Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (алюминий) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 25 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (бронза) диаметром 60 mm, длиной 500 mm и E = 110 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 100 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Полый вал должен передавать крутящий момент 250 N·m. Его внутренний диаметр должен составлять 0,75 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 60 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 75 kW при 500 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

50 kN @ 10 m6 kN/m, 4–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP = 30 kN в 2 mw = 8 kN/m от 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 110 mm и толщиной 18 mm, полную высоту 220 mm и стенку толщиной 10 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 110 mmH = 220 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 140 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 140 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 140 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −70 MPa, σᵧ = 120 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 45° по часовой стрелке от оси x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на свободном конце. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб δ свободного конца.

P = 19 kNw = 4 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 2 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 15 kNb = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (алюминий)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 7105 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 100·1000/201,1 = 497,4 MPa

Деформация (закон Гука)

E for алюминий = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 497,4/70000 = 0,007105 = 7105 µε

Ответ

ε = 7105 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 28 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 100000·622035/785660 = 79174 N

Напряжение

σ₂ = 79174/2827 = 28 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 28 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d_o = 31,43 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·60·0,6836)) = 31,43 mm

d_i = 0,75·31,43 = 23,57 mm

Ответ

d_o = 31,43 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 27,69 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

4.Кручение валов

Ответ: d = 52,64 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·50)) = 52,64 mm

Ответ

d = 52,64 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 23,33 kN, R₂ = 62,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 46,67, M_C = 93,33, M_D = 128, M_E = 138,7 kN·m, M_F = 125,3, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 138,7 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 72 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2 + 8·6·3

R_B = 204/6 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 34 = 44 kN

Где V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 28 kN

V(2⁺) = 28 − 30 = −2 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 44·2 − 8·2²/2 = 72 kN·m

Ответ

M_max = 72 kN·m

Он достигается при x = 2 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 45,69 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 220 − 2·18 = 184 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·220³ − 100·184³)/12

I_x = 4,569 × 10⁷ mm⁴ = 45,69 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 45,69 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 173,3 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 140·25 = 3500 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

стенка: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3500·112,5 + 1400·50)/4900 = 94,64 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 140·25³/12 + 3500·(112,5 − 94,64)² = 1,298 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·100³/12 + 1400·(50 − 94,64)² = 3,957 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,298 × 10⁶ + 3,957 × 10⁶ = 5,255 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 125 − 94,64 = 30,36 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·30,36/5,255 × 10⁶ = 173,3 MPa

Ответ

σ_верх = 173,3 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 62,65 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((140 − 30)/2)² + 30²) = 62,65 MPa

Ответ

τ_max = 62,65 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 15 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 25 + −95·0 + 10·−1 = 15 MPa

Ответ

σ_θ = 15 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 67,32 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 19000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(3EI) = 19000·2500³/(3·1,76 × 10¹²) = 56,23 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 11,1 mm

Сложите

δ = 56,23 + 11,1 = 67,32 mm

Ответ

δ = 67,32 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 23,04 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 15000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2000²)/3) = 3266 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 23,04 mm

Ответ

δ_max = 23,04 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 195,3 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195,3 kN

Ответ

P_cr = 195,3 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 137,1 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/12,5 = 120

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/120² = 137,1 MPa

Ответ

σ_cr = 137,1 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials