Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (сталь) под действием осевой нагрузки.

P = 50 kNd = 20 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите наибольшее нормальное напряжение σ_max в стержне.

P = 10 kNучасток 1: Ø30 mm, 1 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø16 mm, 1,5 m, сталь (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) диаметром 50 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 2 m от A действует крутящий момент 750 N·m, а на свободном конце C, ещё на 0,5 m дальше, — крутящий момент 2000 N·m противоположного направления. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 50 mmT_B = 750 N·mT_C = 2000 N·mAB = 2 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 1 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2,5 mP = 80 kN в 1 mw = 10 kN/m от 0 до 2,5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 5 mw = 20 kN/m от 1 до 5 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 35 MPa при растяжении и 90 MPa при сжатии. Найдите наибольший отрицательный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка (укажите его величину).

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 20 MPa, σᵧ = 70 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 100 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Найдите эквивалентное напряжение по Мизесу σ_vM.

σ_x = −10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюминий)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Балка защемлена в A и шарнирно оперта в B (консоль с дополнительной опорой). Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. EI постоянна. Найдите реакцию R_B опоры B.

L = 4 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 20 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 20 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 1,194 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 50·1000/314,2 = 159,2 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 159,2/200000 = 0,0007958 = 795,8 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,0007958·1500 mm = 1,194 mm

Ответ

δ = 1,194 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ_max = 49,74 MPa

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 49,74 MPa

Наибольшее напряжение

У более тонкого участка меньше площадь, поэтому напряжение в нём больше.

σ_max = 49,74 MPa

Ответ

σ_max = 49,74 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 4,04 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(26000·613592) = 0,07052 rad

φ = 0,07052·180/π = 4,04°

Ответ

φ = 4,04°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 81,49 MPa

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 2000 − 750 = 1250 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Участок с наибольшим внутренним моментом имеет наибольшее напряжение (диаметр одинаков).

|T|_max = 2000 N·m

τ_max = 16·2 × 10⁶/(π·50³) = 81,49 MPa

Ответ

τ_max = 81,49 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −60 kN·m

Оставляем часть со свободным концом

P: −80·0,5 = −40 kN·m

w: −10·2²/2 = −20 kN·m

M_x = −40 − 20 = −60 kN·m

Ответ

M_x = −60 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 57,6 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 20·4 = 80 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·4·3

R_B = 240/5 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 48 = 32 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 32/20 = 2,6 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 32·2,6 − 20·1,6²/2 = 57,6 kN·m

Ответ

M_max = 57,6 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 52,7 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

стенка: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·272,5 + 2600·130)/9100 = 231,8 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 260·25³/12 + 6500·(272,5 − 231,8)² = 1,111 × 10⁷ mm⁴

стенка: 10·260³/12 + 2600·(130 − 231,8)² = 4,158 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,111 × 10⁷ + 4,158 × 10⁷ = 5,27 × 10⁷ mm⁴ = 52,7 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 52,7 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 19,51 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (4200·215 + 3600·100)/7800 = 161,9 mm

верхняя кромка: c = 230 − 161,9 = 68,08 mm

Момент инерции сечения

I = 140·30³/12 + 4200·53,08² + 18·200³/12 + 3600·61,92² = 3,795 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Отрицательный момент: верх растянут, низ сжат.

верхняя кромка: M = 35·3,795 × 10⁷/68,08 = 19,51 kN·m

нижняя кромка: M = 90·3,795 × 10⁷/161,9 = 21,09 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 19,51 kN·m (верхняя кромка)

Ответ

M_allow = 19,51 kN·m

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 26,93 MPa

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((20 − 70)/2)² + 10²) = 26,93 MPa

Ответ

τ_max = 26,93 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_vM = 117,5 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = 45 MPa, R = 62,65 MPa

σ₁ = 107,6 MPa, σ₂ = −17,65 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(107,6² − 107,6·(−17,65) + (−17,65)²) = 117,5 MPa

Ответ

σ_vM = 117,5 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 9,04 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 10·3000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 9,04 mm

Ответ

δ = 9,04 mm

12.Прогиб балки

Ответ: R_B = 12 kN

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции). Для статически неопределимой балки отбросьте лишнюю опору и потребуйте, чтобы прогиб в этом месте был равен нулю (условие совместности).

Отбрасываем опору

Без опоры балка становится консолью. Её свободный конец прогнулся бы под нагрузкой.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Условие совместности на опоре

Одна сила реакции опоры R_B поднимает свободный конец на R_BL³/(3EI). Опора удерживает B с нулевым прогибом, поэтому эти прогибы должны взаимно погаситься. EI сокращается.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN

Ответ

R_B = 12 kN

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 4,858 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·2000 = 4000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/4000² = 4858 N = 4,858 kN

Ответ

P_cr = 4,858 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 37,9 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 37,9 mm

Ответ

d = 37,9 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 211,1, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials