Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (сталь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 20 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 200 MPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 60 mm, E = 100 GPa и допускаемым напряжением 60 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 1000 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 20 kW при 500 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,5 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 80 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 20 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 6 m6 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

35 kN @ 12 m25 kN @ 6 m6 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 160 MPa, σᵧ = 50 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 30 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 50° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1,5 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 2 kNb = 1,5 mL = 8 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 35 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 35 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 1368 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/200000 = 0,001368 = 1368 µε

Ответ

ε = 1368 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 546,6 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,001, 0,0006) = 0,0006 (латунь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0006·9,111 × 10⁸ = 546637 N = 546,6 kN

Ответ

P_max = 546,6 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ = 22,52 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(80000·79522) = 0,393 rad

φ = 0,393·180/π = 22,52°

Ответ

φ = 22,52°

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 29,6 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 382 N·m = 381972 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·381972/(π·80·0,9375)) = 29,6 mm

d_i = 0,5·29,6 = 14,8 mm

Ответ

d_o = 29,6 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 28,97 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 48,5 kN, R₂ = 42,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 97, M_C = 182, M_D = 243 kN·m, M_E = 170, M_F = 85, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 243 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 12,75 kN, R₂ = 95,25 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 13,5, M_C = 3, M_D = −31,5, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −140 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 52,73 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 240 + 20/2 = 250 mm

стенка: A_w = 14·240 = 3360 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·250 + 3360·120)/9360 = 203,3 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·20³/12 + 6000·(250 − 203,3)² = 1,327 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·240³/12 + 3360·(120 − 203,3)² = 3,946 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,327 × 10⁷ + 3,946 × 10⁷ = 5,273 × 10⁷ mm⁴ = 52,73 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 52,73 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 176,4 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·25 = 6000 mm², y_f = 220 + 25/2 = 232,5 mm

стенка: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·232,5 + 3960·110)/9960 = 183,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·25³/12 + 6000·(232,5 − 183,8)² = 1,455 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·220³/12 + 3960·(110 − 183,8)² = 3,754 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,455 × 10⁷ + 3,754 × 10⁷ = 5,208 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 183,8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·183,8/5,208 × 10⁷ = 176,4 MPa

Ответ

σ_низ = 176,4 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −39,85 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = 10/55,9 = 0,1789, sin 2θ_s = −55/55,9 = −0,9839

2θ_s = atan2(−55, 10) = −79,7°

Угол на элементе

θ_s = −39,85°

проверка: θ_s − θ_p = −39,85 − 5,152 = −45°

Ответ

θ_s = −39,85°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −10,42 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −0·0,9848 + 60·−0,1736 = −10,42 MPa

Ответ

τ_θ = −10,42 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 1,587 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2000⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 1,587 mm

Ответ

δ = 1,587 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 1,985 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 2000 N, b = 1500 mm, L = 8000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1500²)/3) = 4537 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1,985 mm

Ответ

δ_max = 1,985 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 58,95 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2500 = 2500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2500² = 58954 N = 58,95 kN

Ответ

P_cr = 58,95 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 65,65 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·35000 = 70000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 65,65 mm

Ответ

d = 65,65 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 182,8, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials