Сопротивление материалов: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (14) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Осевое напряжение и деформация

Нормальное напряжение: σ = F/A
Деформация: ε = ΔL/L
Закон Гука: σ = E·ε
Удлинение: ΔL = FL/(EA)
Температурная деформация: ε_T = α·ΔT

Кручение валов

Касательное напряжение: τ = T·r/J
Сплошной вал: J = πd⁴/32
Полый вал: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Угол закручивания: φ = TL/(GJ)
Мощность: P = T·ω = 2πnT/60

Метод

Найдите полярный момент инерции сечения: J = πd⁴/32 для сплошного вала.
Касательное напряжение на поверхности: τ = T·r/J, где r — наружный радиус.
Угол закручивания: φ = TL/(GJ) в радианах.
Если дана мощность, сначала найдите крутящий момент по P = T·ω, ω = 2πn/60.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Круг Мора и преобразование напряжений

Центр: C = (σ_x + σ_y)/2
Радиус: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Главные напряжения: σ_1,2 = C ± R
Главное направление: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Наклонная площадка: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Метод

Вычислите центр круга Мора: C = (σx + σy)/2.
Вычислите радиус: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.
Углы на круге вдвое больше углов на элементе: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Прогиб балки

Сосредоточенная сила в середине пролёта: δ = PL³/(48EI)
Равномерная нагрузка, шарнирно опёртая балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на конце: δ = PL³/(3EI)
Консоль, равномерная нагрузка: δ = wL⁴/(8EI)
Метод наложения: δ = δ₁ + δ₂

Устойчивость колонн

Критическая сила Эйлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коэффициент расчётной длины: K = 1 шарнир–шарнир, 0,5 заделка–заделка, 0,7 заделка–шарнир, 2 заделка–свободный конец
Критическое напряжение: σ_cr = P_cr/A
Гибкость: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Тренировочные задачи

1.Осевое напряжение и деформацияСредняя

Стержень (сталь) диаметром 30 mm и E = 200 GPa находится внутри трубы (латунь) с наружным диаметром 80 mm, внутренним диаметром 60 mm и E = 100 GPa. Длина обоих — 800 mm, и они вместе сжимаются между жёсткими плитами силой 100 kN. Найдите укорочение δ.

P = 100 kNстержень: Ø30 mm, E = 200 GPaтруба: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Осевое напряжение и деформацияСложная

Участок (сталь) диаметром 25 mm, длиной 600 mm и E = 200 GPa и участок (алюминий) диаметром 50 mm, длиной 400 mm и E = 70 GPa соединены встык и зажаты между двумя жёсткими стенами. В месте стыка действует осевая нагрузка 40 kN в сторону участка 2. Найдите модуль напряжения σ₂ на участке 2.

участок 1: сталь, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaучасток 2: алюминий, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Кручение валовСредняя

Сплошной вал (латунь) длиной 3 m передаёт крутящий момент 100 N·m. Угол закручивания между его концами не должен превышать 0,5°. Найдите наименьший диаметр d, удовлетворяющий этому условию.

T = 100 N·mL = 3 mG = 39 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Кручение валовСложная

Сплошной вал должен передавать 75 kW при 500 об/мин, а касательное напряжение не должно превышать 75 MPa. Найдите наименьший подходящий диаметр d.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

45 kN @ 8 m8 kN/m, 4–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

45 kN @ 0 m50 kN @ 12 m12 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Симметричный двутавр имеет полки шириной 210 mm и толщиной 12 mm, полную высоту 440 mm и стенку толщиной 8 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной центральной оси x.

B = 210 mmH = 440 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

9.Круг Мора и преобразование напряженийСредняя

В точке нагруженной детали σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa и τₓᵧ = 30 MPa (растяжение положительно). Найдите угол θ_p от оси x до направления наибольшего главного напряжения в пределах от −90° до 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Круг Мора и преобразование напряженийСложная

В точке нагруженной детали σₓ = 110 MPa, σᵧ = −60 MPa и τₓᵧ = −40 MPa (растяжение положительно). Найдите нормальное напряжение σ_θ на площадке, нормаль к которой повёрнута на 50° против часовой стрелки от оси x.

σ_x = 110 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Прогиб балкиСредняя

Консоль длиной L защемлена в A и нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии a = 1,5 m от A. Найдите прогиб δ_P под силой.

P = 6 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (алюминий)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Прогиб балкиСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой w. Её прогиб не должен превышать пролёт/360. Найдите наименьший момент инерции I_req, удовлетворяющий этому условию.

w = 15 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (конструкционная древесина)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колоннСредняя

Колонна длиной L из материала (алюминий) защемлена с обоих концов. По формуле Эйлера найдите её критическую силу P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (алюминий)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Устойчивость колоннСложная

Сплошная круглая колонна длиной L из материала (сталь) защемлена внизу и шарнирно оперта вверху. Она должна выдерживать 25 kN с коэффициентом запаса устойчивости 3. Найдите наименьший диаметр d.

P = 25 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

3Растворы

1.Осевое напряжение и деформация

Ответ: δ = 0,2214 mm

Два материала: при последовательном соединении (один за другим) каждый участок воспринимает одну и ту же силу, а удлинения складываются: δ = P·Σ L/(E·A). При параллельном соединении (рядом между жёсткими плитами) обе части укорачиваются на одну и ту же величину, поэтому их деформации равны: более жёсткая часть берёт большую долю, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, а σ_i = E_i·ε. Стержень, зажатый между двумя жёсткими стенами с нагрузкой в месте стыка, статически неопределим: два участка делят нагрузку пропорционально своей жёсткости k = EA/L.

Площади

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Суммарная осевая жёсткость

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·2199 = 3,613 × 10⁸ N

Укорочение

δ = 100000·800/3,613 × 10⁸ = 0,2214 mm

Ответ

δ = 0,2214 mm

2.Осевое напряжение и деформация

Ответ: σ₂ = 13,8 MPa

Жёсткости

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm

Доля участка 2

F₂ = 40000·343612/507236 = 27097 N

Напряжение

σ₂ = 27097/1963 = 13,8 MPa (сжатие)

Ответ

σ₂ = 13,8 MPa

3.Кручение валов

Ответ: d = 54,74 mm

Кручение круглых валов: касательное напряжение линейно растёт от нуля в центре до τ_max = T·r/J на поверхности, где J = πd⁴/32 для сплошного вала и J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 для полого. Угол закручивания φ = TL/(GJ) в радианах. Мощность и крутящий момент связаны как P = T·ω.

Требуемый полярный момент инерции

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·3000/(39000·0,008727) = 881474 mm⁴

Диаметр

d = (32J/π)^1/4 = 54,74 mm

Ответ

d = 54,74 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

4.Кручение валов

Ответ: d = 45,99 mm

Крутящий момент

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

Диаметр по допускаемому напряжению

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,432 × 10⁶/(π·75)) = 45,99 mm

Ответ

d = 45,99 mm

На практике округляют до ближайшего большего стандартного размера.

5.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 31 kN, R₂ = 46 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 62, M_C = 124, M_D = 170, M_E = 184 kN·m, M_F = 92, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 184 kN·m

6.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 62,67 kN, R₂ = 104,3 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −78,67, M_D = −115,3, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = −200 kN·m

7.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 278,9 × 10⁶ mm⁴

Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = I_c + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна.

Наружный прямоугольник минус два боковых выреза

Оба выреза вместе имеют ширину (B − t_w) и высоту h_w = H − 2t_f и отнесены к оси x.

h_w = 440 − 2·12 = 416 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·440³ − 202·416³)/12

I_x = 2,789 × 10⁸ mm⁴ = 278,9 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 278,9 × 10⁶ mm⁴

8.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 70,77 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

стенка: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·225 + 3520·110)/5720 = 154,2 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 220·10³/12 + 2200·(225 − 154,2)² = 1,104 × 10⁷ mm⁴

стенка: 16·220³/12 + 3520·(110 − 154,2)² = 2,108 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,104 × 10⁷ + 2,108 × 10⁷ = 3,212 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 230 − 154,2 = 75,77 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·75,77/3,212 × 10⁷ = 70,77 MPa

Ответ

σ_верх = 70,77 MPa

9.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: θ_p = 35,78 °

Преобразование напряжений при плоском напряжённом состоянии: на площадке, повёрнутой на угол θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Круг Мора показывает все площадки сразу: его центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радиус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Главные напряжения равны C ± R, а наибольшее касательное напряжение в плоскости равно R.

Угол на круге

На круге Мора точка x лежит под углом 2θp к оси σ; четверть определяется знаками σₓ − σᵧ и τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 120 − 100) = 71,57°

Угол на элементе

θ_p = 35,78°

Ответ

θ_p = 35,78°

Положительные углы отсчитываются против часовой стрелки.

10.Круг Мора и преобразование напряжений

Ответ: σ_θ = −29,15 MPa

Формула преобразования

σ_θ = 25 + 85·−0,1736 + −40·0,9848 = −29,15 MPa

Ответ

σ_θ = −29,15 MPa

11.Прогиб балки

Ответ: δ_P = 1,148 mm

Прогиб балок: прогибы получают двукратным интегрированием кривизны M/(EI). Типовые случаи сведены в таблицы, например PL³/(3EI) для консоли с силой на конце и 5wL⁴/(384EI) для шарнирно опёртой балки с равномерной нагрузкой на весь пролёт. Прогибы от отдельных нагрузок складываются (принцип суперпозиции).

Согласованные единицы

Считайте в N и mm: P в N, w в N/mm (kN/m = N/mm), L в mm, E в N/mm² (GPa × 1000), I в mm⁴.

P = 6000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогиб под силой

δ_P = Pa³/(3EI) = 6000·1500³/(3·5,88 × 10¹²) = 1,148 mm

Ответ

δ_P = 1,148 mm

12.Прогиб балки

Ответ: I_req = 1381 × 10⁶ mm⁴

Ограничение прогиба

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Требуемый момент инерции

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,381 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1381 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_req = 1381 × 10⁶ mm⁴

13.Устойчивость колонн

Ответ: P_cr = 79,96 kN

Потеря устойчивости по Эйлеру: гибкая колонна теряет устойчивость при P_cr = π²EI/(KL)², где KL — расчётная длина: K = 1 для шарнир–шарнир, 2 для заделка–свободный конец, 0,7 для заделка–шарнир и 0,5 для заделка–заделка. Она изгибается относительно оси с наименьшим I. Формула справедлива для гибких колонн, у которых критическое напряжение меньше предела текучести.

Наименьший момент инерции

Прямоугольник теряет устойчивость относительно слабой оси, с меньшим размером в кубе.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Расчётная длина

KL = 0,5·1500 = 750 mm

Критическая сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/750² = 79962 N = 79,96 kN

Ответ

P_cr = 79,96 kN

14.Устойчивость колонн

Ответ: d = 35,1 mm

Требуемая критическая сила

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Выразите диаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 35,1 mm

Ответ

d = 35,1 mm

Проверка: гибкость KL/r равна 159,6, поэтому колонна гибкая и формула Эйлера применима.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials