Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 25 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 300 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 100 kN. Найдите укорочение δ.

P = 100 kNстержень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 115 kNучасток 1: Ø35 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)участок 2: Ø20 mm, 0,5 m, латунь (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

При испытании на кручение сплошной образец диаметром 12 mm закручивается моментом 40 N·m. Концы расчётной длины 400 mm поворачиваются друг относительно друга на 11,55° (материал ещё работает упруго). Найдите модуль сдвига G материала.

T = 40 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 11,55°

G = GPa

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) диаметром 40 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 1 m от A действует крутящий момент 100 N·m, а на свободном конце C, ещё на 1 m дальше, — крутящий момент 200 N·m противоположного направления. Найдите величину угла закручивания φ_C конца C в градусах.

d = 40 mmT_B = 100 N·mT_C = 200 N·mAB = 1 mBC = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 3 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 1 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 3 mP = 15 kN в 3 mw = 8 kN/m от 0 до 3 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите изгибающий момент M_B на опоре B. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 10 kN/m от 0 до 8 mопоры при x = 0 и x = 6 m

M_B = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 60 MPa при растяжении и 90 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 80 MPa, σᵧ = −30 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −50 MPa, σᵧ = −40 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 250 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Треска (наибольших касательных напряжений).

σ_x = −50 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 24 kNw = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 27 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюминий)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,02688 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·8482 = 1,116 × 10⁹ N

Укорочение

δ = 100000·300/1,116 × 10⁹ = 0,02688 mm

Ответ

δ = 0,02688 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 366,1 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 119,5 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 366,1 MPa

Ответ

σ_max = 366,1 MPa

3.Кручение валов

Ответ: G = 38,99 GPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции и угол

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 11,55·π/180 = 0,2016 rad

Модуль сдвига

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·400/(2036·0,2016) = 38988 MPa

G = 38,99 GPa

Ответ

G = 38,99 GPa

Для сравнения: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюминий ≈ 26 GPa.

4.Кручение валов

Ответ: φ_C = 0,8549 °

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 100 = 100 N·m

Угол закручивания каждого участка

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 100000·1000/(80000·251327) = 0,004974 rad

φ_BC = 200000·1000/(80000·251327) = 0,009947 rad

Угол закручивания конца C

φ_C = 0,004974 + 0,009947 = 0,01492 rad → |φ_C| = 0,8549°

Ответ

φ_C = 0,8549°

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −46 kN·m

Оставляем часть со свободным концом

P: −15·2 = −30 kN·m

w: −8·2²/2 = −16 kN·m

M_x = −30 − 16 = −46 kN·m

Ответ

M_x = −46 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_B = −20 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·8·4

R_B = 320/6 = 53,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 53,33 = 26,67 kN

Сечение в B, оставляем консольный свес

Нагрузка на свесе, w·a, приложена на расстоянии a/2 от B и создаёт над опорой отрицательный момент (растянуты верхние волокна).

M_B = −w·a²/2 = −10·2²/2 = −20 kN·m

Ответ

M_B = −20 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 3,589 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

стенка: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·107,5 + 1400·50)/2900 = 79,74 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·15³/12 + 1500·(107,5 − 79,74)² = 1,184 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·100³/12 + 1400·(50 − 79,74)² = 2,405 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,184 × 10⁶ + 2,405 × 10⁶ = 3,589 × 10⁶ mm⁴ = 3,589 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 3,589 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 6,991 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (2400·225 + 1760·110)/4160 = 176,3 mm

верхняя кромка: c = 230 − 176,3 = 53,65 mm

Момент инерции сечения

I = 240·10³/12 + 2400·48,65² + 8·220³/12 + 1760·66,35² = 2,055 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 90·2,055 × 10⁷/53,65 = 34,47 kN·m

нижняя кромка: M = 60·2,055 × 10⁷/176,3 = 6,991 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 6,991 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 6,991 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 68,01 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((80 − −30)/2)² + −40²) = 68,01 MPa

Ответ

τ_max = 68,01 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 2,93

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = −45 MPa, R = 40,31 MPa

σ₁ = −4,689 MPa, σ₂ = −85,31 MPa, σ₃ = 0

Треска

σ_max − σ_min = 85,31 MPa

n = 250/85,31 = 2,93

Ответ

n = 2,93

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 33,71 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 24000 N, w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 24000·2500³/(3·5,88 × 10¹²) = 21,26 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 12,46 mm

Сложите

δ = 21,26 + 12,46 = 33,71 mm

Ответ

δ = 33,71 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 14,7 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 27000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 27000·3000³/(48·1,32 × 10¹²) = 11,51 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 3,196 mm

Сложите

δ_max = 11,51 + 3,196 = 14,7 mm

Ответ

δ_max = 14,7 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 151,4 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151,4 kN

Ответ

P_cr = 151,4 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 22,56 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/20 = 175

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/175² = 22,56 MPa

Ответ

σ_cr = 22,56 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials