Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (сталь) под действием осевой нагрузки.

P = 15 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 10 kNучасток 1: Ø40 mm, 1 m, алюминий (E = 70 GPa)участок 2: Ø20 mm, 2 m, алюминий (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 100 N·md = 20 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) передаёт 5 kW при 1500 rpm. Касательное напряжение не должно превышать 50 MPa, а угол закручивания — 0,5° на 1 m длины. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий обоим условиям.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

15 kN @ 2 m5 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

25 kN @ 0 m35 kN @ 6 m10 kN @ 3 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 120 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 90 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Пластина 200 mm × 200 mm имеет прямоугольный вырез шириной 60 mm и высотой 50 mm, расположенный на вертикальной оси симметрии, а его центр находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 200 mmвырез: 60 × 50 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 140 MPa, σᵧ = 40 MPa и τₓᵧ = 20 MPa (растяжение положительно). Элемент повёрнут на 40° против часовой стрелки. Найдите нормальное напряжение σ_y′ на гранях повёрнутого элемента, перпендикулярных повёрнутой оси y′.

σ_x = 140 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 0 MPa, σᵧ = 20 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 30° по часовой стрелке от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 100 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/250. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 3 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 100 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Она должна выдерживать 30 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2. Найдите наименьший диаметр d.

P = 30 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,5595 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/201,1 = 74,6 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 74,6/200000 = 0,000373 = 373 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,000373·1500 mm = 0,5595 mm

Ответ

δ = 0,5595 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 31,83 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 7,958 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 31,83 MPa

Ответ

σ_max = 31,83 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 7,482 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 100·1000·800/(39000·15708) = 0,1306 rad

φ = 0,1306·180/π = 7,482°

Ответ

φ = 7,482°

4.Кручение валов

Ответ: d = 26,11 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Диаметр из условия прочности

T = 31,83 N·m = 31831 N·mm

d_τ = ∛(16·31831/(π·50)) = 14,8 mm

Диаметр из условия жёсткости

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·31831/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 26,11 mm

Определяющий диаметр

Должны выполняться оба условия, поэтому определяющим является больший диаметр.

d = max(14,8, 26,11) = 26,11 mm

Ответ

d = 26,11 mm

Здесь определяющим является условие жёсткости.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 25 kN, R₂ = 20 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 70, M_D = 80 kN·m, M_E = 70, M_F = 40, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 80 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: F (x = 5 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 39,5 kN, R₂ = 54,5 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −13,5, M_D = −8, M_E = −18,5, M_F = −35 kN·m, M_G = 0

Ответ

Отметка F: M_F = −35 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (18000·75 − 706,9·90)/(18000 − 706,9) = 74,39 mm

Целая пластина относительно ȳ

120·150³/12 + 18000·0,6131² = 33,76 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·15,61² = 0,2121 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 33,54 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 131,4 × 10⁶ mm⁴

Центр тяжести

ȳ = (40000·100 − 3000·120)/(40000 − 3000) = 98,38 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·200³/12 + 40000·1,622² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

60·50³/12 + 3000·21,62² = 2,027 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 131,4 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 131,4 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_y′ = 61,62 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Формула преобразования для грани y′

σ_y′ = 90 − 50·0,1736 − 20·0,9848 = 61,62 MPa

Проверка

Сумма нормальных напряжений не меняется при повороте.

σ_x′ = 118,4 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 180 = σ_x + σ_y

Ответ

σ_y′ = 61,62 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = 6,34 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −−10·−0,866 + 30·0,5 = 6,34 MPa

Ответ

τ_θ = 6,34 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 23,01 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 23,01 mm

Ответ

δ = 23,01 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 189,6 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·4000⁴/(384·11000·16) = 5,682 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·5,682 × 10⁷/100)^1/3 = 189,6 mm

Ответ

h_req = 189,6 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 107,9 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/2000² = 107949 N = 107,9 kN

Ответ

P_cr = 107,9 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 68,71 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 68,71 mm

Ответ

d = 68,71 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 349,3, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials