Движение по окружности: задачи с пошаговыми решениями

1Что такое движение по окружности

Автомобиль в повороте, камень на верёвке и спутник вокруг Земли — все они движутся по окружности. Даже при постоянной скорости их направление постоянно меняется.

Изменение направления — это изменение скорости, поэтому тело ускоряется. Это ускорение направлено к центру окружности. Оно называется центростремительным ускорением a_c.

Скорость всегда направлена по касательной, под прямым углом к радиусу. Если бы притяжение к центру вдруг исчезло, тело полетело бы по прямой вдоль касательной, а не наружу.

2Центростремительное ускорение и сила

Центростремительное ускорение зависит от скорости v (m/s) и радиуса r (m):

При удвоении скорости ускорение возрастает в четыре раза. Чем круче поворот (меньше r), тем больше ускорение.

По второму закону Ньютона что-то должно создавать направленную внутрь силу такой величины:

F_c — это не новая сила. Это результирующая сила, направленная внутрь и составленная из реальных сил: трения на плоском повороте, натяжения верёвки, тяготения для спутника или нормальной реакции на наклонной дороге.

Вращающиеся объекты часто описывают угловой скоростью ω в rad/s. Один оборот — это 2π rad, поэтому 60 rpm — это 2π rad/s.

3Метод по шагам

1. Переведите скорости в m/s, радиусы в m, а rpm в rad/s.
2. Изобразите тело в рассматриваемой точке и отметьте направление к центру.
3. Нарисуйте реальные силы: вес, нормальную реакцию, трение, натяжение.
4. Примите направление «к центру» за положительное и сложите проекции сил на это направление.
5. Приравняйте эту результирующую силу, направленную внутрь, к m·v²/r и решите уравнение.

На плоском повороте силу, направленную внутрь, создаёт одно только трение. Наибольшая скорость без заноса следует из μ·m·g = m·v²/r. Масса сокращается:

4Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

5Вертикальные окружности

В вертикальной окружности вес то направлен к центру, то от него. Рассматривайте верхнюю и нижнюю точки отдельно.

• В верхней точке натяжение (или нормальная реакция) и вес направлены вниз, к центру.
• В нижней точке натяжение направлено вверх, к центру, а вес — от центра. Верёвка должна удерживать вес и создавать центростремительную силу.

В верхней точке верёвка едва остаётся натянутой при T = 0. Тогда внутрь направлен один только вес: m·g = m·v²/r, откуда v_min = √(g·r).

Если известна скорость в одной точке, а нужна в другой, используйте энергию: подъём на 2r стоит 2·g·r величины v²/2 на каждый kg, поэтому v_top² = v_bottom² − 4·g·r.

6Типичные ошибки

• Изображать центростремительную силу как дополнительную силу рядом с трением или натяжением. Это сумма реальных сил.
• Забыть возвести скорость в квадрат в v²/r.
• Подставлять km/h или rpm напрямую. Сначала переведите их в m/s или rad/s.
• Неверно определить знак веса в вертикальной окружности: вверху он помогает, а внизу действует против верёвки.
• Считать, что на тело действует сила, направленная наружу. В системе отсчёта, связанной с землёй, такой силы нет.

7Как выглядят экзаменационные задачи

• Лёгкая: центростремительная сила. Найдите a_c или F_c для автомобиля на повороте, камня на верёвке или точки вращающегося диска.
• Средняя: трение на повороте и родственные случаи: наибольшая скорость на плоском повороте, наклонный поворот, выпуклый мост, конический маятник или аттракцион «ротор».
• Сложная: вертикальная окружность. Натяжение вверху или внизу, наименьшая скорость в верхней точке или «мёртвая петля» с сохранением энергии.

В каждом случае сначала спросите: какая реальная сила или какое сочетание сил направлено к центру?