Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 80 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 800 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 50 kN. Найдите укорочение δ.

P = 50 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 30 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa и участок (латунь) диаметром 30 mm, длиной 500 mm и E = 100 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 80 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: латунь, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 50 kW при 1000 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,8 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 50 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 6 m8 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mP = 60 kN в 1,5 mw = 10 kN/m от 0 до 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmM = 10 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 40 MPa, σᵧ = −40 MPa и τₓᵧ = 60 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 30 MPa, σᵧ = −70 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Найдите эквивалентное напряжение по Мизесу σ_vM.

σ_x = 30 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1 m от опоры A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 12 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюминий)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,0987 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 50000·800/4,053 × 10⁸ = 0,0987 mm

Ответ

δ = 0,0987 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 32,34 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·706,9/400 = 353429 N/mm

k₂ = 100000·706,9/500 = 141372 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 80000·141372/494801 = 22857 N

Напряжение

σ₂ = 22857/706,9 = 32,34 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 32,34 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 3,507 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(39000·251327) = 0,06121 rad

φ = 0,06121·180/π = 3,507°

Ответ

φ = 3,507°

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 43,51 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·477465/(π·50·0,5904)) = 43,51 mm

d_i = 0,8·43,51 = 34,81 mm

Ответ

d_o = 43,51 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 36,5 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 6 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 46 kN, R₂ = 46 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 92, M_C = 184, M_D = 260 kN·m, M_E = 184, M_F = 92, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 260 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 40 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1,5 + 10·6·3

R_B = 270/6 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 45 = 75 kN

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 75·5 − 60·(5 − 1,5) − 10·5·2,5 = 40 kN·m

Ответ

M_x = 40 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 38,36 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

стенка: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·265 + 2600·130)/5200 = 197,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·10³/12 + 2600·(265 − 197,5)² = 1,187 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·260³/12 + 2600·(130 − 197,5)² = 2,649 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,187 × 10⁷ + 2,649 × 10⁷ = 3,836 × 10⁷ mm⁴ = 38,36 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 38,36 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 17,41 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

стенка: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·247,5 + 4800·120)/7500 = 165,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·15³/12 + 2700·(247,5 − 165,9)² = 1,803 × 10⁷ mm⁴

стенка: 20·240³/12 + 4800·(120 − 165,9)² = 3,315 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,803 × 10⁷ + 3,315 × 10⁷ = 5,118 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 255 − 165,9 = 89,1 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·89,1/5,118 × 10⁷ = 17,41 MPa

Ответ

σ_верх = 17,41 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = −16,85 °

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = 60/72,11 = 0,8321, sin 2θ_s = −40/72,11 = −0,5547

2θ_s = atan2(−40, 60) = −33,69°

Угол на элементе

θ_s = −16,85°

проверка: θ_s − θ_p = −16,85 − 28,15 = −45°

Ответ

θ_s = −16,85°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_vM = 112,7 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = −20 MPa, R = 64,03 MPa

σ₁ = 44,03 MPa, σ₂ = −84,03 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(44,03² − 44,03·(−84,03) + (−84,03)²) = 112,7 MPa

Ответ

σ_vM = 112,7 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 6,818 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 12000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 12000·1000²·3000²/(3·1,32 × 10¹²·4000) = 6,818 mm

Ответ

δ_P = 6,818 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 6,278 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2500⁴/(384·70000·6,944) = 6,278 × 10⁶ mm⁴

I_req = 6,278 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 6,278 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 22,85 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3000² = 22846 N = 22,85 kN

Ответ

P_cr = 22,85 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 26,99 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

Ответ

σ_cr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials