Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 30 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (бронза) диаметром 60 mm, длиной 300 mm и E = 110 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,2 mm.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø60 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 20 kNучасток 1: Ø25 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø20 mm, 2 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (сталь; наружный диаметр 60 mm, внутренний диаметр 42 mm, длина 3 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 400 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 400 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 30 kW при 750 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 30 kWN = 750 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2,5 mP = 80 kN в 2,5 mw = 2 kN/m от 0 до 2,5 m

M_A = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 30 kN в 5 mw = 12 kN/m от 0 до 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 140 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 50 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 110 MPa, σᵧ = −40 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 130 MPa, σᵧ = 50 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 45° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 2 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 18 kNa = 2 mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 38,4 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·2827) = 9,646 × 10⁻⁷ mm/N

Нагрузка

P = 0,2/5,209 × 10⁻⁶ = 38397 N = 38,4 kN

Ответ

P = 38,4 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 63,66 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 63,66 MPa

Ответ

σ_max = 63,66 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,8889 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Угол закручивания

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·3000/(80000·966855) = 0,01551 rad

φ = 0,01551·180/π = 0,8889°

Ответ

φ = 0,8889°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 3,295 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Полярный момент инерции

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·50/5,796 × 10⁶ = 3,295 MPa

Ответ

τ_max = 3,295 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −206,3 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −80·2,5 = −200 kN·m

w: −2·2,5²/2 = −6,25 kN·m

M_A = −200 − 6,25 = −206,3 kN·m

Ответ

M_A = −206,3 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 94,5 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·5 + 12·8·4

R_B = 534/8 = 66,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 126 − 66,75 = 59,25 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 59,25·2 − 12·2·1 = 94,5 kN·m

Ответ

M_x = 94,5 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 33,64 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·20 = 2800 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

стенка: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·230 + 3080·110)/5880 = 167,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·20³/12 + 2800·(230 − 167,1)² = 1,116 × 10⁷ mm⁴

стенка: 14·220³/12 + 3080·(110 − 167,1)² = 2,248 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,116 × 10⁷ + 2,248 × 10⁷ = 3,364 × 10⁷ mm⁴ = 33,64 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 33,64 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 167,5 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

стенка: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·235 + 3960·110)/11760 = 192,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·30³/12 + 7800·(235 − 192,9)² = 1,44 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·220³/12 + 3960·(110 − 192,9)² = 4,319 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,44 × 10⁷ + 4,319 × 10⁷ = 5,76 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 192,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·192,9/5,76 × 10⁷ = 167,5 MPa

Ответ

σ_низ = 167,5 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −48,8 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = −10/75,66 = −0,1322, sin 2θ_s = −75/75,66 = −0,9912

2θ_s = atan2(−75, −10) = −97,59°

Угол на элементе

θ_s = −48,8°

проверка: θ_s − θ_p = −48,8 − (−3,797) = −45°

Ответ

θ_s = −48,8°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −40 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −40·1 + −20·0 = −40 MPa

Ответ

τ_θ = −40 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 25,41 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 18000 N, a = 2000 mm, b = 3000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·2000²·3000²/(3·1,7 × 10¹²·5000) = 25,41 mm

Ответ

δ_P = 25,41 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 302,3 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·16,67) = 2,301 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·2,301 × 10⁸/100)^1/3 = 302,3 mm

Ответ

h_req = 302,3 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 171,9 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/1750² = 171879 N = 171,9 kN

Ответ

P_cr = 171,9 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 14,16 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/7,5 = 373,3

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/373,3² = 14,16 MPa

Ответ

σ_cr = 14,16 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials