Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Найдите удлинение δ стержня (латунь) под действием осевой нагрузки.

P = 30 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 25 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (медь) диаметром 30 mm, длиной 200 mm и E = 120 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 60 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: медь, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (сталь) заделан в стену и закручивается моментом T на свободном конце. Найдите угол закручивания φ свободного конца в градусах.

T = 750 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 75 kW при 1000 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 50 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 2,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 0,5 m от заделки A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mP = 50 kN в 2,5 mw = 5 kN/m от 0 до 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 10 mP = 25 kN в 6 mw = 8 kN/m от 0 до 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 45 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 150 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Сварной двутавр имеет верхнюю полку 190 × 14 mm, стенку высотой 150 mm и толщиной 12 mm и нижнюю полку 150 × 12 mm (ширина × толщина). Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

верхняя полка: 190 × 14 mmстенка: 12 × 150 mmнижняя полка: 150 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 120 MPa, σᵧ = 10 MPa и τₓᵧ = 10 MPa (растяжение положительно). Найдите наибольшее касательное напряжение в плоскости τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 150 MPa, σᵧ = 30 MPa и τₓᵧ = −50 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 30° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 3,5 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 4 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюминий)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и свободна вверху. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена с обоих концов. Она должна выдерживать 10 kN с коэффициентом запаса устойчивости 2,5. Найдите наименьший диаметр d.

P = 10 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 3,979 mm

Закон Гука: в упругой области σ = E·ε. Вместе с σ = P/A и ε = δ/L это даёт δ = PL/(AE).

Напряжение

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/113,1 = 265,3 MPa

Деформация (закон Гука)

E for латунь = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 265,3/100000 = 0,002653 = 2653 µε

Удлинение

δ = ε·L = 0,002653·1500 mm = 3,979 mm

Ответ

δ = 3,979 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 61,25 MPa

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Жёсткости

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·706,9/200 = 424115 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 60000·424115/587740 = 43296 N

Напряжение

σ₂ = 43296/706,9 = 61,25 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 61,25 MPa

3.Кручение валов

Ответ: φ = 11,21 °

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Полярный момент инерции

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Угол закручивания

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(80000·38350) = 0,1956 rad

φ = 0,1956·180/π = 11,21°

Ответ

φ = 11,21°

4.Кручение валов

Ответ: d = 41,78 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·716197/(π·50)) = 41,78 mm

Ответ

d = 41,78 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = −150,6 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −50·2 = −100 kN·m

w: −5·4,5²/2 = −50,63 kN·m

M_x = −100 − 50,63 = −150,6 kN·m

Ответ

M_x = −150,6 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 150 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, приложена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 25·6 + 8·10·5

R_B = 550/10 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 55 = 50 kN

Рассеките в x = 5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 50·5 − 8·5·2,5 = 150 kN·m

Ответ

M_x = 150 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 55,56 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·75 − 706,9·45)/(30000 − 706,9) = 75,72 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·150³/12 + 30000·−0,7239² = 56,27 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−30,72² = 0,707 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 55,56 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 55,56 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 32,3 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на три прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

верхняя полка: A = 2660 mm², y = 169 mm

стенка: A = 1800 mm², y = 87 mm

нижняя полка: A = 1800 mm², y = 6 mm

Центр тяжести

ȳ = (2660·169 + 1800·87 + 1800·6)/6260 = 98,55 mm

Теорема о параллельном переносе осей

верхняя полка: 190·14³/12 + 2660·70,45² = 1,324 × 10⁷ mm⁴

стенка: 12·150³/12 + 1800·11,55² = 3,615 × 10⁶ mm⁴

нижняя полка: 150·12³/12 + 1800·92,55² = 1,544 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,324 × 10⁷ + 3,615 × 10⁶ + 1,544 × 10⁷

I_x = 3,23 × 10⁷ mm⁴ = 32,3 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 32,3 × 10⁶ mm⁴

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: τ_max = 55,9 MPa

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Радиус круга Мора

τ_max = R = √(((120 − 10)/2)² + 10²) = 55,9 MPa

Ответ

τ_max = 55,9 MPa

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = 76,7 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 90 + 60·0,5 + −50·0,866 = 76,7 MPa

Ответ

σ_θ = 76,7 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 14,33 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 4000 N, a = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 4000·3500³/(3·3,99 × 10¹²) = 14,33 mm

Ответ

δ_P = 14,33 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 21,57 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·1500⁴/(384·11000·4,167) = 2,157 × 10⁷ mm⁴

I_req = 21,57 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 21,57 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 12,56 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

У круглого сечения одинаковый I относительно любой оси.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Расчётная длина

KL = 2·5000 = 10000 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/10000² = 12558 N = 12,56 kN

Ответ

P_cr = 12,56 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 19,52 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·750²/(π³·200000))^(1/4) = 19,52 mm

Ответ

d = 19,52 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 153,7, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials