Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 25 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (бронза) диаметром 30 mm, длиной 200 mm и E = 110 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,5 mm.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 90 kNучасток 1: Ø40 mm, 1 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø20 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (алюминий) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 75 mm и длину 1,2 m; участок BC — диаметр 60 mm и длину 2,5 m. На свободном конце C действует крутящий момент 500 N·m. Найдите угол закручивания φ_C конца C в градусах.

T = 500 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 1,2 md₂ = 60 mm, L₂ = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 15 kW при 1450 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 15 kWN = 1450 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

10 kN @ 3 m8 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

35 kN @ 6 m55 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 40 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 195 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mmцентр отверстия: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa и τₓᵧ = −30 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 30 MPa, σᵧ = −30 MPa и τₓᵧ = 50 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 30° по часовой стрелке от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 30 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 125 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 1,5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 130 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 130 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 75,23 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706,9) = 2,572 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,5/6,647 × 10⁻⁶ = 75227 N = 75,23 kN

Ответ

P = 75,23 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 286,5 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 71,62 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 286,5 MPa

Ответ

σ_max = 286,5 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ_C = 2,591 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярные моменты инерции

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

Угол закручивания каждого участка

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 500000·1200/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,007429 rad

φ_BC = 500000·2500/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,03779 rad

Полный угол закручивания

φ_C = 0,007429 + 0,03779 = 0,04522 rad = 2,591°

Ответ

φ_C = 2,591°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 10,34 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

Полярный момент инерции

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 98786·20/190984 = 10,34 MPa

Ответ

τ_max = 10,34 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 29 kN, R₂ = 29 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 42, M_D = 51 kN·m, M_E = 42, M_F = 25, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 51 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 15 kN, R₂ = 75 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 15, M_C = 30, M_D = 45 kN·m, M_E = 5, M_F = −35, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 45 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 447,3 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (60000·150 − 1257·195)/(60000 − 1257) = 149 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·300³/12 + 60000·0,9626² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·45,96² = 2,78 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 447,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 447,3 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 77,25 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 140 + 30/2 = 155 mm

стенка: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·155 + 2240·70)/7640 = 130,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·30³/12 + 5400·(155 − 130,1)² = 3,759 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·140³/12 + 2240·(70 − 130,1)² = 1,174 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,759 × 10⁶ + 1,174 × 10⁷ = 1,55 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 170 − 130,1 = 39,92 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·39,92/1,55 × 10⁷ = 77,25 MPa

Ответ

σ_верх = 77,25 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 85,44 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((100 − −60)/2)² + −30²) = 85,44 MPa

Ответ

τ_max = 85,44 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = 50,98 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −30·−0,866 + 50·0,5 = 50,98 MPa

Ответ

τ_θ = 50,98 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 1,07 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 1,07 mm

Ответ

δ_max = 1,07 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 174,6 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·5000⁴/(384·11000·20) = 5,549 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·5,549 × 10⁷/125)^1/3 = 174,6 mm

Ответ

h_req = 174,6 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 47,98 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/3000² = 47977 N = 47,98 kN

Ответ

P_cr = 47,98 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 41,47 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 41,47 mm

Ответ

d = 41,47 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 101,3, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials