Волны, звук и оптика: задачи с пошаговыми решениями

Бесплатные задачи по теме Волны, звук и оптика с рисунками, подсказками и подробными решениями. Каждый раз новые значения, трёх уровней: скорость волны, уровень звука и преломление, стоячие волны, линзы и эффект Доплера, интерференция, решётки, зеркала и волокна.

Бесплатная задачаЛёгкая
λ = ?

Свет с длиной волны 650 nm в вакууме входит в среду «вода» (n = 1,33). Найдите его длину волны λ внутри материала.

n = 1,33λ0 = 650 nm
nm
Следующая задача →
Занимайтесь бесплатно: Волны, звук и оптикаЗанимайтесь сейчас: Волны, звук и оптикаБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.

Что вы отрабатываете

  1. Лёгкаяскорость волны, уровень звука и преломление
  2. Средняястоячие волны, линзы и эффект Доплера
  3. Сложнаяинтерференция, решётки, зеркала и волокна

Как решать задачи по теме «Волны, звук и оптика»

  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.

Типичные ошибки

  • Отсчитывать углы от поверхности, а не от нормали.
  • Использовать 20·log для интенсивностей или складывать децибелы напрямую.
  • Ставить скорость источника в числитель формулы Доплера.
  • Отбрасывать правило знаков для рассеивающих линз и выпуклых зеркал.
  • Округлять наивысший порядок решётки до ближайшего целого вместо округления вниз.

Основные формулы

Скорость волны
v = fλ, T = 1/f
Струна
v = √(T/μ), μ = m/L
Уровень звука
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Точечный источник
I = P/(4πr²)
Стоячие волны
струна или труба, открытая с обоих концов, fn = n·v/(2L); закрытая труба fn = n·v/(4L), n нечётное
Эффект Доплера
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Показатель преломления
n = c/v, λ = λ0/n
Закон Снеллиуса
n1sin θ1 = n2sin θ2
Критический угол
sin θc = n2/n1
Оптическое волокно
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Линзы и зеркала
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Двойная щель
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Решётка
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Одиночная щель
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Изучите тему «Волны, звук и оптика» с нуля

Перед этим: Пружины и маятники

1Что такое волна

Волна переносит энергию с места на место, не перенося вещество: среда лишь колеблется. В струне или на воде движение поперечное (перпендикулярно направлению распространения); звук в воздухе продольный (вдоль него).

λAv = fλ

Длина волны λ — это длина одного полного цикла, период T — время одного цикла, а частота f = 1/T. За один период волна проходит одну длину волны, поэтому:

v = fλ струна: v = √(T/μ), μ = m/L

Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s, свет — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Скорость зависит от среды, а не от частоты.

Самопроверка Звук частотой 686 Hz распространяется со скоростью 343 m/s. Какова его длина волны?
  1. 0,002 m
  2. 0,5 m
  3. 2 m
  4. 235 000 m

Ответ: 0,5 m. λ = v/f = 343/686 = 0,5 m. Деление в обратную сторону даёт 2 m, а умножение даёт огромное число.

2Уровень звука и эффект Доплера

Наши уши реагируют на интенсивность I (W/m²) в логарифмическом масштабе, поэтому громкость выражают в децибелах:

β = 10·log₁₀(I/I₀) I₀ = 10⁻¹² W/m²

Десятикратная интенсивность добавляет 10 dB; два одинаковых источника добавляют около 3 dB. Малый источник распределяет свою мощность по сфере, I = P/(4πr²), поэтому удвоение расстояния снижает уровень примерно на 6 dB.

Когда источник и слушатель сближаются, тон повышается; когда удаляются — понижается (эффект Доплера):

f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)

Верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Скорость слушателя стоит в числителе, скорость источника — в знаменателе.

3Стоячие волны

Волны, отражённые от обоих концов струны, интерферируют в стоячую волну. У струны, закреплённой с обоих концов, на концах узлы, и в ней укладывается целое число полуволн:

n = 1n = 2n = 3
L = nλ/2 fₙ = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, …

Труба, открытая с обоих концов, подчиняется тому же правилу. У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность, поэтому укладываются только нечётные гармоники: fₙ = n·v/(4L), где n = 1, 3, 5, …

Самопроверка У трубы, закрытой с одного конца, основная частота 100 Hz. Какие из этих частот она может также издавать?
  1. 150 Hz
  2. 200 Hz
  3. 300 Hz
  4. 50 Hz

Ответ: 300 Hz. У закрытой трубы есть только нечётные гармоники: 100, 300, 500 Hz, … Для 200 Hz понадобилось бы n = 2, чего закрытая труба вместить не может.

4Преломление и линзы

Свет замедляется в стекле или воде в n = c/v раз (показатель преломления). На границе луч меняет направление (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали:

θ₁θ₂n₁n₂ > n₁
n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ предельный угол: sin θc = n₂/n₁

При переходе из более плотной среды в менее плотную за пределом θc весь свет отражается (полное внутреннее отражение). Так оптические волокна направляют свет.

FFd₀dᵢ

Тонкие линзы и изогнутые зеркала подчиняются одному уравнению, с увеличением m = −dᵢ/d₀:

1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ

Знаки: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала. Положительное dᵢ — действительное изображение, отрицательное dᵢ — мнимое; m < 0 означает перевёрнутое изображение.

5Интерференция и дифракция

Свет от двух узких щелей на расстоянии d друг от друга накладывается на экране на расстоянии L. Там, где разность хода d·sin θ равна целому числу длин волн, волны складываются: светлые полосы.

d·sin θ = mλ yₘ = mλL/d Δy = λL/d

У дифракционной решётки много щелей: N штрихов на mm означает d = 1/N mm. Её максимумы резкие и далеко отстоят друг от друга, а наивысший порядок — наибольшее целое m, для которого m ≤ d/λ. У одной щели шириной a тёмные полосы находятся при a·sin θ = mλ, поэтому её центральный максимум имеет ширину 2λL/a.

6Разобранный пример

Пройдите каждый шаг. Попробуйте предсказать следующий, прежде чем открыть его.

Разобранный пример

Предмет стоит в 30 cm перед собирающей линзой с f = 10 cm. Найдите расстояние до изображения и увеличение.

1

Формула линзы

1/dᵢ = 1/f − 1/d₀ = 1/10 − 1/30 = 2/30

Отсюда dᵢ = 15 cm.

2

Характер изображения

dᵢ положительно, значит, изображение действительное: оно образуется по другую сторону линзы, и его можно поймать на экране.

3

Увеличение

m = −dᵢ/d₀ = −15/30 = −0,5

Изображение перевёрнутое и вдвое меньше предмета.

4

Проверка по чертежу

Луч, параллельный оси, преломляется и проходит через F по другую сторону; луч через центр идёт прямо. Они пересекаются в 15 cm за линзой, ниже оси.

Ответ

dᵢ = 15 cm и m = −0,5: действительное, перевёрнутое изображение вдвое меньшего размера.

Самопроверка Предмет находится в 5 cm перед собирающей линзой с f = 10 cm. Какое изображение получится?
  1. Действительное и перевёрнутое, по другую сторону
  2. Действительное и прямое, с той же стороны
  3. Изображения нет: лучи выходят параллельно
  4. Мнимое и прямое, с той же стороны, что и предмет

Ответ: Мнимое и прямое, с той же стороны, что и предмет. 1/dᵢ = 1/10 − 1/5 = −1/10, значит, dᵢ = −10 cm: отрицательное расстояние до изображения означает мнимое изображение, а m = +2 — прямое и увеличенное. Так работает лупа.

7Типичные ошибки и экзаменационные вопросы

  • Отсчитывать углы от поверхности, а не от нормали.
  • Использовать 10·log для амплитуд или 20·log для интенсивностей: для интенсивностей используется 10·log.
  • Приписывать закрытой трубе чётные гармоники.
  • Терять знак минус у мнимого изображения или рассеивающей линзы.
  • Забывать перевести nm, mm и cm в метры в задачах на интерференцию.
  • Лёгкий: v = fλ, волны на струнах, уровни звука, закон Снеллиуса и скорость света в веществе.
  • Средний: стоячие волны на струнах и в трубах, критический угол, тонкие линзы, эффект Доплера и закон обратных квадратов.
  • Сложный: двойные щели, решётки, одиночные щели, зеркала, системы из двух линз, эхо от движущихся объектов и оптические волокна.

Изучайте шаг за шагом в приложенииИзучайте шаг за шагом в приложении

Разобранные примеры

Пример 1Лёгкая
λ = 0,343 mv = ?f = 1 kHz

Звуковая волна в воздухе имеет частоту 1 kHz и длину волны 0,343 m. Найдите её скорость v.

f = 1 kHzλ = 0,343 m

Найти: v (m/s)

Показать подсказки
  1. Волна проходит одну длину волны за один период T = 1/f.
  2. v = fλ.
  3. f = 1000 Hz.
Показать ответ и пошаговое решение

Волны: периодическая волна проходит одну длину волны за один период, поэтому v = fλ при T = 1/f. На натянутой струне v = √(T/μ), где T — сила натяжения, а μ = m/L — масса на метр. Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s при 20 °C, свет в вакууме — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Громкость измеряется в логарифмическом масштабе: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, где I₀ = 10⁻¹² W/m², поэтому десятикратная интенсивность добавляет 10 dB. Точечный источник распределяет мощность P по сфере: I = P/(4πr²).

Скорость волны

v = fλ = 1000·0,343 = 343 m/s

Ответ

v = 343 m/s
Пример 2Средняя
L = ?n = 3

Труба, открытая с обоих концов должна иметь следующий режим на частоте 686 Hz: гармоника номер 3. Скорость звука равна 343 m/s. Найдите длину L трубы.

v = 343 m/sn = 3f3 = 686 Hz

Найти: L (m)

Показать подсказки
  1. f = n·v/(2L).
  2. Выразите L.
  3. λ = v/f = 0,5 m.
Показать ответ и пошаговое решение

Стоячие волны и эффект Доплера: в струне, закреплённой с обоих концов, или в трубе, открытой с обоих концов, укладывается целое число полуволн: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … У трубы, закрытой с одного конца, на закрытом конце узел, а на открытом пучность: L = nλ/4 только при нечётных n, fn = n·v/(4L). Когда источник или наблюдатель движутся вдоль линии между ними, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): верхние знаки берите для движения навстречу друг другу. Две волны почти равной частоты дают биения с частотой |f₁ − f₂|.

Длина волны

λ = v/f = 343/686 = 0,5 m

Длина

L = nλ/2 = 3·0,5/2 = 0,75 m

Ответ

L = 0,75 m
Пример 3Сложная
θa​ = ?n1​ = 1,52n2​ = 1,49n0​ = 1,00

У оптического волокна сердцевина с n₁ = 1,52 и оболочка с n₂ = 1,49. Найдите наибольший угол θa к оси волокна, при котором свет из воздуха может войти в торец волокна и всё ещё направляться полным внутренним отражением.

n1 = 1,52n2 = 1,49n0 = 1,00

Найти: θa (°)

Показать подсказки
  1. Внутри сердцевины луч должен падать на оболочку под углом не меньше критического: sin θc = n₂/n₁.
  2. На входном торце sin θa = n₁·cos θc = √(n₁² − n₂²) = NA.
  3. n₁² − n₂² = 0,0903.
Показать ответ и пошаговое решение

Геометрическая оптика: на границе n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (закон Снеллиуса), углы отсчитываются от нормали, а n = c/v. При входе в более медленную среду луч приближается к нормали. Из более плотной среды (n₁ > n₂) за пределом критического угла θc = arcsin(n₂/n₁) весь свет отражается: полное внутреннее отражение. Тонкие линзы и сферические зеркала подчиняются уравнению 1/f = 1/do + 1/di с увеличением m = −di/do. Правило знаков: f > 0 для собирающей линзы и вогнутого зеркала (f = R/2), f < 0 для рассеивающей линзы и выпуклого зеркала; di > 0 для действительного изображения, di < 0 для мнимого, а m < 0 для перевёрнутого изображения.

Критический угол на оболочке

sin θc = 1,49/1,52 = 0,9803 → θc = 78,6°

Числовая апертура

NA = √(1,52² − 1,49²) = 0,3005

Угол приёма

θa = arcsin(0,3005) = 17,49°

Ответ

θa = 17,49°

Вопросы и ответы

Волны, звук и оптика: что это?

Волна переносит энергию с места на место, не перенося вещество: среда лишь колеблется. В струне или на воде движение поперечное (перпендикулярно направлению распространения); звук в воздухе продольный (вдоль него).

Звук в воздухе распространяется со скоростью около 343 m/s, свет — со скоростью c = 3,00 × 10⁸ m/s. Скорость зависит от среды, а не от частоты.

Волны, звук и оптика: как решать задачи шаг за шагом?
  1. Определите тип задачи: скорость волны, уровень звука, стоячая волна, эффект Доплера, преломление, линза или зеркало, либо интерференция.
  2. Сначала запишите соотношение: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) или n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Переведите единицы: nm, mm и cm в m, и проверьте, отсчитываются ли углы от нормали.
  4. Проверьте знаки и правдоподобие: у мнимого изображения dᵢ < 0, приближающийся источник звучит выше, у закрытой трубы только нечётные гармоники.
Волны, звук и оптика: какие ошибки самые частые?
  • Отсчитывать углы от поверхности, а не от нормали.
  • Использовать 20·log для интенсивностей или складывать децибелы напрямую.
  • Ставить скорость источника в числитель формулы Доплера.
  • Отбрасывать правило знаков для рассеивающих линз и выпуклых зеркал.
  • Округлять наивысший порядок решётки до ближайшего целого вместо округления вниз.
Волны, звук и оптика: что вы тренируете?
  • Лёгкая: скорость волны, уровень звука и преломление
  • Средняя: стоячие волны, линзы и эффект Доплера
  • Сложная: интерференция, решётки, зеркала и волокна

В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ. Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.

Как проходят занятия

  • В каждой задаче новые значения, поэтому вы учите метод, а не ответ.
  • Застряли? Сначала откройте небольшую подсказку, а полное объяснение — только когда оно понадобится.
  • Ваш прогресс, ошибки и сохранённые задачи остаются, поэтому перед экзаменом вы сможете всё повторить.

Темы до и после этой

Сначала изучите

Пружины и маятники

Курсы с этой темой

Физика для инженеровФизика 1: МеханикаВолны и оптика

Другие темы: Физика

КинематикаЗаконы НьютонаДвижение по окружностиИмпульс и столкновенияПружины и маятникиЗакон Кулона и электрическое полеМагнитные поля и индукция

Лист заданий для печати

Волны, звук и оптика: лист заданий с ответами
Занимайтесь бесплатно: Волны, звук и оптикаЗанимайтесь сейчас: Волны, звук и оптикаБесплатных задач каждый день: 5. Без карты.