Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 20 mm, длиной 500 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (алюминий) диаметром 30 mm, длиной 200 mm и E = 70 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,5 mm.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø30 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 55 kNучасток 1: Ø35 mm, 0,5 m, сталь (E = 200 GPa)участок 2: Ø20 mm, 2 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал (сталь; наружный диаметр 60 mm, внутренний диаметр 42 mm, длина 1 m) заделан с одного конца и закручивается моментом 750 N·m на другом. Найдите угол закручивания φ в градусах.

T = 750 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) передаёт 50 kW при 750 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 40 MPa, а угол закручивания — 0,25° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Она нагружена сосредоточенной силой P₁ между опорами и сосредоточенной силой P₂ в C. Найдите поперечную силу V_x сразу слева от опоры B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP₁ = 75 kN в 1,5 mP₂ = 80 kN в 8 mопоры при x = 0 и x = 6 m

V_x = kN

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 1,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_max между опорами.

L = 6,5 mw = 5 kN/m от 0 до 6,5 mопоры при x = 0 и x = 5 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 140 MPa, σᵧ = 70 MPa и τₓᵧ = −10 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 140 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 160 MPa, σᵧ = −80 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 15° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите угол поворота θ_A сечения балки на опоре A в радианах.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 28 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 41,67 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·706,9) = 4,042 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,5/1,2 × 10⁻⁵ = 41667 N = 41,67 kN

Ответ

P = 41,67 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 175,1 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 57,17 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 175,1 MPa

Ответ

σ_max = 175,1 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,5556 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Угол закручивания

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(80000·966855) = 0,009696 rad

φ = 0,009696·180/π = 0,5556°

Ответ

φ = 0,5556°

4.Кручение валов

Ответ: d = 65,65 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·40)) = 43,28 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·80000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 65,65 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(43,28, 65,65) = 65,65 mm

Ответ

d = 65,65 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −45,42 kN

Опорные реакции

Равновесие всей балки. Сила на консольном свесе тоже создаёт момент относительно A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·1,5 + 80·8

R_B = 752,5/6 = 125,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 125,4 = 29,58 kN

Сечение сразу слева от B, оставляем левую часть

V_x = R_A − P₁ = 29,58 − 75 = −45,42 kN

Ответ

V_x = −45,42 kN

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 12,94 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·6,5 = 32,5 kN, приложена в x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·6,5·3,25

R_B = 105,6/5 = 21,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32,5 − 21,13 = 11,38 kN

Нулевая поперечная сила

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 11,38/5 = 2,275 m

Наибольший положительный момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 11,38²/(2·5) = 12,94 kN·m

Ответ

M_max = 12,94 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 23,56 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 160 + 25/2 = 172,5 mm

стенка: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·172,5 + 2880·80)/9380 = 144,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·25³/12 + 6500·(172,5 − 144,1)² = 5,581 × 10⁶ mm⁴

стенка: 18·160³/12 + 2880·(80 − 144,1)² = 1,798 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,581 × 10⁶ + 1,798 × 10⁷ = 2,356 × 10⁷ mm⁴ = 23,56 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 23,56 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 90,44 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

стенка: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·272,5 + 4680·130)/7180 = 179,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·25³/12 + 2500·(272,5 − 179,6)² = 2,17 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·260³/12 + 4680·(130 − 179,6)² = 3,789 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,17 × 10⁷ + 3,789 × 10⁷ = 5,958 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 179,6 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·179,6/5,958 × 10⁷ = 90,44 MPa

Ответ

σ_низ = 90,44 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = −7,973 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−10, 140 − 70) = −15,95°

Угол на элементе

θ_p = −7,973°

Ответ

θ_p = −7,973°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −77,32 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −120·0,5 + −20·0,866 = −77,32 MPa

Ответ

τ_θ = −77,32 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: θ_A = 0,03255 rad

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Угол поворота θ = dv/dx — это первый интеграл от M/(EI); в согласованных единицах он получается в радианах.

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Угол поворота на конце

θ_A = wL³/(24EI) = 15·5000³/(24·2,4 × 10¹²) = 0,03255 rad

Ответ

θ_A = 0,03255 rad

Это 1,865°.

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 6,335 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 28000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 28000·2500³/(48·1,76 × 10¹²) = 5,179 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 1,156 mm

Сложите

δ_max = 5,179 + 1,156 = 6,335 mm

Ответ

δ_max = 6,335 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 31,09 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2000² = 31089 N = 31,09 kN

Ответ

P_cr = 31,09 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 12,34 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/12,5 = 400

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Ответ

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials