Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (медь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 105 kNd = 10 mmL = 1,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa и участок (алюминий) диаметром 30 mm, длиной 300 mm и E = 70 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 30 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 750 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 50 kW при 1450 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2 mP = 60 kN в 2 mw = 10 kN/m от 0 до 2 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP = 15 kN в 4 mw = 10 kN/m от 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 280 mm и внутренний диаметр d = 252 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 280 mmd = 252 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 100 mm × 240 mm имеет прямоугольный вырез шириной 30 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 144 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 100 mmh = 240 mmвырез: 30 × 20 mmцентр отверстия: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = −80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Сплошной вал диаметром 50 mm нагружен изгибающим моментом 1500 N·m вместе с крутящим моментом 400 N·m. На верхней поверхности, где нормальное напряжение от изгиба растягивающее и наибольшее, найдите наибольшее главное напряжение σ₁.

d = 50 mmM = 1500 N·mT = 400 N·m

σ₁ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 3 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 11427 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 105·1000/78,54 = 1337 MPa

Деформация (закон Гука)

E for медь = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1337/117000 = 0,01143 = 11427 µε

Ответ

ε = 11427 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 21,74 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·706,9/300 = 164934 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 30000·164934/322013 = 15366 N

Напряжение

σ₂ = 15366/706,9 = 21,74 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 21,74 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 9,864 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(26000·251327) = 0,1722 rad

φ = 0,1722·180/π = 9,864°

Ответ

φ = 9,864°

4.Кручение валов

Ответ: d = 28,17 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·329286/(π·75)) = 28,17 mm

Ответ

d = 28,17 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −65 kN·m

Оставляем часть со свободным концом

P: −60·1 = −60 kN·m

w: −10·1²/2 = −5 kN·m

M_x = −60 − 5 = −65 kN·m

Ответ

M_x = −65 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 61,25 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·4 + 10·6·3

R_B = 240/6 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 40 = 35 kN

Где V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 35/10 = 3,5 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 35·3,5 − 10·3,5²/2 = 61,25 kN·m

Ответ

M_max = 61,25 kN·m

Он достигается при x = 3,5 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 94,18 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 11699 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,038 × 10⁸ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(1,038 × 10⁸/11699) = 94,18 mm

Ответ

r = 94,18 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 114,8 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (24000·120 − 600·144)/(24000 − 600) = 119,4 mm

Целая пластина относительно ȳ

100·240³/12 + 24000·0,6154² = 115,2 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

30·20³/12 + 600·24,62² = 0,3836 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 114,8 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 114,8 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = −79,1 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, −80 − −30) = −158,2°

Угол на элементе

θ_p = −79,1°

Ответ

θ_p = −79,1°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ₁ = 124,4 MPa

Напряжения на поверхности

σ = 32M/(πd³) = 32·1500000/(π·50³) = 122,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16,3 MPa

Круг Мора

C = σ/2 = 61,12 MPa

R = √(61,12² + 16,3²) = 63,25 MPa

σ₁ = C + R = 124,4 MPa

σ₂ = C − R = −2,136 MPa

Ответ

σ₁ = 124,4 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 1,42 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 1,42 mm

Ответ

δ_max = 1,42 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 240,9 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,165 × 10⁸ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·1,165 × 10⁸/100)^1/3 = 240,9 mm

Ответ

h_req = 240,9 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 313,9 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2000² = 313939 N = 313,9 kN

Ответ

P_cr = 313,9 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 27,76 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/266,7² = 27,76 MPa

Ответ

σ_cr = 27,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials