Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 20 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (медь) диаметром 50 mm, длиной 500 mm и E = 120 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,25 mm.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (бронза) диаметром 40 mm, длиной 200 mm и E = 110 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 100 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 250 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 10 kW при 1800 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 40 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 10 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 10 kN/m от 0 до 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 20 kN в 1,5 mw = 10 kN/m от 0 до 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 15 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 15 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa и τₓᵧ = −60 MPa, σ_z = 0. Найдите абсолютное наибольшее касательное напряжение τ_abs в точке (с учётом всех площадок в трёх измерениях).

σ_x = 20 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 90 MPa, σᵧ = −80 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 50° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 3 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена двумя равными сосредоточенными силами P в третях пролёта (на расстоянии L/3 от каждой опоры). Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине пролёта δ_max.

P = 20 kNL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 40 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 40 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 36,25 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2,122 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,25/6,897 × 10⁻⁶ = 36249 N = 36,25 kN

Ответ

P = 36,25 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 69,11 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 100000·691150/795870 = 86842 N

Напряжение

σ₂ = 86842/1257 = 69,11 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 69,11 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 0,4377 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(80000·613592) = 0,007639 rad

φ = 0,007639·180/π = 0,4377°

Ответ

φ = 0,4377°

4.Кручение валов

Ответ: d = 18,9 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·53052/(π·40)) = 18,9 mm

Ответ

d = 18,9 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 20 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 20·2 − 10·2·1 = 20 kN·m

Ответ

M_x = 20 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 35,25 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·1,5 + 10·5·2,5

R_B = 155/5 = 31 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 31 = 39 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 39·3,5 − 20·(3,5 − 1,5) − 10·3,5·1,75 = 35,25 kN·m

Ответ

M_x = 35,25 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 4,456 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

стенка: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·110 + 1200·50)/5200 = 96,15 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·20³/12 + 4000·(110 − 96,15)² = 900197 mm⁴

стенка: 12·100³/12 + 1200·(50 − 96,15)² = 3,556 × 10⁶ mm⁴

I_x = 900197 + 3,556 × 10⁶ = 4,456 × 10⁶ mm⁴ = 4,456 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 4,456 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 20,77 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

стенка: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·295 + 5600·140)/8600 = 194,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·30³/12 + 3000·(295 − 194,1)² = 3,079 × 10⁷ mm⁴

стенка: 20·280³/12 + 5600·(140 − 194,1)² = 5,296 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,079 × 10⁷ + 5,296 × 10⁷ = 8,374 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 310 − 194,1 = 115,9 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·115,9/8,374 × 10⁷ = 20,77 MPa

Ответ

σ_верх = 20,77 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_abs = 69,46 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. В трёх измерениях абсолютное наибольшее касательное напряжение равно (σ_max − σ_min)/2 по всем трём главным напряжениям; при плоском напряжённом состоянии третье из них равно нулю.

Главные напряжения в плоскости

C = −15 MPa, R = √(35² + (−60)²) = 69,46 MPa

σ₁ = 54,46 MPa, σ₂ = −84,46 MPa, σ_z = 0

Наибольший из трёх кругов

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(138,9, 54,46, 84,46)/2 = 69,46 MPa

Ответ

τ_abs = 69,46 MPa

Здесь σ₁ и σ₂ имеют разные знаки, поэтому максимум в плоскости R является и абсолютным максимумом.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = −80,24 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −85·0,9848 + −20·−0,1736 = −80,24 MPa

Ответ

τ_θ = −80,24 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 15,97 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 3000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·3000³/(3·1,12 × 10¹³) = 2,411 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 13,56 mm

Сложите

δ = 2,411 + 13,56 = 15,97 mm

Ответ

δ = 15,97 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 3,985 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 20000 N, L = 4000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Одна сила в точке L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 1,993 mm

Складываем обе силы

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 3,985 mm

Ответ

δ_max = 3,985 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 100,7 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2100² = 100710 N = 100,7 kN

Ответ

P_cr = 100,7 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 48,34 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 48,34 mm

Ответ

d = 48,34 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 173,8, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials