Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (латунь) под действием осевой нагрузки.

P = 50 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 20 kNучасток 1: Ø25 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø20 mm, 2 m, сталь (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) длиной 1,2 m передаёт крутящий момент 400 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 1°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 400 N·mL = 1,2 mG = 39 GPaφ_allow = 1°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 50 kW при 1800 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 50 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя сосредоточенными силами. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mP₁ = 55 kN в 3,5 mP₂ = 45 kN в 4 m

M_max = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP = 45 kN в 5 mw = 3 kN/m от 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 300 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 105 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 120 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 30 mm и высотой 40 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 200 mmвырез: 30 × 40 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 0 MPa и σᵧ = −60 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 60 MPa?

σ_x = 0 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 50 mm нагружен осевой сжимающей силой 190 kN вместе с крутящим моментом 500 N·m. На поверхности вала найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

d = 50 mmF = −190 kNT = 500 N·m

τ_max = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 28 kNw = 12 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 130 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 130 kNn = 3L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 1,592 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 50·1000/314,2 = 159,2 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 159,2/100000 = 0,001592 = 1592 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,001592·1000 mm = 1,592 mm

Ответ

δ = 1,592 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,8403 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 40,74·500/100000 = 0,2037 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 63,66·2000/200000 = 0,6366 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8403 mm

Ответ

δ = 0,8403 mm

3.Кручение валов

Ответ: d = 51,77 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Требуемый полярный момент инерции

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1·π/180 = 0,01745 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1200/(39000·0,01745) = 705179 mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 51,77 mm

Ответ

d = 51,77 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: d = 30,01 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·265258/(π·50)) = 30,01 mm

Ответ

d = 30,01 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 89,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·3,5 + 45·4

R_B = 372,5/5 = 74,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 74,5 = 25,5 kN

Момент под каждой силой

Оставляйте часть слева от каждой силы.

под P₁: M = R_A·3,5 = 25,5·3,5 = 89,25 kN·m

под P₂: M = R_B·1 = 74,5·1 = 74,5 kN·m

Наибольшее значение

M_max = 89,25 kN·m (под P₁)

Ответ

M_max = 89,25 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 45 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·5 + 3·6·3

R_B = 279/6 = 46,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 46,5 = 16,5 kN

Где V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 1,5 kN

V(5⁺) = 1,5 − 45 = −43,5 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 16,5·5 − 3·5²/2 = 45 kN·m

Ответ

M_max = 45 kN·m

Он достигается при x = 5 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 268,5 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (36000·150 − 706,9·105)/(36000 − 706,9) = 150,9 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·300³/12 + 36000·−0,9013² = 270 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−45,9² = 1,529 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 268,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 268,5 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 79,33 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (24000·100 − 1200·120)/(24000 − 1200) = 98,95 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·200³/12 + 24000·1,053² = 80,03 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

30·40³/12 + 1200·21,05² = 0,6919 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 79,33 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 79,33 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 84,85 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (0 + (−60))/2 = −30 MPa

R = σ₁ − C = 60 − (−30) = 90 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 30²) = 84,85 MPa

Ответ

τ_xy = 84,85 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 52,5 MPa

Напряжения на поверхности

σ = F/A = −190000/(π·50²/4) = −190000/1963 = −96,77 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·50³) = 20,37 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = −48,38 MPa

R = √((−48,38)² + 20,37²) = 52,5 MPa

Ответ

τ_max = 52,5 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 38,6 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·2,53 × 10¹¹) = 38,6 mm

Ответ

δ = 38,6 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 15,23 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 28000 N, w = 12 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·5000³/(48·1,12 × 10¹³) = 6,51 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 8,719 mm

Сложите

δ_max = 6,51 + 8,719 = 15,23 mm

Ответ

δ_max = 15,23 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 112,8 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1400² = 112795 N = 112,8 kN

Ответ

P_cr = 112,8 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 74,95 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 74,95 mm

Ответ

d = 74,95 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 149,4, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials