Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (медь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 30 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 150 MPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 70 mm, E = 100 GPa и допускаемым напряжением 50 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaтруба: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (латунь; наружный диаметр 75 mm, внутренний диаметр 53 mm, длина 0,5 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 1000 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 1000 N·md_o = 75 mmd_i = 53 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 50 kW при 1500 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 50 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

55 kN @ 2 m10 kN/m, 2–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите расстояние x_c от A до точки перегиба между опорами (где изгибающий момент меняет знак).

L = 6 mw = 4 kN/m от 0 до 6 mопоры при x = 0 и x = 5 m

x_c = m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 10 MPa, σᵧ = 40 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 10 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 60 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 30 mm нагружен осевой сжимающей силой 60 kN вместе с крутящим моментом 2000 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

d = 30 mmF = −60 kNT = 2000 N·m

τ_max = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 2976 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 70·1000/201,1 = 348,2 MPa

Деформация (закон Гука)

E for медь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 348,2/117000 = 0,002976 = 2976 µε

Ответ

ε = 2976 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 443,7 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·7461 = 8,875 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (латунь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0005·8,875 × 10⁸ = 443750 N = 443,7 kN

Ответ

P_max = 443,7 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,315 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2,332 × 10⁶ mm⁴

Угол закручивания

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·500/(39000·2,332 × 10⁶) = 0,005498 rad

φ = 0,005498·180/π = 0,315°

Ответ

φ = 0,315°

4.Кручение валов

Ответ: d = 27,86 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·318310/(π·75)) = 27,86 mm

Ответ

d = 27,86 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 46,67 kN, R₂ = 28,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 46,67, M_C = 93,33 kN·m, M_D = 80, M_E = 56,67, M_F = 28,33, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 93,33 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x_c = 4,8 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·6·3

R_B = 72/5 = 14,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 14,4 = 9,6 kN

Нулевой момент

Между опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Кроме x = 0, он равен нулю при x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·9,6/4 = 4,8 m

Ответ

x_c = 4,8 m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 28,81 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

стенка: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·195 + 2520·90)/10920 = 170,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·30³/12 + 8400·(195 − 170,8)² = 5,562 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·180³/12 + 2520·(90 − 170,8)² = 2,324 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,562 × 10⁶ + 2,324 × 10⁷ = 2,881 × 10⁷ mm⁴ = 28,81 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 28,81 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 25,6 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

стенка: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·287,5 + 5040·140)/8640 = 201,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·15³/12 + 3600·(287,5 − 201,5)² = 2,672 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·280³/12 + 5040·(140 − 201,5)² = 5,196 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,672 × 10⁷ + 5,196 × 10⁷ = 7,868 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 201,5 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·201,5/7,868 × 10⁷ = 25,6 MPa

Ответ

σ_низ = 25,6 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 61,85 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((10 − 40)/2)² + 60²) = 61,85 MPa

Ответ

τ_max = 61,85 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 379,6 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = −60000/(π·30²/4) = −60000/706,9 = −84,88 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377,3 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = −42,44 MPa

R = √((−42,44)² + 377,3²) = 379,6 MPa

Ответ

τ_max = 379,6 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 2,093 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 2,093 mm

Ответ

δ_max = 2,093 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 3,164 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·3000⁴/(384·200000·8,333) = 3,164 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3,164 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 3,164 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 17,3 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3500² = 17303 N = 17,3 kN

Ответ

P_cr = 17,3 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 12,69 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233,3

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233,3² = 12,69 MPa

Ответ

σ_cr = 12,69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials