Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (алюминий) под действием осевой нагрузки.

P = 85 kNd = 12 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (латунь) диаметром 30 mm, длиной 200 mm и E = 100 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 20 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø30 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 100 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,8 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 60 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 100 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) диаметром 30 mm обоими концами A и B заделан в жёсткие стены. В точке C, на расстоянии 2 m от A и 1,5 m от B, приложен крутящий момент 200 N·m. Найдите угол поворота φ_C сечения C в градусах.

d = 30 mmT₀ = 200 N·ma = 2 mb = 1,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 3 kN/m от 0 до 6 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 10 mP = 55 kN в 6 mw = 8 kN/m от 0 до 10 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 150 mm имеет прямоугольный вырез шириной 30 mm и высотой 20 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 105 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 150 mmвырез: 30 × 20 mmцентр отверстия: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 100 MPa, σᵧ = −70 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 100 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 20 MPa, σᵧ = 50 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 20° по часовой стрелке от оси x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 10 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 20 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 20 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 10,74 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/113,1 = 751,6 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 751,6/70000 = 0,01074 = 10737 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,01074·1000 mm = 10,74 mm

Ответ

δ = 10,74 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 21,83 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 100000·706,9/200 = 353429 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 20000·353429/458149 = 15429 N

Напряжение

σ₂ = 15429/706,9 = 21,83 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 21,83 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 24,32 mm

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 100 N·m = 100000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·60·0,5904)) = 24,32 mm

d_i = 0,8·24,32 = 19,45 mm

Ответ

d_o = 24,32 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 20,4 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: φ_C = 1,544 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω. Когда оба конца заделаны, статика даёт только T_A + T_B = T₀; второе уравнение — условие совместности (равные углы закручивания обеих частей в нагруженном сечении).

Равновесие и совместность

T_A + T_B = 200

T_A·a = T_B·b

T_A = 200·1,5/3,5 = 85,71 N·m

T_B = 200·2/3,5 = 114,3 N·m

Поворот сечения C

Используйте участок AC: он заделан в A и передаёт T_A.

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 85714·2000/(80000·79522) = 0,02695 rad = 1,544°

Ответ

φ_C = 1,544°

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 4,125 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Рассеките в x = 0,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 9·0,5 − 3·0,5·0,25 = 4,125 kN·m

Ответ

M_x = 4,125 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 228 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·6 + 8·10·5

R_B = 730/10 = 73 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 73 = 62 kN

Где V = 0?

V(6⁻) = R_A − w·6 = 14 kN

V(6⁺) = 14 − 55 = −41 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·6 − w·6²/2 = 62·6 − 8·6²/2 = 228 kN·m

Ответ

M_max = 228 kN·m

Он достигается при x = 6 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 104,5 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

стенка: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·310 + 4800·150)/10800 = 238,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 300·20³/12 + 6000·(310 − 238,9)² = 3,054 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·300³/12 + 4800·(150 − 238,9)² = 7,393 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,054 × 10⁷ + 7,393 × 10⁷ = 1,045 × 10⁸ mm⁴ = 104,5 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 104,5 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 55,68 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·75 − 600·105)/(30000 − 600) = 74,39 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·150³/12 + 30000·0,6122² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

30·20³/12 + 600·30,61² = 0,5823 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 55,68 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 55,68 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 87,32 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((100 − −70)/2)² + 20²) = 87,32 MPa

Ответ

τ_max = 87,32 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 10,65 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 35 + −15·0,766 + 20·−0,6428 = 10,65 MPa

Ответ

σ_θ = 10,65 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 29,59 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 10000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 10000·1500²·2500²/(3·3,96 × 10¹¹·4000) = 29,59 mm

Ответ

δ_P = 29,59 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 266,3 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 2,663 × 10⁸ mm⁴

I_req = 266,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 266,3 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 5,222 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/2100² = 5222 N = 5,222 kN

Ответ

P_cr = 5,222 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 23,47 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·20000 = 60000 N

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 23,47 mm

Ответ

d = 23,47 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 119,3, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials