Поперечная сила и изгибающий момент: задачи с пошаговыми решениями

Другие названия: эпюры поперечных сил и изгибающих моментов · эпюры Q и M · построение эпюр

Бесплатные задачи по теме Поперечная сила и изгибающий момент с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: сосредоточенная сила, распределённая нагрузка на весь пролёт, сосредоточенная сила + распределённая нагрузка.

Бесплатная задачаЛёгкая
P = 60 kNAB2,5 m2,5 m

Шарнирно опёртая балка нагружена одной сосредоточенной силой P. Найдите поперечную силу Vx сразу справа от силы. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 60 kN в 2,5 m
kN
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Поперечная сила и изгибающий моментЗанимайтесь сейчас: Поперечная сила и изгибающий моментБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаясосредоточенная сила
  2. Средняяраспределённая нагрузка на весь пролёт
  3. Сложнаясосредоточенная сила + распределённая нагрузка

Как решать задачи по теме «Поперечная сила и изгибающий момент»

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Типичные ошибки

  • Учитывают нагрузки с обеих сторон сечения.
  • Используют неверное правило знаков для положительных и отрицательных изгибающих моментов.
  • Указывают поперечную силу, когда спрашивают изгибающий момент.

Основные формулы

Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8

Изучите тему «Поперечная сила и изгибающий момент» с нуля

Перед этим: Опорные реакции балок

1Что происходит внутри балки

В уроке о реакциях вы находили внешние силы, действующие на балку. Теперь заглянем внутрь: что должен выдерживать материал в одной точке балки?

Представьте, что вы распилили балку пополам в какой-то точке. Каждая половина упадёт. Чтобы удержать её на месте, другая половина должна поддерживать её двумя внутренними усилиями:

  • поперечная сила V, которая не даёт одной стороне сдвинуться вверх или вниз относительно другой (в kN);
  • изгибающий момент M, который не даёт одной стороне повернуться относительно другой (в kN·m).
PAB2 m2 m2 m

Балка, изгибающаяся «улыбкой» с растянутым низом, — прогибающаяся вниз (положительный изгиб). Балка, изгибающаяся «дугой вниз», как балкон, — выгибающаяся вверх (отрицательный изгиб).

Инженерам нужен M, потому что изгибающее напряжение в балке растёт вместе с ним, и V, потому что балку нельзя срезать вблизи опор.

Самопроверка Свободно опёртая балка несёт нагрузку, направленную вниз. Какая сторона балки растянута?
  1. Верхняя: балка выгибается вверх
  2. Ни одна, балка только укорачивается
  3. Нижняя: балка прогибается вниз
  4. Обе стороны одинаково

Ответ: Нижняя: балка прогибается вниз. Балка на двух опорах изгибается «улыбкой» под нагрузкой, направленной вниз. Нижние волокна удлиняются (растяжение), верхние укорачиваются (сжатие).

2Метод сечений

Чтобы найти V и M на расстоянии x от A, рассеките балку в этом месте и оставьте только часть слева от сечения. Эта часть находится в равновесии сама по себе.

RA​VMAx

Обычные правила знаков: направленная вверх сила на левой части даёт положительную поперечную силу, а изгиб «улыбкой» даёт положительный момент. Отсюда два коротких рецепта:

  • Поперечная сила: V = RA минус все направленные вниз нагрузки слева от сечения.
  • Изгибающий момент: M = RA·x минус, для каждой нагрузки слева от сечения, произведение нагрузки на её расстояние до сечения.

Часть равномерно распределённой нагрузки слева от сечения действует как одна сила w·ℓ в своей середине, как в уроке о реакциях.

Можно оставить и правую часть. Вы получите те же V и M, что полезно для проверки.

Самопроверка RA = 10 kN. Первая нагрузка находится в 5 m от A. Каков изгибающий момент при x = 3 m?
  1. 10 kN·m
  2. 13 kN·m
  3. 3,3 kN·m
  4. 30 kN·m

Ответ: 30 kN·m. Слева от сечения нагрузок нет, поэтому M = RA·x = 10·3 = 30 kN·m. 10 kN — это там поперечная сила, а не момент.

3Эпюры и максимальный момент

Если вычислить V и M при каждом x, получатся эпюра поперечных сил и эпюра изгибающих моментов. Их форма подчиняется простым правилам:

  • Между сосредоточенными силами V постоянна, а M — прямая линия.
  • Под равномерно распределённой нагрузкой V убывает по прямой, а M — кривая (парабола).
  • Сосредоточенная сила вызывает скачок V на величину этой силы.
  • M максимален там, где V меняет знак, проходя через ноль.

Два результата встречаются так часто, что их стоит запомнить:

  • Сосредоточенная сила P посередине пролёта: Mmax = P·L / 4
  • Равномерно распределённая нагрузка w на всём пролёте: Mmax = w·L² / 8
Самопроверка Свободно опёртая балка пролётом 6 m несёт равномерно распределённую нагрузку 4 kN/m на всём пролёте. Каков наибольший изгибающий момент?
  1. 12 kN·m
  2. 144 kN·m
  3. 18 kN·m
  4. 36 kN·m

Ответ: 18 kN·m. Mmax = wL²/8 = 4·36/8 = 18 kN·m в середине пролёта. 36 получается при делении на 4 (правило для сосредоточенной силы); 12 kN — это реакция wL/2.

4Метод по шагам

  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в сечении x и оставьте левую часть.
  3. Поперечная сила: V = RA минус все направленные вниз нагрузки на левой части.
  4. Изгибающий момент: M = RA·x минус каждая нагрузка на левой части, умноженная на её расстояние до сечения.
  5. Для максимального момента найдите, где V = 0, и вычислите M там.

Нарисуйте левую часть отдельным небольшим эскизом. Так сразу видно, какие нагрузки учитывать.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Свободно опёртая балка пролётом 6 m несёт равномерно распределённую нагрузку 4 kN/m по всей длине. Найдите поперечную силу V и изгибающий момент M при x = 2 m от A.

1

Посмотрите на балку

w = 4 kN/mABRA​RB​2 m4 m
2

Опорные реакции

Полная нагрузка равна 4 · 6 = 24 kN и приложена посередине. По симметрии каждая опора несёт половину:

RA = RB = 12 kN
3

Оставьте левую часть

w = 4 kN/m12 kNVMA2 m

Равномерно распределённая нагрузка на левой части равна 4 · 2 = 8 kN. Она действует в своей середине, в 1 m от сечения.

4

Поперечная сила

V = 12 − 8 = 4 kN
5

Изгибающий момент

M = 12 · 2 − 8 · 1 = 16 kN·m

Он положителен, значит, балка здесь прогибается вниз.

6

Проверьте ответ

Используйте вместо этого правую часть: её длина 4 m, на ней RB = 12 kN и равномерно распределённая нагрузка 16 kN на расстоянии 2 m от сечения.

M = 12 · 4 − 16 · 2 = 16 kN·m

Полная эпюра — парабола с вершиной wL²/8 = 18 kN·m в середине пролёта. 16 kN·m при x = 2 m согласуется с этим.

1618 kN·mMx = 2x = 3
Ответ

V = 4 kN и M = 16 kN·m (прогиб вниз).

6Типичные ошибки

  • Учитывать нагрузки по обе стороны от сечения. Используйте только оставленную часть.
  • Отсчитывать плечо от A, а не от сечения. В M каждое расстояние отсчитывается от нагрузки до сечения.
  • Отвечать V, когда спрашивают M, или наоборот. Проверьте единицу измерения: kN или kN·m.
  • Брать всю равномерно распределённую нагрузку, а не только часть слева от сечения.
  • Путать правила знаков. При обычных правилах свободно опёртая балка под нагрузками, направленными вниз, имеет положительные моменты (изгиб «улыбкой») на всём протяжении.
Самопроверка Свободно опёртая балка длиной 4 m несёт 20 kN посередине пролёта, поэтому RA = 10 kN. Каков M при x = 1 m?
  1. 0 kN·m
  2. 10 kN
  3. 10 kN·m
  4. 20 kN·m

Ответ: 10 kN·m. Слева от сечения остаётся только RA: M = 10·1 = 10 kN·m. 0 получается при ошибочном вычитании нагрузки, которая находится справа от сечения. 20 kN·m — это PL/4, максимум в середине пролёта. 10 kN — это поперечная сила.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: одна сосредоточенная сила. Найдите M под силой или V рядом с ней. В некоторых вариантах используется консоль, где M наибольший в заделке.
  • Средняя: равномерно распределённая нагрузка на всём пролёте, как в примере. Найдите V или M при заданном x либо максимальный момент.
  • Сложная: сосредоточенная сила и равномерно распределённая нагрузка вместе или частичная равномерная нагрузка. Найдите M в сечении или максимальный момент там, где V = 0.

В некоторых вариантах балка имеет консольный свес за опорой. Свес выгибается вверх, поэтому M там отрицателен.

Всегда начинайте с реакций и подписывайте их на эскизе.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

40 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
Показать подсказки
  1. Пики изгибающего момента находятся там, где поперечная сила меняет знак, у жёсткой заделки или над опорой рядом с консольным свесом.
  2. Сначала найдите опорные реакции: R1 = 33,33 kN.
  3. Сравните моменты в возможных отметках; наибольший по величине равен 66,67 kN·m.
Показать ответ и объяснение

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R1 = 33,33 kN, R2 = 6,667 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

MA = 0, MB = 66,67 kN·m, MC = 53,33, MD = 40, ME = 26,67, MF = 13,33, MG = 0

Ответ

Отметка B: MB = 66,67 kN·m
Пример 2Средняя
w = 5 kN/mABсечение0,5 m5,5 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 5 kN/m от 0 до 6 mx = 0,5 m

Найти: Mx (kN·m)

Показать подсказки
  1. Сначала найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Затем рассеките балку в x = 0,5 m и рассмотрите только часть левее сечения. Сложите моменты этих сил относительно сечения.
  3. RA = 15 kN.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 5·6·3
RB = 90/6 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 15RB​ = 15сечение0,5 m5,5 m

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 15·0,5 − 5·0,5·0,25 = 6,875 kN·m

Ответ

Mx = 6,875 kN·m
Пример 3Сложная
w = 6 kN/mP = 45 kNABсечение1,5 m3,5 m1 m

Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 45 kN в 1,5 mw = 6 kN/m от 0 до 6 mx = 5 m

Найти: Mx (kN·m)

Показать подсказки
  1. Сначала найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Затем рассеките балку в x = 5 m и рассмотрите только часть левее сечения. Сложите моменты этих сил относительно сечения.
  3. RA = 51,75 kN.
Показать ответ и пошаговое решение

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, приложена в x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·1,5 + 6·6·3
RB = 175,5/6 = 29,25 kN
ΣFy = 0: RA = 81 − 29,25 = 51,75 kN
w = 6 kN/mP = 45 kNABRA​ = 51,75RB​ = 29,25сечение1,5 m3,5 m1 m

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 51,75·5 − 45·(5 − 1,5) − 6·5·2,5 = 26,25 kN·m

Ответ

Mx = 26,25 kN·m

Вопросы и ответы

Поперечная сила и изгибающий момент: что это?

В уроке о реакциях вы находили внешние силы, действующие на балку. Теперь заглянем внутрь: что должен выдерживать материал в одной точке балки?

Представьте, что вы распилили балку пополам в какой-то точке. Каждая половина упадёт. Чтобы удержать её на месте, другая половина должна поддерживать её двумя внутренними усилиями:

Поперечная сила и изгибающий момент: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
  2. Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
  3. Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
  4. Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.
Поперечная сила и изгибающий момент: какие ошибки самые частые?
  • Учитывают нагрузки с обеих сторон сечения.
  • Используют неверное правило знаков для положительных и отрицательных изгибающих моментов.
  • Указывают поперечную силу, когда спрашивают изгибающий момент.
Поперечная сила и изгибающий момент: что вы тренируете?
  • Лёгкая: сосредоточенная сила
  • Средняя: распределённая нагрузка на весь пролёт
  • Сложная: сосредоточенная сила + распределённая нагрузка

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Опорные реакции балок

Далее

Прогиб балки

Калькуляторы

Калькулятор эпюр поперечной силы и изгибающего моментаКалькулятор изгибного напряжения (σ = My/I)

Курсы с этой темой

СтатикаСопротивление материаловСтроительная механикаПодготовка к экзамену FE MechanicalПодготовка к экзамену FE Civil

Другие темы: Строительство

Ферма: метод вырезания узловПрогиб балкиЦентр тяжести и момент инерцииУстойчивость колоннЭффективное напряжение в грунтеКонсолидационная осадкаГидростатическое давлениеТечение в открытых руслах (Маннинг)

Лист заданий для печати

Поперечная сила и изгибающий момент: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Поперечная сила и изгибающий моментЗанимайтесь сейчас: Поперечная сила и изгибающий моментБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.