Течение в открытых руслах (Маннинг): задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Течение в открытых руслах (Маннинг) с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: скорость в канале, расход, требуемый уклон.

Бесплатная задачаЛёгкая
b = 1 my = 0,8 mn = 0,014

Вода равномерно течёт с глубиной 0,8 m в прямоугольном канале (необработанный бетон) шириной 1 m (коэффициент Маннинга n = 0,014). Уклон дна S = 0,0008. По формуле Маннинга в единицах SI найдите среднюю скорость V.

b = 1 my = 0,8 mn = 0,014S = 0,0008
m/s
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Течение в открытых руслах (Маннинг)Занимайтесь сейчас: Течение в открытых руслах (Маннинг)Бесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяскорость в канале
  2. Средняярасход
  3. Сложнаятребуемый уклон

Основные формулы

Формула Маннинга
V = (1/n)·R2/3·S1/2
Расход
Q = A·V
Гидравлический радиус
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямоугольник
A = b·y, P = b + 2y
Трапеция (заложение откосов z:1)
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Круглая труба, полное или половинное заполнение
R = D/4
Требуемый уклон
S = (n·Q/(A·R2/3))²

Изучите тему «Течение в открытых руслах (Маннинг)» с нуля

1Что такое течение в открытом русле

Вода в реке, канале, дренажной канаве или не заполненной полностью канализационной трубе течёт со свободной поверхностью, открытой воздуху. Это течение в открытом русле.

Воду ничто не качает. Сила тяжести тянет её вниз по уклону дна, а трение о дно и стенки её удерживает.

Когда эти две силы уравновешены, глубина и скорость вдоль русла остаются неизменными. Это называется равномерным течением, и именно его описывает уравнение Маннинга.

Инженеры используют его, чтобы ответить на три вопроса: как быстро течёт вода, сколько воды способно пропустить русло и какой уклон ему нужен?

Самопроверка Какие два эффекта уравновешивают друг друга в равномерном течении в открытом русле?
  1. Вес воды и её плавучесть
  2. Давление воздуха и давление воды
  3. Давление насоса и трение
  4. Сила тяжести вдоль уклона и трение о дно и стенки

Ответ: Сила тяжести вдоль уклона и трение о дно и стенки. Уклон дна позволяет силе тяжести двигать воду, а шероховатая граница её замедляет. Когда они уравновешены, глубина и скорость перестают меняться.

2Гидравлический радиус и смоченный периметр

Трение действует только там, где вода касается русла. Эта граница, измеренная вокруг поперечного сечения, — смоченный периметр P. Свободная поверхность соприкасается с воздухом, поэтому не учитывается.

byA = b·yP = b + 2y

Жирная линия на рисунке — это P. Закрашенная часть — площадь потока A. Их отношение — гидравлический радиус:

R = A / P
  • Прямоугольник шириной b и глубиной y: A = b·y и P = b + 2y.
  • Трапеция с откосами z:1 (z по горизонтали на 1 по вертикали): A = (b + z·y)·y и P = b + 2y·√(1 + z²).
  • Круглая труба, текущая полностью или наполовину заполненная: R = D/4.

Большой R означает много воды при малой границе, то есть меньше трения на литр и более быстрое течение.

Самопроверка Прямоугольное русло имеет ширину 4 m, а глубина воды в нём 1 m. Чему равен гидравлический радиус R?
  1. 0,5 m
  2. 0,667 m
  3. 1 m
  4. 4 m

Ответ: 0,667 m. A = 4 · 1 = 4 m² и P = 4 + 2 · 1 = 6 m, поэтому R = 4/6 = 0,667 m. Если включить свободную поверхность в P (P = 8 m), получится 0,5 m, а 1 m — это глубина, а не R.

3Формула Маннинга

В единицах СИ средняя скорость равномерного течения равна:

V = (1/n) · R2/3 · S1/2
  • n — коэффициент шероховатости Маннинга. Гладкий отделанный бетон — около 0,012, кирпичная кладка — 0,015, чистый грунт — 0,022, грунт с травой — 0,03. Чем грубее поверхность, тем больше n и медленнее вода.
  • R — гидравлический радиус в m.
  • S — уклон дна в m/m, безразмерное число. Падение 1,5 m на километр — это S = 1,5/1000 = 0,0015.

Расход (дебит) — это скорость, умноженная на площадь потока:

Q = A · V

Чтобы найти нужный каналу уклон, объедините обе формулы и решите относительно S:

S = (n · Q / (A · R2/3))²
Самопроверка Дно русла опускается на 2 m на 1 km. Какой уклон S нужно взять в уравнении Маннинга?
  1. 0,0002
  2. 0,002
  3. 0,02
  4. 2

Ответ: 0,002. S = перепад/длина = 2 m / 1000 m = 0,002. У уклона нет единицы, поэтому метры должны сократиться.

4Метод по шагам

  1. Нарисуйте поперечное сечение и запишите b, y, z (если трапециевидное), n и S.
  2. Найдите площадь потока A.
  3. Найдите смоченный периметр P: дно плюс смоченные стороны, но никогда не свободная поверхность.
  4. Гидравлический радиус: R = A/P.
  5. Маннинг: V = (1/n)·R2/3·S1/2.
  6. Если требуется расход: Q = A·V. Если требуется уклон, используйте S = (n·Q/(A·R2/3))².

На калькуляторе R2/3 вводится как R^(2/3) со скобками. Вычислите R2/3 и √S по отдельности, прежде чем перемножать.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Вода течёт равномерно на глубине 1 m в прямоугольном кирпичном русле шириной 3 m (n Маннинга = 0,015). Уклон дна S = 0,001. Найдите среднюю скорость V и расход Q.

1

Посмотрите на сечение

b = 3 my = 1 mn = 0,015S = 0,001

Это прямоугольник, поэтому A = b·y и P = b + 2y.

2

Площадь и смоченный периметр

A = 3 · 1 = 3 m²
P = 3 + 2 · 1 = 5 m
3

Гидравлический радиус

R = A/P = 3/5 = 0,6 m

Тогда R2/3 = 0,62/3 = 0,7114.

4

Формула Маннинга

√S = √0,001 = 0,03162.

V = (1/0,015) · 0,7114 · 0,03162 = 1,50 m/s
5

Расход

Q = A · V = 3 · 1,50 = 4,50 m³/s
6

Проверьте ответ

Облицованные русла обычно работают при 1–3 m/s, так что 1,50 m/s разумно. Более шероховатая земляная облицовка (n = 0,022) дала бы меньшую скорость при том же уклоне.

Ответ

V = 1,50 m/s и Q = 4,50 m³/s.

6Типичные ошибки

  • Использование глубины y вместо гидравлического радиуса R.
  • Учёт свободной поверхности в смоченном периметре.
  • Для трапеции — принять каждую боковую сторону равной y. Смоченная сторона равна y·√(1 + z²).
  • Использование S вместо √S или забытое возведение в квадрат в конце при решении относительно S.
  • Использование уклона в m/km как будто он в m/m.
  • Указана V, когда спрашивается Q: умножьте на площадь.
Самопроверка Прямоугольное русло: b = 4 m, y = 1 m, n = 0,02, S = 0,0016. Чему равна средняя скорость V?
  1. 0,061 m/s
  2. 1,26 m/s
  3. 1,53 m/s
  4. 2,00 m/s

Ответ: 1,53 m/s. R = 4/6 = 0,667 m, поэтому V = (1/0,02) · 0,667^(2/3) · 0,04 = 1,53 m/s. Если взять глубину как R, получится 2,00 m/s, а если включить свободную поверхность в P, получится 1,26 m/s.

7Как выглядят экзаменационные задачи

  • Лёгкая: скорость в прямоугольном русле. Иногда уклон задан как перепад на километр.
  • Средняя: расход Q в прямоугольном или трапециевидном русле либо в трубе, текущей полностью или наполовину заполненной (R = D/4).
  • Сложная: уклон дна, нужный каналу для пропуска заданного Q, или уклон канализационной трубы для заданной скорости.

Пример с трапецией: b = 2 m, y = 1 m, откосы 2:1, n = 0,022, S = 0,001. A = (2 + 2·1)·1 = 4 m² и P = 2 + 2·1·√5 = 6,47 m, поэтому R = 0,618 m.

V = (1/0,022) · 0,6182/3 · √0,001 = 1,04 m/s, Q = 4 · 1,04 = 4,17 m³/s

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
b = 2,5 my = 1 mn = 0,022

Вода равномерно течёт с глубиной 1 m в прямоугольном канале (чистый грунт) шириной 2,5 m (коэффициент Маннинга n = 0,022). Дно понижается на 4 m на километр. По формуле Маннинга в единицах SI найдите среднюю скорость V.

b = 2,5 my = 1 mn = 0,022понижение = 4 m/km

Найти: V (m/s)

Показать подсказки
  1. Найдите гидравлический радиус R = A/P для смоченного сечения.
  2. Уклон — это понижение, делённое на длину: S = 4/1000.
  3. R = 0,5556 m.
Показать ответ и пошаговое решение

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Гидравлический радиус

A = b·y = 2,5·1 = 2,5 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1 = 4,5 m
R = A/P = 0,5556 m

Угловой коэффициент

S = 4/1000 = 0,004

Формула Маннинга

V = (1/n)·R2/3·S1/2 = (1/0,022)·0,55562/3·0,0041/2 = 1,943 m/s

Ответ

V = 1,943 m/s
Пример 2Средняя
D = 300 mmn = 0,013, S = 0,0005

Бетонный ливневый коллектор с внутренним диаметром 300 mm заполнен ровно полностью (течёт как открытое русло, не под напором). Коэффициент Маннинга n = 0,013, уклон S = 0,0005. Найдите расход Q в m³/s.

D = 300 mmn = 0,013S = 0,0005

Найти: Q (m³/s)

Показать подсказки
  1. Полное заполнение: A = π·D²/4 и P = π·D.
  2. В обоих случаях R = A/P = D/4 = 0,075 m.
  3. Найдите V по формуле Маннинга, затем Q = A·V.
Показать ответ и пошаговое решение

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = 0,07069 m², R = D/4 = 0,075 m

Скорость

V = (1/0,013)·0,0752/3·0,00051/2 = 0,3059 m/s

Расход

Q = A·V = 0,07069·0,3059 = 0,02162 m³/s

Ответ

Q = 0,02162 m³/s
Пример 3Сложная
b = 2,5 my = 1,8 mn = 0,03, Q = 2,7 m³/s

Прямоугольный канал (грунт, покрытый травой) шириной 2,5 m должен пропускать 2,7 m³/s при равномерном течении с глубиной 1,8 m. Коэффициент Маннинга n = 0,03. Найдите требуемый уклон дна S (в m/m).

Q = 2,7 m³/sb = 2,5 my = 1,8 mn = 0,03

Найти: S (m/m)

Показать подсказки
  1. Объедините Q = A·V с формулой Маннинга: Q = (1/n)·A·R2/3·S1/2.
  2. A = 4,5 m², R = 0,7377 m.
  3. Выразите S: S = (n·Q/(A·R2/3))².
Показать ответ и пошаговое решение

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Геометрия

A = b·y = 2,5·1,8 = 4,5 m²
P = b + 2y = 2,5 + 2·1,8 = 6,1 m
R = A/P = 0,7377 m

Выразите S из формулы Маннинга

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0,03·2,7/(4,5·0,8164) = 0,02205
S = 0,02205² = 0,0004861

Ответ

S = 0,0004861

Это понижение на 0,4861 m на километр.

Вопросы и ответы

Течение в открытых руслах (Маннинг): что это?

Вода в реке, канале, дренажной канаве или не заполненной полностью канализационной трубе течёт со свободной поверхностью, открытой воздуху. Это течение в открытом русле.

Воду ничто не качает. Сила тяжести тянет её вниз по уклону дна, а трение о дно и стенки её удерживает.

Течение в открытых руслах (Маннинг): как решать задачи шаг за шагом?

Формула Маннинга (SI): при равномерном течении в открытом русле V = (1/n)·R2/3·S1/2 и Q = A·V, где n — коэффициент шероховатости, S — уклон дна (m/m), R = A/P — гидравлический радиус: площадь живого сечения, делённая на смоченный периметр. В P входит только граница, соприкасающаяся с водой, а не свободная поверхность. Прямоугольник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеция с заложением откосов z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). У круглой трубы, заполненной полностью или наполовину, R = D/4.

Течение в открытых руслах (Маннинг): какие ошибки самые частые?
  • Используйте гидравлический радиус R = A/P, а не глубину. Глубина — хорошее приближение только для очень широких каналов.
  • Свободная поверхность не входит в смоченный периметр: P = b + 2y.
  • Уклон безразмерен: 4 m на 1000 m дают S = 0,004.
Течение в открытых руслах (Маннинг): что вы тренируете?
  • Лёгкая: скорость в канале
  • Средняя: расход
  • Сложная: требуемый уклон

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Калькуляторы

Калькулятор по формуле Маннинга

Курсы с этой темой

Гидравлика и гидротехникаПодготовка к экзамену FE Civil

Другие темы: Строительство

Поперечная сила и изгибающий моментФерма: метод вырезания узловПрогиб балкиЦентр тяжести и момент инерцииУстойчивость колоннЭффективное напряжение в грунтеКонсолидационная осадкаГидростатическое давление

Лист заданий для печати

Течение в открытых руслах (Маннинг): лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Течение в открытых руслах (Маннинг)Занимайтесь сейчас: Течение в открытых руслах (Маннинг)Бесплатных задач каждый день: 5. Без карты.