Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Брус состоит из участка (сталь) диаметром 20 mm, длиной 300 mm и E = 200 GPa, соединённого встык с участком (алюминий) диаметром 60 mm, длиной 500 mm и E = 70 GPa. Один конец закреплён, к другому приложена растягивающая сила. Найдите осевую нагрузку P, которая удлиняет его в сумме на 0,2 mm.

участок 1: сталь, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 40 mm, длиной 400 mm и E = 200 GPa и участок (бронза) диаметром 40 mm, длиной 500 mm и E = 110 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 20 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaучасток 2: бронза, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 400 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (алюминий) диаметром 60 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 0,8 m от A действует крутящий момент 250 N·m, а на свободном конце C, ещё на 2 m дальше, — крутящий момент 750 N·m противоположного направления. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 60 mmT_B = 250 N·mT_C = 750 N·mAB = 0,8 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mw = 3 kN/m от 0 до 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 8 mw = 16 kN/m от 2 до 8 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 40 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке σₓ = −60 MPa, σᵧ = −10 MPa и τₓᵧ = −20 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_s в пределах от −90° до 90° от оси x до нормали к площадке, на которой касательное напряжение достигает наибольшего положительного значения +R (касательное напряжение положительно в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

Точка тонкой пластины находится в плоском напряжённом состоянии: σₓ = 0 MPa, σᵧ = −70 MPa и τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Предел текучести материала равен 460 MPa. Найдите коэффициент запаса по текучести n по критерию Мизеса (энергии формоизменения).

σ_x = 0 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.Прогиб балкиСредняя

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Найдите наибольший прогиб δ_max в середине пролёта.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая деревянная балка прямоугольного сечения шириной 125 mm нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту. Её прогиб в середине пролёта не должен превышать пролёт/300. Найдите наименьшую высоту h_req сечения.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)b = 125 mm

h_req = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Найдите её гибкость и критическое напряжение σ_cr по формуле Эйлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: P = 27,39 kN

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Податливости

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2,526 × 10⁻⁶ mm/N

Нагрузка

P = 0,2/7,301 × 10⁻⁶ = 27394 N = 27,39 kN

Ответ

P = 27,39 kN

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 4,863 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 20000·276460/904779 = 6111 N

Напряжение

σ₂ = 6111/1257 = 4,863 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 4,863 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 5,845 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(39000·251327) = 0,102 rad

φ = 0,102·180/π = 5,845°

Ответ

φ = 5,845°

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 17,68 MPa

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 750 N·m

T_AB = T_C − T_B = 750 − 250 = 500 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Участок с наибольшим внутренним моментом имеет наибольшее напряжение (диаметр одинаков).

|T|_max = 750 N·m

τ_max = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

Ответ

τ_max = 17,68 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 5,625 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Рассеките в x = 2,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 6·2,5 − 3·2,5·1,25 = 5,625 kN·m

Ответ

M_x = 5,625 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 112,5 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 16·6 = 96 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 16·6·5

R_B = 480/8 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 60 = 36 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 36/16 = 4,25 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 36·4,25 − 16·2,25²/2 = 112,5 kN·m

Ответ

M_max = 112,5 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 45,15 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 240 + 25/2 = 252,5 mm

стенка: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·252,5 + 3840·120)/6340 = 172,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·25³/12 + 2500·(252,5 − 172,2)² = 1,623 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·240³/12 + 3840·(120 − 172,2)² = 2,891 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,623 × 10⁷ + 2,891 × 10⁷ = 4,515 × 10⁷ mm⁴ = 45,15 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 45,15 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 270,9 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 220 + 20/2 = 230 mm

стенка: A_w = 10·220 = 2200 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·230 + 2200·110)/4600 = 172,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·20³/12 + 2400·(230 − 172,6)² = 7,985 × 10⁶ mm⁴

стенка: 10·220³/12 + 2200·(110 − 172,6)² = 1,75 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,985 × 10⁶ + 1,75 × 10⁷ = 2,548 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 172,6 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·172,6/2,548 × 10⁷ = 270,9 MPa

Ответ

σ_низ = 270,9 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_s = 64,33 °

Угол на круге

На круге Мора верхняя точка (+R) отстоит от главной точки σ₁ на 90°; на элементе это соответствует 45°.

cos 2θ_s = −20/32,02 = −0,6247, sin 2θ_s = −(−25)/32,02 = 0,7809

2θ_s = atan2(25, −20) = 128,7°

Угол на элементе

θ_s = 64,33°

проверка: θ_s − θ_p = 64,33 − (−70,67) = 135°

Ответ

θ_s = 64,33°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: n = 4,671

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R. Критерии текучести: по Мизесу текучесть наступает, когда σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) достигает σ_Y; по Треска — когда абсолютное наибольшее касательное напряжение достигает σ_Y/2.

Главные напряжения

C = −35 MPa, R = 53,15 MPa

σ₁ = 18,15 MPa, σ₂ = −88,15 MPa, σ₃ = 0

Мизес

σ_vM = √(18,15² − 18,15·(−88,15) + (−88,15)²) = 98,49 MPa

n = 460/98,49 = 4,671

Ответ

n = 4,671

n > 1 означает, что в точке нет текучести; критерий Треска немного консервативнее критерия Мизеса.

11.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 1,225 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 1,225 mm

Ответ

δ_max = 1,225 mm

12.Прогиб балки

Ответ: h_req = 145,9 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Ограничение прогиба

δ_allow = L/300 = 4500/300 = 15 mm

Требуемый момент инерции

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·15) = 3,236 × 10⁷ mm⁴

Требуемая высота

bh³/12 = I_req → h = (12·3,236 × 10⁷/125)^1/3 = 145,9 mm

Ответ

h_req = 145,9 mm

На практике выберите ближайшую большую стандартную высоту.

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 640,7 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1400² = 640691 N = 640,7 kN

Ответ

P_cr = 640,7 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: σ_cr = 71,06 MPa

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Радиус инерции и гибкость

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166,7

Критическое напряжение

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166,7² = 71,06 MPa

Ответ

σ_cr = 71,06 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials