Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (алюминий) под действием осевой нагрузки.

P = 25 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 75 kNучасток 1: Ø30 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø20 mm, 0,5 m, алюминий (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (сталь; наружный диаметр 75 mm, внутренний диаметр 56 mm, длина 2 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 1000 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 1000 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал передаёт 100 kW при 1000 об/мин. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

P = 100 kWN = 1000 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 8 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mw = 6 kN/m от 0 до 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 0 m25 kN @ 6 m60 kN @ 3 m4 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 170 mm и толщиной 16 mm, полную высоту 220 mm и стенку толщиной 12 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 170 mmH = 220 mmt_f = 16 mmt_w = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 150 mm и толщиной 14 mm, полную высоту 360 mm и стенку толщиной 12 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 200 kN·m относительно оси x. Найдите величину наибольшего нормального напряжения при изгибе σ_max в сечении.

B = 150 mmH = 360 mmt_f = 14 mmt_w = 12 mmM = 200 kN·m

σ_max = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa и τₓᵧ = 40 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = 160 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 160 MPa, σᵧ = 60 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 30° по часовой стрелке от оси x.

σ_x = 160 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 22 kNw = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 145 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 145 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 9,095 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 25·1000/78,54 = 318,3 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 318,3/70000 = 0,004547 = 4547 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,004547·2000 mm = 9,095 mm

Ответ

δ = 9,095 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 2,501 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 106,1 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 106,1·1500/200000 = 0,7958 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·500/70000 = 1,705 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,501 mm

Ответ

δ = 2,501 mm

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,6691 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

Угол закручивания

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2000/(80000·2,141 × 10⁶) = 0,01168 rad

φ = 0,01168·180/π = 0,6691°

Ответ

φ = 0,6691°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 44,7 MPa

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 100000/104,7 = 954,9 N·m

Полярный момент инерции

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Наибольшее касательное напряжение

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/534071 = 44,7 MPa

Ответ

τ_max = 44,7 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 48 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Рассеките в x = 8 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 30·8 − 6·8·4 = 48 kN·m

Ответ

M_x = 48 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 89,33 kN, R₂ = 67,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = −60 kN·m, M_C = −32,67, M_D = −9,333, M_E = −50, M_F = −25, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −60 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 63,36 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 220 − 2·16 = 188 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·220³ − 158·188³)/12

I_x = 6,336 × 10⁷ mm⁴ = 63,36 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 63,36 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_max = 221,7 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 360 − 2·14 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·360³ − 138·332³)/12

I_x = 1,624 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 180 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·180/1,624 × 10⁸ = 221,7 MPa

Ответ

σ_max = 221,7 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 87,6 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = 115 MPa, R = √(45² + 40²) = 60,21 MPa

σ₁ = 175,2 MPa, σ₂ = 54,79 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120,4, 175,2, 54,79)/2 = 87,6 MPa

Ответ

τ_abs = 87,6 MPa

Здесь определяющим является круг вне плоскости: абсолютный максимум больше максимума в плоскости R.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 126,3 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 110 + 50·0,5 + 10·−0,866 = 126,3 MPa

Ответ

σ_θ = 126,3 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 36,99 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·5000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 36,99 mm

Ответ

δ_max = 36,99 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 27,81 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 22000 N, w = 6 N/mm, L = 6000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·6000³/(48·7,2 × 10¹²) = 13,75 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 14,06 mm

Сложите

δ_max = 13,75 + 14,06 = 27,81 mm

Ответ

δ_max = 27,81 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 86,82 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4000² = 86818 N = 86,82 kN

Ответ

P_cr = 86,82 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 85,5 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 85,5 mm

Ответ

d = 85,5 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 117, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials