Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите осевую деформацию ε в стержне (сталь) в микродеформациях (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Ступенчатый стержень заделан в стену и нагружен на свободном конце. Найдите полное удлинение δ.

P = 50 kNучасток 1: Ø35 mm, 0,5 m, медь (E = 117 GPa)участок 2: Ø16 mm, 1,5 m, латунь (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Кручение валовСредняя

При испытании на кручение сплошной образец диаметром 12 mm закручивается моментом 20 N·m. Концы расчётной длины 200 mm поворачиваются друг относительно друга на 4,33° (материал ещё работает упруго). Найдите модуль сдвига G материала.

T = 20 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 4,33°

G = GPa

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал (сталь) диаметром 30 mm заделан в A. В точке B на расстоянии 0,5 m от A действует крутящий момент 200 N·m, а на свободном конце C, ещё на 2,5 m дальше, — крутящий момент 1000 N·m противоположного направления. Найдите наибольшее касательное напряжение τ_max в валу.

d = 30 mmT_B = 200 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,5 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

25 kN @ 4 m50 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всему пролёту и сосредоточенной силой P. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 4 mP = 35 kN в 1 mw = 12 kN/m от 0 до 4 m

M_max = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 25 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_низ = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = −70 MPa, σᵧ = 70 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = −70 MPa, σᵧ = −80 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите касательное напряжение τ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 50° против часовой стрелки от оси x (положительное в том же смысле, что и τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине. Найдите прогиб δ свободного конца.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии b = 1,5 m от опоры B. Найдите наибольший прогиб δ_max балки.

P = 8 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) шарнирно оперта с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. Она должна выдерживать 90 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 90 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: ε = 495,1 µε

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/706,9 = 99,03 MPa

Деформация (закон Гука)

E for сталь = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 99,03/200000 = 0,0004951 = 495,1 µε

Ответ

ε = 495,1 µε

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 3,952 mm

Стержни при осевой нагрузке: каждый призматический участок подчиняется δ = PL/(AE). Для последовательных участков удлинения складываются.

Одинаковая сила на обоих участках

Свободный конец воспринимает P, поэтому каждое сечение стержня передаёт одну и ту же осевую силу P. Меняются только площади и материалы.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 51,97 MPa

σ₂ = 248,7 MPa

Сложите удлинения участков

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,97·500/117000 = 0,2221 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 248,7·1500/100000 = 3,73 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,952 mm

Ответ

δ = 3,952 mm

3.Кручение валов

Ответ: G = 26 GPa

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции и угол

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 4,33·π/180 = 0,07557 rad

Модуль сдвига

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(2036·0,07557) = 26000 MPa

G = 26 GPa

Ответ

G = 26 GPa

Для сравнения: сталь ≈ 80 GPa, латунь ≈ 39 GPa, алюминий ≈ 26 GPa.

4.Кручение валов

Ответ: τ_max = 188,6 MPa

Внутренние крутящие моменты

Направление T_C принято положительным.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 200 = 800 N·m

Наибольшее касательное напряжение

Участок с наибольшим внутренним моментом имеет наибольшее напряжение (диаметр одинаков).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188,6 MPa

Ответ

τ_max = 188,6 MPa

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: D (x = 3 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 41,67 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 33,33, M_C = 66,67, M_D = 100 kN·m, M_E = 83,33, M_F = 41,67, M_G = 0

Ответ

Отметка D: M_D = 100 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 44,69 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·4 = 48 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1 + 12·4·2

R_B = 131/4 = 32,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 32,75 = 50,25 kN

Где V = 0?

R_A − P − w·x₀ = 0 → x₀ = (50,25 − 35)/12 = 1,271 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − P·(x₀ − 1) − w·x₀²/2 = 44,69 kN·m

Ответ

M_max = 44,69 kN·m

Он достигается при x = 1,271 m от A.

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 3,767 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

стенка: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·110 + 1200·50)/3200 = 87,5 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 100·20³/12 + 2000·(110 − 87,5)² = 1,079 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·100³/12 + 1200·(50 − 87,5)² = 2,688 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,079 × 10⁶ + 2,688 × 10⁶ = 3,767 × 10⁶ mm⁴ = 3,767 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 3,767 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 336,9 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

стенка: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·145 + 1680·70)/4480 = 116,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·10³/12 + 2800·(145 − 116,9)² = 2,238 × 10⁶ mm⁴

стенка: 12·140³/12 + 1680·(70 − 116,9)² = 6,435 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,238 × 10⁶ + 6,435 × 10⁶ = 8,674 × 10⁶ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 116,9 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·116,9/8,674 × 10⁶ = 336,9 MPa

Ответ

σ_низ = 336,9 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 80,62 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((−70 − 70)/2)² + −40²) = 80,62 MPa

Ответ

τ_max = 80,62 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_θ = 2,022 MPa

Формула преобразования

τ_θ = −5·0,9848 + −40·−0,1736 = 2,022 MPa

Ответ

τ_θ = 2,022 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ = 2,109 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогиб

δ = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 2,109 mm

Ответ

δ = 2,109 mm

12.Прогиб балки

Ответ: δ_max = 19,89 mm

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 8000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Положение максимума

Приравнивание угла поворота на более длинном участке к нулю даёт положение.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Максимальный прогиб

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 19,89 mm

Ответ

δ_max = 19,89 mm

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 53,97 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Расчётная длина

KL = 1·1000 = 1000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1000² = 53974 N = 53,97 kN

Ответ

P_cr = 53,97 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 110,4 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·90000 = 225000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 110,4 mm

Ответ

d = 110,4 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 289,8, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials