуемая площадь, полный расчёт.

Бесплатная задачаЛёгкая
длинаT115 °C100 °C100 °C15 °CΔT₁ΔT₂противоток

В противоточном теплообменнике горячий теплоноситель охлаждается с 115 до 100 °C, а холодный нагревается с 15 до 100 °C. Найдите среднелогарифмическую разность температур ΔTlm.

Th: 115 → 100 °CTc: 15 → 100 °C
K
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Теплообменники (LMTD)Занимайтесь сейчас: Теплообменники (LMTD)Бесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. ЛёгкаяLMTD
  2. Средняятребуемая площадь
  3. Сложнаяполный расчёт

Основные формулы

Тепловая нагрузка
Q = U·A·ΔTlm
Среднелогарифмический температурный напор
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоков
Q = ṁcp(Tin − Tout)

Изучите тему «Теплообменники (LMTD)» с нуля

Перед этим: Энергетический баланс

1Что делает теплообменник

Теплообменник передаёт тепло от горячей жидкости к холодной через металлическую стенку, например через трубу с горячим маслом внутри и охлаждающей водой снаружи.

Сколько тепла он способен передать, зависит от трёх вещей: насколько хорошо стенка проводит тепло, какая площадь стенки и какова разность температур между жидкостями.

Q = U · A · ΔTlm
  • Q: тепловая мощность в W.
  • U: общий коэффициент теплопередачи в W/(m²·K). Чем больше U, тем лучше теплообменник.
  • A: площадь теплопередачи в m².
  • ΔTlm: среднелогарифмическая разность температур — правильная «средняя» разность температур.

Потоки могут течь в одном направлении (прямоток) или в противоположных (противоток).

hc⇉hc⇄

На рисунке слева показан прямоточный теплообменник, а справа — противоточный. Противоток сохраняет большую разность температур по всей длине, поэтому при той же площади передаёт больше тепла.

2Почему среднелогарифмическая

Разность температур между жидкостями не везде одинакова. Вдоль теплообменника горячая жидкость остывает, а холодная нагревается, поэтому разность меняется от одного конца к другому.

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Назовём разности на двух концах ΔT1 и ΔT2. Разность меняется не по прямой, поэтому простое среднее не подходит. Правильное среднее — среднелогарифмическое:

ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2) / ln(ΔT1 / ΔT2)

Какие температуры стоят друг против друга на каждом конце, зависит от схемы:

  • Противоток: ΔT1 = Th,in − Tc,out и ΔT2 = Th,out − Tc,in.
  • Прямоток: ΔT1 = Th,in − Tc,in и ΔT2 = Th,out − Tc,out.

Среднелогарифмическое всегда немного меньше среднего арифметического. Если ΔT1 = ΔT2, то ΔTlm просто равно этому значению.

Самопроверка Противоток: горячая жидкость идёт от 100 до 60 °C, холодная — от 20 до 50 °C. Каковы разности на концах?
  1. 40 K и 30 K
  2. 50 K и 10 K
  3. 50 K и 40 K
  4. 80 K и 10 K

Ответ: 50 K и 40 K. При противотоке вход горячей жидкости стоит против выхода холодной (100 − 50 = 50 K), а выход горячей — против входа холодной (60 − 20 = 40 K). 80 K и 10 K — это пары для прямотока.

3Метод по шагам

  1. Запишите четыре температуры и проверьте, противоток это или прямоток.
  2. Если не хватает температуры на выходе, сначала найдите её из энергетического баланса: Q = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = ṁccp,c(Tc,out − Tc,in).
  3. Найдите разности на концах ΔT1 и ΔT2 с правильным сочетанием температур.
  4. Вычислите ΔTlm с натуральным логарифмом.
  5. Для площади: A = Q/(U·ΔTlm). Подставляйте Q в W (kW × 1000), если U в W/(m²·K).
Самопроверка Разности на концах равны ΔT₁ = 40 K и ΔT₂ = 20 K. Чему равна ΔTlm?
  1. 13,86 K
  2. 20 K
  3. 28,85 K
  4. 30 K

Ответ: 28,85 K. ΔTlm = (40 − 20)/ln(40/20) = 20/0,693 = 28,85 K. Среднее арифметическое, 30 K, близко, но завышено.

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Противоточный теплообменник передаёт 100 kW. Горячая жидкость остывает от 120 до 60 °C, а холодная нагревается от 20 до 50 °C. Общий коэффициент теплопередачи равен 500 W/(m²·K). Найдите площадь теплопередачи A.

1

Нарисуйте температуры

Tx120 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂

Противоток, поэтому вход горячей жидкости (120 °C) стоит против выхода холодной (50 °C).

2

Разности на концах

ΔT1 = 120 − 50 = 70 K
ΔT2 = 60 − 20 = 40 K
3

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (70 − 40) / ln(70/40) = 30 / 0,5596 = 53,61 K
4

Площадь

Q = 100 kW = 100 000 W.

A = Q / (U · ΔTlm) = 100 000 / (500 · 53,61) = 3,73 m²
5

Проверьте ответ

ΔTlm = 53,61 K лежит между 40 и 70 K и чуть ниже их среднего 55 K, как и должно быть.

При прямотоке разности на концах были бы 100 K и 10 K, что даёт ΔTlm = 39,09 K и A = 5,12 m². Противотоку нужна меньшая площадь.

Ответ

A ≈ 3,73 m² (ΔTlm = 53,61 K).

5Типичные ошибки

  • Сочетание температур для прямотока в противоточном теплообменнике или наоборот.
  • Использование среднего арифметического вместо среднелогарифмического.
  • Использование изменения температуры одного потока (например, 120 − 60) как ΔT1. ΔT — это всегда горячая минус холодная на одном и том же конце.
  • Оставили Q в kW, а U в W/(m²·K). Площадь получается в 1000 раз меньше.
  • Использование log₁₀ вместо ln.
Самопроверка Q = 50 kW, U = 500 W/(m²·K) и ΔTlm = 25 K. Какая площадь нужна?
  1. 0,004 m²
  2. 0,25 m²
  3. 4 m²
  4. 4000 m²

Ответ: 4 m². A = 50 000/(500 · 25) = 4 m². Если оставить Q в kW, получится 0,004 m², в 1000 раз меньше. 0,25 m² получается, если перевернуть дробь.

6Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: найдите ΔTlm для противоточного теплообменника по четырём температурам.
  • Средняя: найдите площадь A по заданной мощности и U, при противотоке или прямотоке, как в примере.
  • Сложная: полный расчёт. Температура воды на выходе не задана: найдите Q по горячему потоку, температуру воды на выходе из энергетического баланса, затем ΔTlm и A.

В некоторых вопросах используется конденсатор: горячая сторона конденсируется при одной постоянной температуре. Тогда обе разности на концах используют эту температуру, и противоток или прямоток дают одинаковую ΔTlm.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
длинаT100 °C80 °C85 °C30 °CΔT₁ΔT₂противоток

В противоточном теплообменнике горячий теплоноситель охлаждается с 100 до 80 °C, а холодный нагревается с 30 до 85 °C. Найдите среднелогарифмическую разность температур ΔTlm.

Th: 100 → 80 °CTc: 30 → 85 °C

Найти: ΔTlm (K)

Показать подсказки
  1. Найдите разность температур между потоками на каждом конце теплообменника.
  2. При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.
  3. ΔT₁ = 15 K, ΔT₂ = 50 K.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Разности температур на концах

При противотоке горячий вход напротив холодного выхода, а горячий выход — напротив холодного входа.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 85 = 15 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 30 = 50 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (15 − 50)/ln(15/50) = 29,07 K

Ответ

ΔTlm = 29,07 K
Пример 2Средняя
длинаT165 °C115 °C10 °C80 °CΔT₁ΔT₂прямоток

Прямоточный теплообменник передаёт 60 kW. Горячий теплоноситель охлаждается с 165 до 115 °C, а холодный нагревается с 10 до 80 °C. Коэффициент теплопередачи 500 W/(m²·K). Найдите необходимую площадь теплообмена A.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 115 °CTc: 10 → 80 °C

Найти: A (m²)

Показать подсказки
  1. Используйте Q̇ = U·A·ΔTlm и выразите A.
  2. При прямотоке оба входа на одном конце, а оба выхода — на другом.
  3. ΔTlm = 80,64 K.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Разности температур на концах

При прямотоке оба входа на одном конце, а оба выхода — на другом.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 10 = 155 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 115 − 80 = 35 K

Среднелогарифмическая разность температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (155 − 35)/ln(155/35) = 80,64 K

Площадь

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(500·80,64) = 1,488 m²

Ответ

A = 1,488 m²
Пример 3Сложная
длинаT105 °C10 °C?ΔT₁ΔT₂конденсирующийся пар

Пар конденсируется при постоянной температуре 105 °C на наружной поверхности труб конденсатора с площадью поверхности теплопередачи 3 m² и U = 1500 W/(m²·K). Охлаждающая вода (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входит в трубы при 10 °C. Найдите температуру воды на выходе Tc,out.

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °C

Найти: Tc,out (°C)

Показать подсказки
  1. Температура на выходе неизвестна, поэтому LMTD нельзя вычислить напрямую. Объедините Q̇ = ṁcp(Tc,out − Tc,in) с Q̇ = U·A·ΔTlm.
  2. Отсюда ln((Ts − Tc,in)/(Ts − Tc,out)) = U·A/(ṁ·cp).
  3. U·A/(ṁ·cp) = 1,077.
Показать ответ и пошаговое решение

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Объединяем энергетический баланс и уравнение теплопередачи

При ΔT₁ = Ts − Tc,in и ΔT₂ = Ts − Tc,out разность ΔT₁ − ΔT₂ равна повышению температуры воды, поэтому это повышение сокращается.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·3/(1·4180) = 1,077

Температура на выходе

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,077 = 95·0,3408 = 32,37 K
Tc,out = 105 − 32,37 = 72,63 °C

Ответ

Tc,out = 72,63 °C

Переданная теплота: Q̇ = 261,8 kW.

Вопросы и ответы

Теплообменники (LMTD): что это?

Теплообменник передаёт тепло от горячей жидкости к холодной через металлическую стенку, например через трубу с горячим маслом внутри и охлаждающей водой снаружи.

Сколько тепла он способен передать, зависит от трёх вещей: насколько хорошо стенка проводит тепло, какая площадь стенки и какова разность температур между жидкостями.

Теплообменники (LMTD): как решать задачи шаг за шагом?

Метод LMTD: разность температур между потоками меняется вдоль теплообменника, поэтому уравнение теплопередачи использует её среднелогарифмическое значение: Q̇ = U·A·ΔTlm, где ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ и ΔT₂ — разности на двух концах. При тех же температурах на входе и выходе противоток даёт больший ΔTlm, чем прямоток.

Теплообменники (LMTD): какие ошибки самые частые?
  • Разность температур убывает по экспоненте: T<sub>s</sub> − T<sub>c,out</sub> = (T<sub>s</sub> − T<sub>c,in</sub>)·e−UA/(ṁc<sub>p</sub>).
Теплообменники (LMTD): что вы тренируете?
  • Лёгкая: LMTD
  • Средняя: требуемая площадь
  • Сложная: полный расчёт

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Энергетический баланс

Калькуляторы

Калькулятор LMTD (среднелогарифмический температурный напор)

Курсы с этой темой

ТепломассообменПодготовка к экзамену FE Chemical

Другие темы: Химическая технология

Материальный балансЭнергетический балансУравнение состояния идеального газаХимическая кинетикаРасчёт реакторов (CSTR и PFR)

Лист заданий для печати

Теплообменники (LMTD): лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Теплообменники (LMTD)Занимайтесь сейчас: Теплообменники (LMTD)Бесплатных задач каждый день: 5. Без карты.