Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (сталь) под действием осевой нагрузки.

P = 90 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 70 kNучасток 1: Ø30 mm, 2 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø20 mm, 1 m, алюминий (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 250 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 75 kW при 1800 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 75 kWN = 1800 rpmd_o = 80 mmd_i = 56 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

25 kN @ 4 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

60 kN @ 6 m50 kN @ 4 m10 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 180 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −20 MPa, σᵧ = 80 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 420 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Мизеса (энергии формоизменения).

σ_x = −20 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 150 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 4 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 150 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 2,865 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 90·1000/78,54 = 1146 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1146/200000 = 0,00573 = 5730 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,00573·500 mm = 2,865 mm

Ответ

δ = 2,865 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 4,876 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 99,03 MPa

σ₂ = 222,8 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 99,03·2000/117000 = 1,693 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 222,8·1000/70000 = 3,183 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,876 mm

Ответ

δ = 4,876 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 6,755 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(80000·79522) = 0,1179 rad

φ = 0,1179·180/π = 6,755°

Ответ

φ = 6,755°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 5,208 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

Полярный момент инерции

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 397887·40/3,056 × 10⁶ = 5,208 MPa

Ответ

τ_max = 5,208 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 39,17 kN, R₂ = 30,83 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 78,33, M_C = 156,7, M_D = 185 kN·m, M_E = 123,3, M_F = 61,67, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 185 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 5 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 23 kN, R₂ = 137 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = 18, M_C = 26, M_D = 24, M_E = 12, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −60 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 447,9 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (60000·150 − 1963·180)/(60000 − 1963) = 149 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·300³/12 + 60000·1,015² = 450,1 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·31,01² = 2,196 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 447,9 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 447,9 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 61,47 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

стенка: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·230 + 3080·110)/7480 = 180,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·20³/12 + 4400·(230 − 180,6)² = 1,089 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·220³/12 + 3080·(110 − 180,6)² = 2,777 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,089 × 10⁷ + 2,777 × 10⁷ = 3,866 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 240 − 180,6 = 59,41 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·59,41/3,866 × 10⁷ = 61,47 MPa

Ответ

σ_верх = 61,47 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = 61 °

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 70 − 120) = 122°

Угол на элементе

θ_p = 61°

Ответ

θ_p = 61°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 3,986

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 30 MPa, R = 58,31 MPa

σ₁ = 88,31 MPa, σ₂ = −28,31 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(88,31² − 88,31·(−28,31) + (−28,31)²) = 105,4 MPa

n = 420/105,4 = 3,986

Ответ

n = 3,986

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 45 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 2·6000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 45 mm

Ответ

δ = 45 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 231,6 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,553 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,553 × 10⁸/150)^1/3 = 231,6 mm

Ответ

h_req = 231,6 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 151,4 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Ответ

P_cr = 151,4 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 4,819 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6,25 = 640

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

Ответ

σ_cr = 4,819 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials