Импульс и столкновения: задачи с пошаговыми решениями

Q: Импульс и столкновения: что вы тренируете?

Лёгкая: абсолютно неупругий удар Средняя: упругий удар Сложная: импульс силы и сила В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Другие названия: закон сохранения импульса · упругий удар · неупругий удар

Бесплатные задачи по теме Импульс и столкновения с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: абсолютно неупругий удар, упругий удар, импульс силы и сила.

Бесплатная задачаЛёгкая

Свободно подвешенная винтовка массой 4,5 kg выстреливает пулю массой 12 g со скоростью 750 m/s. Обе вначале покоятся. Найдите скорость отдачи V винтовки.

M = 4,5 kgm = 12 gv = 750 m/s

Следующая задача →

Занимайтесь бесплатно: Импульс и столкновения Занимайтесь сейчас: Импульс и столкновенияБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

Лёгкаяабсолютно неупругий удар
Средняяупругий удар
Сложнаяимпульс силы и сила

Как решать задачи по теме «Импульс и столкновения»

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Типичные ошибки

Забывают знак минус у скорости, направленной в противоположную сторону.
Усредняют скорости, а не взвешивают их по массам.
Считают, что при неупругом ударе кинетическая энергия сохраняется.

Основные формулы

Импульс: p = m·v
Сохранение: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Абсолютно неупругий удар: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Импульс силы: J = F·Δt = m·Δv

Изучите тему «Импульс и столкновения» с нуля

Перед этим: Законы Ньютона

1Что такое импульс

Грузовик со скоростью 10 km/h остановить труднее, чем велосипед с той же скоростью. Пуля крошечная, но её очень трудно остановить, потому что она так быстра. Импульс объединяет оба фактора: массу и скорость.

p = m · v

Импульс p измеряется в kg·m/s. У него есть направление, совпадающее с направлением скорости. Выберите положительное направление: тело, движущееся в другую сторону, имеет отрицательную скорость и отрицательный импульс.

Импульс важен, потому что он сохраняется при столкновениях и взрывах. Общий импульс до равен общему импульсу после, что бы ни происходило во время удара.

Самопроверка Чему равен импульс мяча массой 2 kg, движущегося со скоростью 3 m/s?

1,5 kg·m/s
18 kg·m/s
6 kg·m/s
9 kg·m/s

Ответ: 6 kg·m/s. p = m·v = 2 · 3 = 6 kg·m/s. 9 — это ½·m·v², кинетическая энергия в джоулях, другая величина.

2Закон сохранения импульса

Когда сталкиваются два тела, они давят друг на друга равными и противоположными силами (третий закон Ньютона) в течение одного и того же короткого времени. Сколько импульса приобретает одно, столько теряет другое.

Поэтому, если во время столкновения не действует внешняя сила, общий импульс остаётся прежним:

m₁·v₁ + m₂·v₂ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂

Штрих (′) обозначает скорость после столкновения. Трение о дорогу во время короткого удара мало, поэтому его можно не учитывать.

Столкновения бывают двух видов:

Абсолютно неупругое: тела слипаются и движутся с одной общей скоростью v′. Кинетическая энергия теряется на тепло, звук и вмятины.
Упругое: тела отскакивают друг от друга, и кинетическая энергия ½·m·v² тоже сохраняется.

Для абсолютно неупругого столкновения общая скорость находится сразу:

v′ = (m₁·v₁ + m₂·v₂) / (m₁ + m₂)

Взрыв или выстрел из оружия — та же идея наоборот: общий импульс до равен нулю, значит, и после равен нулю.

Самопроверка Тележка массой 2 kg со скоростью 6 m/s ударяет покоящуюся тележку массой 1 kg. Они сцепляются. Чему равна их общая скорость?

12 m/s
2 m/s
3 m/s
4 m/s

Ответ: 4 m/s. v′ = (2 · 6 + 1 · 0)/(2 + 1) = 12/3 = 4 m/s. Усреднение скоростей (3 m/s) не учитывает, что более тяжёлая тележка несёт больший импульс.

3Импульс силы

Сила, действующая в течение времени Δt, изменяет импульс тела. Произведение F·Δt называется импульсом силы J, в N·s (то же, что kg·m/s).

J = F · Δt = m · Δv = m · (v′ − v)

То же изменение импульса за большее время требует меньшей силы. Поэтому подушки безопасности и зоны деформации спасают жизни.

Для мяча, отскакивающего назад, скорость меняет знак. При положительном направлении падения мяч, ударяющийся о стену со скоростью 10 m/s и возвращающийся со скоростью 5 m/s, имеет Δv = −5 − 10 = −15 m/s.

4Метод по шагам

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до: m₁·v₁ + m₂·v₂.
Определите, что происходит после: одна общая скорость (слипаются), две скорости (отскакивают) или несколько частей (взрыв).
Приравняйте импульс до импульсу после и найдите неизвестное.
Если спрашивают об энергии, сравните ½·m·v² до и после.
Проверьте знак ответа: отрицательная скорость означает движение в отрицательном направлении.

5Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Автомобиль массой 1000 kg, движущийся со скоростью 20 m/s, лоб в лоб сталкивается с автомобилем массой 1500 kg, движущимся со скоростью 10 m/s в противоположном направлении. Автомобили сцепляются. Найдите их общую скорость v′ сразу после столкновения, считая положительным направление первого автомобиля.

Знаки

Примите направление первого автомобиля за положительное. Тогда v₁ = +20 m/s и v₂ = −10 m/s.

Импульс до удара

1000 · 20 + 1500 · (−10) = 20000 − 15000 = 5000 kg·m/s

Импульс после удара

Автомобили движутся как одно тело массой 2500 kg со скоростью v′.

p′ = 2500 · v′

Решите

2500 · v′ = 5000 ⇒ v′ = 2 m/s

Проверьте ответ

v′ положительна, поэтому обломки движутся в направлении первого автомобиля. Это согласуется: у первого автомобиля импульс был больше (20 000 против 15 000 kg·m/s). Кинетическая энергия падает с 275 000 J до 5000 J, как и ожидается, когда автомобили сцепляются.

Ответ

v′ = +2 m/s, в направлении, в котором двигался первый автомобиль.

6Типичные ошибки

Забывают знак минус у скорости, направленной в противоположную сторону.
Усреднять скорости вместо того, чтобы взвешивать их по массам.
Считать, что кинетическая энергия сохраняется, когда тела слипаются. Сохраняется только импульс.
При отскоке использовать разность скоростей вместо изменения скорости: мяч разворачивается, поэтому скорости складываются.
Путать граммы и килограммы для пули: 12 g — это 0,012 kg.

Самопроверка Мяч массой 0,2 kg ударяется о стену со скоростью 10 m/s и отскакивает прямо назад со скоростью 5 m/s. Контакт длится 0,01 s. Чему равна средняя сила, действующая со стороны стены?

100 N
200 N
3 N
300 N

Ответ: 300 N. Δv = −5 − 10 = −15 m/s, поэтому F = m·|Δv|/Δt = 0,2 · 15/0,01 = 300 N. Использование 10 − 5 = 5 m/s (100 N) не учитывает, что мяч разворачивается. 3 N — это импульс силы в N·s, не делённый на время.

7Как выглядят экзаменационные задачи

Лёгкая: абсолютно неупругие столкновения: два автомобиля, сцепившиеся вместе, тележка, ударяющая другую, или винтовка с отдачей.
Средняя: упругие столкновения глайдеров на дорожке, кинетическая энергия, теряемая при слипании тел, взрывы и пуля, выпущенная в подвешенный блок.
Сложная: импульс силы и сила: мяч, отскакивающий от стены, автомобили, сталкивающиеся на перекрёстке (импульс по двум направлениям), или обломки, скользящие до остановки.

Для упругого столкновения, когда второе тело покоится: v′₁ = (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂) · v₁ и v′₂ = 2m₁/(m₁ + m₂) · v₁.

Изучайте шаг за шагом в приложении Изучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая

Тележка массой 0,5 kg, движущаяся со скоростью 7,5 m/s, налетает на покоящуюся тележку массой 5 kg. После столкновения первая тележка продолжает движение в том же направлении со скоростью 0,5 m/s. Найдите скорость v′₂ второй тележки.

m₁ = 0,5 kgv₁ = 7,5 m/sm₂ = 5 kgv′₁ = 0,5 m/s

Найти: v′₂ (m/s)

Показать подсказки

Суммарный импульс до = суммарный импульс после.
m₁·v₁ = m₁·v′₁ + m₂·v′₂.
переданный импульс = 3,5 kg·m/s.

Показать ответ и пошаговое решение

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Баланс импульса

0,5·7,5 = 0,5·0,5 + 5·v′₂

v′₂ = 3,5/5 = 0,7 m/s

Ответ

v′₂ = 0,7 m/s

Пример 2Средняя

Автомобиль массой 1400 kg, движущийся со скоростью 10 m/s, налетает на стоящий автомобиль массой 1500 kg, и они сцепляются. Какая кинетическая энергия ΔK теряется при столкновении?

m₁ = 1400 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

Найти: ΔK (J)

Показать подсказки

Сначала найдите общую скорость из закона сохранения импульса.
Затем сравните ½·m·v² до и после.
v′ = 4,828 m/s.

Показать ответ и пошаговое решение

Общая скорость

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1400·10/2900 = 4,828 m/s

Кинетическая энергия до и после

K_before = ½·1400·10² = 70000 J

K_after = ½·2900·4,828² = 33793 J

Потерянная энергия

ΔK = 70000 − 33793 = 36207 J

Ответ

ΔK = 36207 J

Потерянная энергия идёт на деформацию, теплоту и звук.

Пример 3Сложная

Пуля массой 20 g, выпущенная горизонтально, попадает в брусок массой 5 kg, подвешенный на лёгких нитях длиной 0,7 m, и застревает в нём. Нити отклоняются на наибольший угол 25° от вертикали. Примите g = 9,81 m/s². Найдите скорость v пули до удара.

m = 20 gM = 5 kgL = 0,7 mθ = 25°g = 9,81 m/s²

Найти: v (m/s)

Показать подсказки

Высота подъёма: h = L·(1 − cos θ).
Отклонение: V = √(2gh). Удар: m·v = (m + M)·V.
h = 0,06558 m, V = 1,134 m/s.

Показать ответ и пошаговое решение

Подъём бруска

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 25°) = 0,06558 m

Скорость после удара

V = √(2·9,81·0,06558) = 1,134 m/s

Столкновение

v = (m + M)·V/m = 5,02·1,134/0,02 = 284,7 m/s

Ответ

v = 284,7 m/s

Вопросы и ответы

Импульс и столкновения: что это?

Импульс и столкновения: как решать задачи шаг за шагом?

Выберите положительное направление и припишите каждой скорости её знак.
Запишите полный импульс до удара: Σm·v.
При абсолютно неупругом ударе тела после него движутся вместе; при упругом сохраняется ещё и кинетическая энергия.
Приравняйте импульс до удара импульсу после и решите.

Импульс и столкновения: какие ошибки самые частые?

Забывают знак минус у скорости, направленной в противоположную сторону.
Усредняют скорости, а не взвешивают их по массам.
Считают, что при неупругом ударе кинетическая энергия сохраняется.

Импульс и столкновения: что вы тренируете?

Лёгкая: абсолютно неупругий удар
Средняя: упругий удар
Сложная: импульс силы и сила

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Законы Ньютона

Калькуляторы

Калькулятор соударений и импульса

Курсы с этой темой

Динамика Физика для инженеров Физика 1: Механика Задачи для подготовки к AP Physics 1

Другие темы: Физика

Кинематика Законы Ньютона Движение по окружности Пружины и маятники Закон Кулона и электрическое поле Магнитные поля и индукция Волны, звук и оптика

Лист заданий для печати

Импульс и столкновения: лист заданий с ответами