Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 25 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (медь) с наружным диаметром 120 mm, внутренним диаметром 50 mm и E = 120 GPa. Длина обоих — 800 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 300 kN. Найдите укорочение δ.

P = 300 kNстержень: Ø25 mm, E = 200 GPaтруба: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 20 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 60 mm, длиной 500 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 20 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (алюминий) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 250 N·md = 40 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 15 kW при 1800 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,75 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 15 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

60 kN @ 2 m60 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

55 kN @ 0 m30 kN @ 6 m10 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Полое прямоугольное (коробчатое) сечение имеет наружную ширину B = 220 mm, наружную высоту H = 400 mm и одинаковую толщину стенок t = 18 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

B = 220 mmH = 400 mmt = 18 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Симметричный двутавр имеет полки шириной 210 mm и толщиной 22 mm, полную высоту 380 mm и стенку толщиной 8 mm. Оно воспринимает изгибающий момент 40 kN·m относительно оси x. Найдите величину наибольшего нормального напряжения при изгибе σ_max в сечении.

B = 210 mmH = 380 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 140 MPa и σᵧ = −40 MPa. До какой величины может возрасти касательное напряжение τ_xy (по модулю), прежде чем наибольшее главное напряжение достигнет 155 MPa?

σ_x = 140 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 155 MPa

τ_xy = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Тонкостенный цилиндрический резервуар с внутренним диаметром 400 mm и толщиной стенки 8 mm содержит газ под избыточным давлением 3 MPa. Он изготовлен из листа, сваренного по винтовому шву под углом 35° к оси цилиндра. Найдите величину касательного напряжения |τ_n|, действующего вдоль сварного шва.

D = 400 mmt = 8 mmp = 3 MPaα = 35°

|τ_n| = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w и сосредоточенной силой P в середине пролёта. Используя принцип суперпозиции, найдите прогиб в середине δ_max.

P = 3 kNw = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и свободна вверху. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюминий)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,1968 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·9346 = 1,22 × 10⁹ N

Укорочение

δ = 300000·800/1,22 × 10⁹ = 0,1968 mm

Ответ

δ = 0,1968 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 6,128 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·2827/500 = 678584 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 20000·678584/783304 = 17326 N

Напряжение

σ₂ = 17326/2827 = 6,128 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 6,128 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 6,576 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 250·1000·3000/(26000·251327) = 0,1148 rad

φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Ответ

φ = 6,576°

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 19,92 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 79,58 N·m = 79577 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·79577/(π·75·0,6836)) = 19,92 mm

d_i = 0,75·19,92 = 14,94 mm

Ответ

d_o = 19,92 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 17,55 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: C (x = 2 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 50 kN, R₂ = 70 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 100 kN·m, M_D = 90, M_E = 80, M_F = 70, M_G = 0

Ответ

Отметка C: M_C = 100 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: B (x = 1 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 66,25 kN, R₂ = 28,75 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = −43,75, M_D = −32,5, M_E = −31,25, M_F = −30, M_G = 0

Ответ

Отметка B: M_B = −55 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 143,6 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

b = 184 mm, h = 364 mm

A = BH − bh = 220·400 − 184·364 = 21024 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 4,338 × 10⁸ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(4,338 × 10⁸/21024) = 143,6 mm

Ответ

r = 143,6 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_max = 23,62 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 380 − 2·22 = 336 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·380³ − 202·336³)/12

I_x = 3,217 × 10⁸ mm⁴

Напряжение изгиба

y = 190 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·190/3,217 × 10⁸ = 23,62 MPa

Ответ

σ_max = 23,62 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_xy = 54,08 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Требуемый радиус

C = (140 + (−40))/2 = 50 MPa

R = σ₁ − C = 155 − 50 = 105 MPa

Касательное напряжение

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 90²) = 54,08 MPa

Ответ

τ_xy = 54,08 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: |τ_n| = 17,62 MPa

Напряжения в стенке

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 3·200/8 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37,5 MPa

Преобразование к шву

Направьте x вдоль оси (σ_a), а y по окружности (σ_h). Нормаль к шву составляет с осью угол 90° − α.

|τ_n| = (75 − 37,5)·sin 35°·cos 35° = 17,62 MPa

Ответ

|τ_n| = 17,62 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 8,889 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 8,889 mm

Ответ

δ = 8,889 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 28,76 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 3000 N, w = 2 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Каждая нагрузка отдельно

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·3000³/(48·1,32 × 10¹¹) = 12,78 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 15,98 mm

Сложите

δ_max = 12,78 + 15,98 = 28,76 mm

Ответ

δ_max = 28,76 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 23,87 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2100² = 23872 N = 23,87 kN

Ответ

P_cr = 23,87 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 9,715 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/15 = 266,7

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266,7² = 9,715 MPa

Ответ

σ_cr = 9,715 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials