Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 30 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (бронза) диаметром 30 mm, длиной 400 mm и E = 110 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,3 mm.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø30 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Стержень (сталь) диаметром 40 mm с E = 200 GPa и допускаемым напряжением 160 MPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 100 mm, внутренним диаметром 60 mm, E = 100 GPa и допускаемым напряжением 60 MPa. Они вместе сжимаются между жёсткими плитами. Найдите наибольшую нагрузку P_max.

стержень: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaтруба: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 75 kW при 1800 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 75 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенным моментом M₀ = 20 kN·m, действующим по часовой стрелке, в точке x = 5 m от A; других нагрузок нет. Найдите изгибающий момент M_x сразу слева от сосредоточенного момента. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mM₀ = 20 kN·m по часовой стрелке, в точке 5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 50 kN в 4 mw = 5 kN/m от 0 до 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 60 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 105 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmцентр отверстия: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 180 × 10 mm, стенку высотой 380 mm и толщиной 16 mm и нижнюю полку 280 × 24 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 180 × 10 mmстенка: 16 × 380 mmнижняя полка: 280 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −20 MPa, σᵧ = −40 MPa и τₓᵧ = −60 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Тонкостенный цилиндрический резервуар с внутренним диаметром 1500 mm и толщиной стенки 15 mm содержит газ под избыточным давлением 1 MPa. Он изготовлен из листа, сваренного по винтовому шву под углом 25° к оси цилиндра. Найдите нормальное напряжение σ_n, действующее поперёк сварного шва.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 1 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 125 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 35 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 35 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 37,62 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·706,9) = 5,144 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,3/7,974 × 10⁻⁶ = 37623 N = 37,62 kN

Ответ

P = 37,62 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P_max = 452,4 kN

Площади

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5027 = 7,54 × 10⁸ N

Определяющая деформация

ε = min(0,0008, 0,0006) = 0,0006 (латунь)

Наибольшая нагрузка

P_max = 0,0006·7,54 × 10⁸ = 452389 N = 452,4 kN

Ответ

P_max = 452,4 kN

3.Кручение валов

Ответ: φ = 7,307 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(39000·251327) = 0,1275 rad

φ = 0,1275·180/π = 7,307°

Ответ

φ = 7,307°

4.Кручение валов

Ответ: d = 30,01 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·397887/(π·75)) = 30,01 mm

Ответ

d = 30,01 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −16,67 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Приложенный сосредоточенный момент вызывает на эпюре изгибающих моментов скачок, равный его величине.

Опорные реакции

Моменты относительно A, против часовой стрелки положительны: R_B·L − M₀ = 0. Равновесие по вертикали: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/6 = 3,333 kN (вверх)

R_A = −R_B = −3,333 kN (вниз)

Сечение сразу слева от сосредоточенного момента

Левая часть содержит только R_A.

M_x = R_A·a = −3,333·5 = −16,67 kN·m

Ответ

M_x = −16,67 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 140 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·4 + 5·8·4

R_B = 360/8 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 45 = 45 kN

Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 45·4 − 5·4·2 = 140 kN·m

Ответ

M_x = 140 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 52,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·75 − 2827·105)/(30000 − 2827) = 71,88 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·150³/12 + 30000·3,122² = 56,54 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·60⁴/64 + 2827·33,12² = 3,738 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 52,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 52,8 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 346,8 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 1800 mm², y = 409 mm

стенка: A = 6080 mm², y = 214 mm

нижняя полка: A = 6720 mm², y = 12 mm

Центр тяжести

ȳ = (1800·409 + 6080·214 + 6720·12)/14600 = 145,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 180·10³/12 + 1800·263,9² = 1,254 × 10⁸ mm⁴

стенка: 16·380³/12 + 6080·68,93² = 1,021 × 10⁸ mm⁴

нижняя полка: 280·24³/12 + 6720·133,1² = 1,193 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,254 × 10⁸ + 1,021 × 10⁸ + 1,193 × 10⁸

I_x = 3,468 × 10⁸ mm⁴ = 346,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 346,8 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 60,83 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((−20 − −40)/2)² + −60²) = 60,83 MPa

Ответ

τ_max = 60,83 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_n = 45,53 MPa

Напряжения в стенке

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 1·750/15 = 50 MPa

σ_a = pr/(2t) = 25 MPa

Преобразование к шву

Направьте x вдоль оси (σ_a), а y по окружности (σ_h). Нормаль к шву составляет с осью угол 90° − α.

σ_n = 25·sin²25° + 50·cos²25° = 45,53 MPa

Ответ

σ_n = 45,53 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 30,33 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·5000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 30,33 mm

Ответ

δ_max = 30,33 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 308,8 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·20) = 3,068 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·3,068 × 10⁸/125)^1/3 = 308,8 mm

Ответ

h_req = 308,8 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 4,905 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/4000² = 4905 N = 4,905 kN

Ответ

P_cr = 4,905 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 53,39 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·35000 = 87500 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 53,39 mm

Ответ

d = 53,39 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 224,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials