Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (латунь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 25 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 40 mm, длиной 300 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 50 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Ступенчатый сплошной вал (сталь) заделан в A. Участок AB имеет диаметр 50 mm и длину 0,5 m; участок BC — диаметр 25 mm и длину 1 m. На свободном конце C действует крутящий момент 500 N·m. Найдите угол закручивания φ_C конца C в градусах.

T = 500 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Кручение валовСложная

Полый вал должен передавать 5 kW при 750 rpm. Его внутренний диаметр должен составлять 0,5 от наружного, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший наружный диаметр d_o.

P = 5 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 6 mw = 8 kN/m от 0 до 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 6 mP = 30 kN в 3 mw = 3 kN/m от 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Круглая труба имеет наружный диаметр D = 120 mm и внутренний диаметр d = 100 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.

D = 120 mmd = 100 mm

r = mm

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 20 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 180 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 20 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = 160 MPa, σᵧ = 0 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Элемент повёрнут на 20° против часовой стрелки. Найдите нормальное напряжение σ_y′ на гранях повёрнутого элемента, перпендикулярных повёрнутой оси y′.

σ_x = 160 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 60 MPa, σᵧ = 60 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 45° по часовой стрелке от оси x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 2 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюминий)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 6 mE = 70 GPa (алюминий)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 2735 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/100000 = 0,002735 = 2735 µε

Ответ

ε = 2735 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 30,02 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·1257/300 = 502655 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 50000·502655/666279 = 37721 N

Напряжение

σ₂ = 37721/1257 = 30,02 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 30,02 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ_C = 9,63 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярные моменты инерции

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Угол закручивания каждого участка

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 500000·500/(80000·613592) = 0,005093 rad

φ_BC = 500000·1000/(80000·38350) = 0,163 rad

Полный угол закручивания

φ_C = 0,005093 + 0,163 = 0,1681 rad = 9,63°

Ответ

φ_C = 9,63°

4.Кручение валов

Ответ: d_o = 19,05 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Наружный диаметр по допускаемому напряжению

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·50·0,9375)) = 19,05 mm

d_i = 0,5·19,05 = 9,527 mm

Ответ

d_o = 19,05 mm

Сплошному валу потребовался бы d = 18,65 mm; полый немного больше, но гораздо легче.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 11 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Рассеките в x = 5,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 24·5,5 − 8·5,5·2,75 = 11 kN·m

Ответ

M_x = 11 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 58,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, приложена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·3 + 3·6·3

R_B = 144/6 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Где V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 15 kN

V(3⁺) = 15 − 30 = −15 kN

Поперечная сила меняет знак под силой, поэтому максимум находится под силой.

Наибольший момент

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 24·3 − 3·3²/2 = 58,5 kN·m

Ответ

M_max = 58,5 kN·m

Он достигается при x = 3 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: r = 39,05 mm

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.

Площадь и момент инерции нетто

A = π(D² − d²)/4 = 3456 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,27 × 10⁶ mm⁴

Радиус инерции

r = √(I/A) = √(5,27 × 10⁶/3456) = 39,05 mm

Ответ

r = 39,05 mm

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 266,4 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 180·15 = 2700 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

стенка: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2700·127,5 + 1920·60)/4620 = 99,45 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 180·15³/12 + 2700·(127,5 − 99,45)² = 2,175 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·120³/12 + 1920·(60 − 99,45)² = 5,292 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,175 × 10⁶ + 5,292 × 10⁶ = 7,467 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 99,45 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·99,45/7,467 × 10⁶ = 266,4 MPa

Ответ

σ_низ = 266,4 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_y′ = 50,86 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Формула преобразования для грани y′

σ_y′ = 80 − 80·0,766 − (−50)·0,6428 = 50,86 MPa

Проверка

Сумма нормальных напряжений не меняется при повороте.

σ_x′ = 109,1 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Ответ

σ_y′ = 50,86 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 20 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 60 + 0·0 + 40·−1 = 20 MPa

Ответ

σ_θ = 20 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 2,127 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 1500 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 2·1500⁴/(8·5,95 × 10¹¹) = 2,127 mm

Ответ

δ = 2,127 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 11,72 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,172 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11,72 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 11,72 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 3,004 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2100² = 3004 N = 3,004 kN

Ответ

P_cr = 3,004 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 1,919 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·6000 = 6000 mm

KL/r = 6000/10 = 600

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/600² = 1,919 MPa

Ответ

σ_cr = 1,919 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials